2010年考研數(shù)學(xué)一真題及答案

1、2010年考研數(shù)學(xué)一真題一、選擇題（18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。）(1) 極限limxx2(x-a)(x+b)x=(A)1 (B)e(C)ea-b (D)eb-a【考點(diǎn)】C?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧窟@是一個(gè)“1”型極限limxx2(x-a)(x+b)x=limx1+a-bx+ab(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)a-bx+aba-bx+ab(x-a)(x+b)x=ea-b 【方法二】原式=limxexlnx2(x-a)(x+b)而limx xlnx2(x-a)(x+b)=limx xln(1+a-bx+ab(x-a)(x+b) =li

2、mx xa-bx+ab(x-a)(x+b) (等價(jià)無窮小代換) =a-b則limxx2(x-a)(x+b)x=ea-b【方法三】對(duì)于“1”型極限可利用基本結(jié)論：若lim (x)=0, lim (x)=0,且lim xx=A則lim1+xx=eA,求極限由于limxxx=limxx2-(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)x =limx(a-b)x2+abx(x-a)(x+b)=a-b則limxx2(x-a)(x+b)x=ea-b【方法四】limxx2x-ax+bx=limxx-ax+bx2-x =limx(1-ax)-xlimx1+bx-x=eae-b=ea-b 綜上所述，本題正確答案是C。

3、【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較，極限的四則運(yùn)算，兩個(gè)重要極限(2) 設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程Fyx,zx=0確定，其中F為可微函數(shù)，且f''20,則xzx+yzy= 。(A)x (B)z(C)-x (D)-z【答案】B?！窘馕觥恳?yàn)?zx=-Fx'Fz'=-F1'-yx2+F2'-zx2F2'1x=F1'yx+F2'zxF2',zy=-Fy'Fz'=-F1'1xF2'1x=-F1'F2' 所以xzx+yzy=F1'y+F2&

4、#39;zF2'-yF1'F2'=F2'zF2'=z綜上所述，本題正確答案是(B)。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(3) 設(shè)m,n為正整數(shù)，則反常積分01mln2(1-x)nxdx的收斂性(A)僅與m的取值有關(guān) (B)僅與n的取值有關(guān)(C)與m,n的取值都有關(guān) (D)與m,n的取值都無關(guān)【答案】D。【解析】本題主要考察反常積分的斂散性，題中的被積函數(shù)分別在x0+和x1-時(shí)無界01mln2(1-x)nxdx=012mln2(1-x)nxdx+121mln2(1-x)nxdx 在反常積分012mln2(1-x)nxdx中，被積函數(shù)只在

5、x0+時(shí)無界。由于mln2(1-x)nx0，limx0+mln2(1-x)nx1nx=0已知反常積分0121nxdx收斂，則012mln2(1-x)nxdx也收斂。在反常積分121mln2(1-x)nxdx中，被積函數(shù)只在x1-時(shí)無界，由于mln2(1-x)nx0limx1-mln2(1-x)nx11-x=limx1-ln2m(1-x)(1-x)12=0 (洛必達(dá)法則)且反常積分121dx1-x收斂，所以121mln2(1-x)nxdx收斂綜上所述，無論m,n取任何正整數(shù)，反常積分01mln2(1-x)nxdx收斂。綜上所述，本題正確答案是D。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)反常積分(4) li

6、mni=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=(A)01dx0x1(1+x)(1+y2)dy (B) 01dx0x1(1+x)(1+y)dy(C)01dx011(1+x)(1+y)dy (D)01dx011(1+x)(1+y2)dy【答案】D。【解析】因?yàn)閘imni=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=limni=1n j=1n nn(1+in)n2(1+(jn)2) =limni=1n j=1n 1(1+in)(1+(jn)2)1n2 =01dx011(1+x)(1+y2)dy綜上所述，本題正確答案是C?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用(

7、5) 設(shè)A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，E為m階單位矩陣，若AB=E,則(A)秩rA=m,秩rB=m (B)秩rA=m,秩rB=n(C)秩rA=n,秩rB=m (D)秩rA=n,秩rB=n【答案】A?！窘馕觥恳?yàn)锳B=E為m階單位矩陣，知rAB=m又因 rABmin(rA,r(B),故mrA,mr(B)另一方面，A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，又有rAm,r(B)m可得秩rA=m,秩rB=m綜上所述，本題正確答案是A。【考點(diǎn)】線性代數(shù)矩陣矩陣的秩(6) 設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2+A=0，若A的秩為3，則A相似于(A)1 1 1 0 (B) 1 1 -

