10(1)數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散ppt課件

1、1 第十章第十章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)infinite seriesR2基本概念基本概念 第十一章第十一章 無窮級無窮級數(shù)數(shù)constant term infinite series第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散收斂級數(shù)的基本性質收斂級數(shù)的基本性質小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 3為什么要研究無窮級數(shù)為什么要研究無窮級數(shù)是進行數(shù)值計算的有效工具是進行數(shù)值計算的有效工具( (如計算函數(shù)值、如計算函數(shù)值、出它的威力出它的威力. . 在自然科學和工程技術中在自然科學和工程技術中, ,也常用無窮也常用無窮無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式. .因無窮

2、級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù)因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù), ,故它在積分運算和微分方程求解時故它在積分運算和微分方程求解時, ,也呈現(xiàn)也呈現(xiàn)如諧波分析等如諧波分析等. .造函數(shù)值表）造函數(shù)值表）. .級數(shù)來分析問題級數(shù)來分析問題, ,數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散41. 級數(shù)的定義級數(shù)的定義 nnnuuuuu3211(常數(shù)項常數(shù)項)無窮級數(shù)無窮級數(shù)一般項一般項如如 ;1031003103 n;1)1(41312111 nn.)1(11111 n以上均為以上均為(常常)數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù).(1)一、一、基本基本概念概念 1,nnu給定數(shù)列則表達式數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散

3、5這樣這樣, 級數(shù)級數(shù)(1)對應一個部分和數(shù)列對應一個部分和數(shù)列: nnuuus21稱無窮級數(shù)稱無窮級數(shù)(1)的的,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 按通常的加法運算一項一項的加下去按通常的加法運算一項一項的加下去,為級數(shù)為級數(shù)(1)的的,無窮級數(shù)定義式無窮級數(shù)定義式(1)的含義是什么的含義是什么?也算不完也算不完,永遠永遠那么如何計算那么如何計算?前前n項和項和部分和部分和. niiu12. 部分和數(shù)列部分和數(shù)列數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散6例例1112.1nnn前 項之和111112112212nn ns2認為認為11122nn數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)

4、散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散7例例21nnn前 項之和(1)122n nn ns認為認為1nn沒有和.例例311( 1)nnn前 項之和1,1 1( 1)0,nnn n為奇數(shù)s為偶數(shù)無極限無極限認為認為11( 1)nn沒有和。沒有和。數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散8部分和數(shù)列可能存在極限部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限也可能不存在極限.定義定義,無無限限增增大大時時當當n, ssn有極限有極限數(shù)列數(shù)列,1收斂收斂 nnu.1的的和和叫叫做做級級數(shù)數(shù)這這時時極極限限 nnus nuuus21,沒有極限沒有極限如果如果ns.1發(fā)發(fā)散散則則稱稱無無窮窮級級數(shù)數(shù) nnu的部分和的部分和如果

5、級數(shù)如果級數(shù) 1nnu.limssnn 即即則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)并寫成并寫成3. 級數(shù)收斂與發(fā)散的定義級數(shù)收斂與發(fā)散的定義數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散9特別,若limlimnnnnss 或則稱級數(shù)發(fā)散到,或記作11,.nnnnuu 或總之總之,常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散發(fā)散).nns lim(不存在不存在)存在存在數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散10nnssr 21nnuu 1iinu0lim nnr對對收斂收斂級數(shù)級數(shù)(1),為級數(shù)為級數(shù)(1)的的余項余項或或余和余和. .顯然有顯然有當當n充分大時充分大時,級數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有級數(shù)的斂散性它與部分

6、和數(shù)列是否有極限是等價的極限是等價的. nnnuuuuu3211(1)稱差稱差ssn 誤差誤差為為|nr數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散11注意：注意：（1）任何一個級數(shù)都可以確定一個部分和數(shù)列）任何一個級數(shù)都可以確定一個部分和數(shù)列 .ns（2）對任意數(shù)列）對任意數(shù)列 ,ns都可作出一個級數(shù)都可作出一個級數(shù)1,nnu 1.nnnus使的部分和數(shù)列恰好是1nnnuss令因此研究級數(shù)的斂散性問題即為研究因此研究級數(shù)的斂散性問題即為研究其部分和數(shù)列是否有極限的問題其部分和數(shù)列是否有極限的問題數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散12例例1 討論級數(shù)討論級數(shù)11(1)nn n的斂散性。的斂散

7、性。解：解：前前n項之和項之和1111 22 3(1)n nns1111112231111nnn 因為因為1limlim 111nnnsn所以級數(shù)所以級數(shù)11(1)nn n收斂，和為收斂，和為1111(1)nn n即數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散13例例22)1(321 nnnsn而而 nnslim所以所以, n321的部分和的部分和 級數(shù)級數(shù) 2)1(limnnn 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散14解解時時如果如果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1qaqqan 11(重要重要)例例3討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)幾何級數(shù))的收斂性的收斂性

