二重積分計(jì)算

1、*三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二重積分的計(jì)算法 第四章 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):已知平行截面面積函數(shù)的立體體積已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xabxxxd)(xA上連續(xù),xbad 曲頂柱體體積的計(jì)算曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),

2、(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求兩個底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.xyzRRo解解: 設(shè)兩個直

3、圓柱方程為,222Ryx利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí). 計(jì)算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí), 0),(yxf當(dāng)被積函數(shù)bxaxyxD)

4、()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計(jì)算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)被積函數(shù)),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負(fù)均非負(fù)DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號變號時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2機(jī)動 目錄

5、上頁 下頁 返回 結(jié)束 oxy說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計(jì)算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD則 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy211xy o221d y例例2. 計(jì)算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x解法解法1. 將D看作X型區(qū)

6、域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 計(jì)算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計(jì)算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返

7、回 結(jié)束 例例4. 計(jì)算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為Y型區(qū)

8、域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 計(jì)算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21xy

9、yxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計(jì)算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性應(yīng)用換元公式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè), 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交換積