8、1 0(C)1 -1 -1 0 (D)-1 -1 -1 0【答案】D?！窘馕觥坑葾=,0知An=n，那么對(duì)于A2+A=0推出來(2+)=02+=0所以A的特征值只能是0、-1再由A是實(shí)對(duì)稱矩陣必有A，而是A的特征值，那么由rA=3,可知D正確綜上所述，本題正確答案是D?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)特征值與特征向量實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對(duì)角矩陣(7) 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)Fx=0, x<0,12, 0x<1,1-e-x, x>1. ,則PX=1=(A)0 (B)12(C)12-e-1 (D) 1-e-1【答案】C。【解析】PX=1=F1-F1-0=1-e-1-12=12-e

9、-1綜上所述，本題正確答案是C。【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)(8) 設(shè)f1(x)為標(biāo)準(zhǔn)正太分布的概率密度，f2(x)為-1,3上均勻分布得概率密度，若fx=af1x, x0,bf2x, x>0,(a>0,b>0)為概率密度，則a,b應(yīng)滿足(A)2a+3b=4 (B)3a+2b=4(C)a+b=1 (D)a+b=2【答案】A?！窘馕觥扛鶕?jù)密度函數(shù)的性質(zhì)1=-+f(x)dx=-0af1xdx+0+bf2xdx=a-0f1xdx+b0+f2xdxf1x為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，其對(duì)稱中心在x=0處，故-0f1xdx=12f2x為-1,3上均

10、勻分布的概率密度函數(shù)，即f2x=14， -1x30，其他0+f2xdx=0314dx=34所以1=a12+b34,可得2a+3b=4綜上所述，本題正確答案是A?！究键c(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，常見隨機(jī)變量的分布二、填空題（914小題，每小題4分，共24分。）(9) 設(shè)x=e-t,y=0tln(1+u2)du，則d2ydx2t=0= ?！敬鸢浮?。【解析】【方法一】dydx=y'(t)x'(t)=ln(1+t2)-e-t=-etln(1+t2)d2ydx2=ddt-etln1+t21x't=e2t2t1+t2+ln1+t2則d2ydx2t

11、=0=10+0=0，【方法二】由參數(shù)方程求導(dǎo)公式知，d2ydx2t=0=y''0x'0-x''(0)y'(0)x'(0)3x't=-e-t,x''t=e-t,x'0=-1,x''0=1y't=ln1+t2,y''t=2t1+t2,y'0=0,y''0=0代入上式可得 d2ydx2t=0=0?！痉椒ㄈ坑蓌=e-t得，t=-lnx，則y=0-lnxln(1+u2)dudydx=-1xln(1+ln2x)d2ydx2=1x2ln1+ln2x-2ln

12、x1+ln2x當(dāng)t=0時(shí)x=1，則d2ydx2t=0=0綜上所述，本題正確答案是0。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法(10) 02xcosxdx= ?！敬鸢浮?4?！窘馕觥苛顇=t,則x=t2,dx=2tdt02xcosxdx=02t2costdt=20t2dsint= =2t2sint0-40tsintdt =4tcost0-40costdt=-4綜上所述，本題正確答案是-4?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)基本積分公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法(11) 已知曲線L的方程為y=1-x,x-1,1,起點(diǎn)是-

13、1,0,終點(diǎn)是(1,0)，則曲線積分L xydx+x2dy= ?！敬鸢浮??！窘馕觥咳鐖D所示L=L1+L2,其中L1:y=1+x,(-1x<0),L2:y=1-x,(0x<1)所以 L xydx+x2dy=L1 xydx+x2dy+L2 xydx+x2dy =-10x1+x+x2dx+01x1+x-x2dx =-102x2+xdx+01x-2x2dx=0綜上所述，本題正確答案是0。y L1 L2-1 O 1 x【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算(12) 設(shè)=(x,y,z)|x2+y2z1，則的形心坐標(biāo)z= ?！敬鸢浮?3。【解析】z= zdxdydz dx