8、.)0(20 aaqaqaqaaqnnn數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散15,1 時時當當 q0lim nnqqasnn 1lim,1 時時當當 q nnqlim nnslim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散時時如果如果1 q,1 時時當當 q,1 時時當當 q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa不不存存在在nns lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當,1,10qqaqnn級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)閝aqqasnn 11數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散16討論級數(shù)討論級數(shù)的斂散性的斂散性.)0(ln31 aann解解例例4因為因為 1ln3nna為公比的等比級數(shù)為公比的等比級數(shù),是

9、以是以aln故故,1時時當當eae , 1|ln| a級數(shù)級數(shù)收斂收斂.發(fā)散發(fā)散.ea10 當當, 1|ln| a 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當,1,10qqaqnn,時時或或ea 數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散17例5 判定級數(shù)11ln 1nn的斂散性.例6求級數(shù)211arctan2nn的和.提示:利用211arctanarctanarctan21nnnnn數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散18定理1 (柯西準則)級數(shù) 收斂1nnu0,0,Nm nN mn 有12.nnmuuu0,0,NnNpN 有12.nnnpuuu數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散19例7 證明

10、: (1)級數(shù) 211nn收斂.(2)級數(shù)發(fā)散11nn(3)級數(shù)11111123456發(fā)散(3) 提示:33311111131323362616nnnSSnnnnnn1113162626nnnn數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散20二、二、收斂級數(shù)的基本性質收斂級數(shù)的基本性質性質性質1 1若級數(shù)11nnnnab與都收斂,且其和分別為,s和則對任意的常數(shù)12,kk和級數(shù)121nnnk ak b也收斂,且和為12.k s k+數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散21,)1()1()1( 都發(fā)散都發(fā)散.但但,111 )1(1收斂收斂.例例 000 )1(10 數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的

11、收斂與發(fā)散22收斂收斂級數(shù)的必要條件級數(shù)的必要條件1,nna若級數(shù)收斂 則反之不然！反之不然！性質2lim0nna證證因為因為1nnsa則則na 1 nnss所以所以limnna1limlim nnnnssss 0 推論1lim0,nnnnaa若則發(fā)散11sinnnn如發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散23注注 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件, , 必要條件不充分必要條件不充分. .lim0nna有 n131211常用判別級數(shù)發(fā)散常用判別級數(shù)發(fā)散;如如調和級數(shù)調和級數(shù) 也可用它求或驗證極限為也可用它求或驗證極限為“0 0”的極限的極限;lim0nna級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的

12、必要條件:但級數(shù)是否收斂但級數(shù)是否收斂數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散24例例判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性(1) 1)1(3nnnnn 133ln31nnnn(2)級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件常用判別級數(shù)發(fā)散常用判別級數(shù)發(fā)散. ., 0lim nnu解題思路解題思路數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散25(1) 1)1(3nnnnn解解由于由于 nnulim nnn111lim30 發(fā)散發(fā)散e3數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散26 133ln31nnnn(2) 解解 11nn 131nn而級數(shù)而級數(shù)33ln r33ln| r所以這個等比級數(shù)所以這個等比級

13、數(shù) 133ln31nnnn發(fā)散發(fā)散.由性質由性質2知知,由性質由性質1知知,發(fā)散發(fā)散.因調和級數(shù)因調和級數(shù)發(fā)散發(fā)散,為公比的等比級數(shù)為公比的等比級數(shù), 133lnnnn是以是以1 收斂收斂.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散27 1nnu設設為收斂級數(shù)為收斂級數(shù),a為非零常數(shù)為非零常數(shù),試判別級數(shù)試判別級數(shù) 1)(nnau的斂散性的斂散性.解解因為因為 1nnu收斂收斂,故故. 0lim nnu從而從而)(limaunn 0 故級數(shù)故級數(shù) 1)(nnau發(fā)散發(fā)散.a 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散28問問11,?nnnnau

14、au(1)設收斂是任意常數(shù) 問是否收斂11?nnnnauu(2)設a=0,問與a是否相等110,;0,.nnnnauau時收斂時未必收斂否！否！數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散29性質性質3 3 添加或去掉有限項不影響一個級數(shù)的斂散性添加或去掉有限項不影響一個級數(shù)的斂散性.性質性質4 4 1nnu設級數(shù)設級數(shù)收斂收斂,則對其各項任意加括號所得則對其各項任意加括號所得新級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和新級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散,則則注注原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.事實上事實上,加括后的級數(shù)就應該收斂了加括后的級數(shù)就應該收斂了.設原來的級數(shù)收斂設原來的級數(shù)收斂,則根據性則根據性質質4, )11()11(例例如如 1111 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散一個級數(shù)加括號后收斂一個級數(shù)加括號后收斂,原級數(shù)斂散性不確定原級數(shù)斂散性不確定.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散30常數(shù)項級數(shù)的基本概念常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法3. 按基本性質按基本性質則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂由定義由定義, ssn若若2., 0lim nnu當當則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散一般項、部分和、收斂、發(fā)散及級數(shù)的性質一般項、部分和、收斂、發(fā)散及級數(shù)的性質三、小結三、小結級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件記住等比級數(shù)記住等比級數(shù)(幾何級數(shù)幾何級數(shù))的收斂