14、dydz=02d01rdrr21zdz02d01rdrr21dz=02d01r(12-r42)dr2=02(r24-r612)01d2 =1622=23綜上所述，本題正確答案是23?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用(13) 設(shè)1=(1,2,-1,0)T,2=(1,1,0,2)T,3=(2,1,1,a)T，若由1,2,3生成的向量空間的維數(shù)為2，則a= ?！敬鸢浮?。【解析】1,2,3生成的向量空間的維數(shù)為2，所以可知，r1,2,3=21,2,3=112211-10102a11201300a-6000所以可得a-6=0,a=6綜上所述，本題正確答案是6。【

15、考點(diǎn)】線性代數(shù)向量向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系，向量空間及其相關(guān)概念(14) 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為PX=k=Ck!,k=0,1,2,則EX2= ?！敬鸢浮?。【解析】泊松分布的概率分布為PX=k=kk!e-, k=0,1,2,隨機(jī)變量X的概率分布為PX=k=Ck!,k=0,1,2,對(duì)比可以看出C=e-1,XP(1)所以EX=DX=1,而EX2=DX+(EX)2=1+12=2綜上所述，本題正確答案是2?！究键c(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量及其分布常見隨機(jī)變量的分布；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)三、解答題：1523小題，共94分。

16、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15) 求微分方程y''-3y'+2y=2xex的通解【解析】由齊次微分方程y''-3y'+2y=0的特征方程2-3+2=01=1，2=2所以，齊次微分方程y''-3y'+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x設(shè)微分方程y''-3y'+2y=2xex的特解為y*=x(ax+b)ex則(y*)'=(ax2+2ax+bx+b)ex(y*)''=(ax2+4ax+bx+2a+2b)ex代入原方程，解得a=-1,b=-2故特解為y*=x(-

17、x-2)ex所以原方程的通解為y=y+y*=C1ex+C2e2x+ x(-x-2)ex【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)常微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程，簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(16) 求函數(shù)fx=1x2(x2-t)e-t2dt的單調(diào)區(qū)間與極值【解析】函數(shù)fx的定義域?yàn)?-,+)，fx=1x2(x2-t)e-t2dt=x21x2e-t2dt-1x2te-t2dtf'x=2x1x2e-t2dt+2x3e-x4-2x3e-x4=2x1x2e-t2dt令f'x=0 ，得x=0,x=±1,列表如下x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)fx-0+0-0+f'

18、;x極小極大極小由上可知，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,0)和(1,+)；f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-,-1)和(0,1),極小值為f±1=11(x2-t)e-t2dt=0極大值為f0=10(-t)e-t2dt=01te-t2dt=-12e-t201=12(1-1e)【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判別 函數(shù)的極值高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)基本積分公式，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(17) (I) 比較01lntln(1+t)ndt與01tnlntdt(n=1,2,)的大小，說明理由；(II) 記un=01lntln(1+t)ndt(n=1,2,),求極限limnu

19、n?！窘馕觥?I) 當(dāng)0t1時(shí)，因0ln(1+t)t,所以0lntln(1+t)ntnlnt所以有01lntln(1+t)ndt01tnlntdt ,(n=1,2,)(II) 【方法一】由上可知，0un=01lntln(1+t)ndt01tnlntdt ,01tnlntdt=-01tnlntdt =-tn+1n+1lnt01+1n+101tndt=1(n+1)2 所以limn01tnlntdt=0由夾逼定理可得limnun=0【方法二】由于lnx為單增函數(shù)，則當(dāng)t0,1時(shí)，ln(1+t)ln2,從而有0un=01lntln(1+t)ndtlnn201lntdt ,01lntdt =-01lnt

20、dt=-tlnt01+01dt=1又limnlnn2=0，由夾逼定理知limnun=0【方法三】已知0un=01lntln(1+t)ndt01tnlntdt因?yàn)閘imt0+lnt1t=limt0+-1t1t2=0,且tlnt在(0,1上連續(xù)，則tlnt在(0,1上有界，從而存在M>0使得 0|tlnt|M則01tnlntdtM01tn-1dt=Mn由limnMn=0及夾逼定理知limnun=0【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)定積分的概念和基本性質(zhì)(18) 求冪級(jí)數(shù)n=1(-1)n-12n-1x2n的收斂域及和函數(shù)?！窘馕觥縧

21、imnun+1un=limnx2n+2(2n-1)x2n(2n+1)=x2x2<1-1<x<1即-1<x<1時(shí)，原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂x=±1時(shí)，級(jí)數(shù)為n=1(-1)n-12n-1，由萊布尼茨判別法顯然收斂，故原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1,1。又n=1(-1)n-12n-1x2n=xn=1(-1)n-12n-1x2n-1令fx=n=1(-1)n-12n-1x2n-1,x(-1,1)則f'x=n=1(-1)n-1x2(n-1)=11+x2所以fx=0xf'tdt=acrtanx+C由于f0=0，所以C=0所以fx=arctanx所以冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1

22、,1，和函數(shù)為xarctanx,x-1,1?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式(19) 設(shè)P為橢球面S:x2+y2+z2-yz=1上的動(dòng)點(diǎn)，若S在點(diǎn)P處的切線平面與xOy面垂直，求點(diǎn)P的軌跡C,并計(jì)算曲面積分I= x+3|y-2z|4+y2+z2-4yzdS,其中 是橢圓球面S位于曲線C上方的部分?！窘馕觥壳筌壽EC令Fx,y,z=x2+y2+z2-yz-1,故動(dòng)點(diǎn)P(x,y,z)的切平面的法向量為n=2x,2y-z,2z-y由切平面垂直xOy面，得2z-y=0又已知P為橢球面S:x2+y2+

23、z2-yz=1上的動(dòng)點(diǎn)，所以x2+y2+z2-yz=12z-y=0x2+34y2=12z-y=0為P的軌跡C再計(jì)算曲面積分因?yàn)榍€C在xOy面的投影為Dxy: x2+34y2=1又對(duì)方程x2+y2+z2-yz=1兩邊分別對(duì)x,y求導(dǎo)可得2x+2zzx-yzx=0 ,2y+2zzy-z-yzy=0解之得 zx=2xy-2z , zy=2y-zy-2z dS=1+zx2+zy2dxdy=1+(2xy-2z)2+(2y-zy-2z)2dxdy =4x2+5y2+5z2-8yz|y-2z|dxdy=4+y2+z2-4yz|y-2z|dxdy于是I= x+3|y-2z|4+y2+z2-4yzdS=Dxy

24、 x+3dxdy =3Dxy dxdy=3××1×23=2【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算(20) 設(shè)A=110-1011,b=a11.已知線性方程組Ax=b存在2個(gè)不同的解(I) 求,a；(II) 求方程組Ax=b的通解。【解析】(I) 因?yàn)橐阎€性方程組Ax=b存在2個(gè)不同的解，所以rA=rA<n故A=110-1011=-111=+1-12=0知=1,-1當(dāng)=1時(shí)，A=111000111 a11,顯然rA=1,rA=2，此時(shí)方程組無解，=1舍去，當(dāng)=-1時(shí)，A=-1110-2011-1a11 10-101000032-12a+

25、2因?yàn)锳x=b有解，所以a=-2即，=-1，a=-2(II) =-1，a=-2時(shí)，已知A 10-101000032-120所以Ax=b的通解為x=123-10+k101其中k為任意常數(shù)?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)線性方程組非齊次線性方程組有解的充分必要條件，非齊次線性方程組的通解(21) 已知二次型fx1,x2,x3=xTAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為y12+y22,且Q的第三列為(22,0,22)T(I) 求矩陣A；(II) 證明A+E為正定矩陣，其中E為3階單位矩陣?！窘馕觥?I) 二次型fx1,x2,x3=xTAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為y12+y22，可知二次型矩陣A的特征值是1,1,

26、0。又因?yàn)镼的第三列為(22,0,22)T，可知3=(1,0,1)T是矩陣A在特征值=0的特征向量。根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值不同特征向量相互正交，設(shè)A關(guān)于1=2=1的特征向量為=(x1,x2,x3)T，則T3=0,即x1+x3=0取1=(0,1,0)T,2=(-1,0,-1)TA=1,2,01,2,3-1=0-101000100-11100011-1=0-10100010010-1201212012=120-12010-12012(II) 由于矩陣A的特征值是1,1,0,那么A+E的特征值為2,2,1，因?yàn)锳+E的特征值全大于0，所以A+E正定?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)二次型二次型及其矩陣表示，二次型的秩，二次