數(shù)學(xué)文化講座(張奠宙)

1、數(shù)學(xué)文化與文化數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化與文化數(shù)學(xué)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系張奠宙張奠宙2003. 12. 3 上海上海目錄n 一。 數(shù)學(xué)是人類文明的火車頭。四數(shù)學(xué)是人類文明的火車頭。四 個(gè)數(shù)學(xué)高峰個(gè)數(shù)學(xué)高峰n 二。爭(zhēng)取中國(guó)數(shù)學(xué)在世界上的平等二。爭(zhēng)取中國(guó)數(shù)學(xué)在世界上的平等 n 與獨(dú)立與獨(dú)立 n 三。一些數(shù)學(xué)文化的理論問題三。一些數(shù)學(xué)文化的理論問題n 四。四。 數(shù)學(xué)文化視角數(shù)學(xué)文化視角數(shù)學(xué)是人類文明的火車頭數(shù)學(xué)是人類文明的火車頭 四個(gè)數(shù)學(xué)高峰四個(gè)數(shù)學(xué)高峰n 古希臘文明 - 歐幾里得歐幾里得幾何原本n 文藝復(fù)興 - 牛頓牛頓力學(xué)-微積分n 18、19世紀(jì)人類文明 - 伽羅華群論、非歐幾何 電磁學(xué)方程

2、黎曼幾何與愛因斯坦相對(duì)論黎曼幾何與愛因斯坦相對(duì)論n 信息時(shí)代文明 - 馮馮. . 諾依曼諾依曼計(jì)算機(jī)方案第一高峰：古希臘數(shù)學(xué)文化n “對(duì)頂角相等”是否要證明？n 中國(guó)古代算學(xué)沒有角的概念， 談不上對(duì)頂角。 認(rèn)為這是顯然的， 不需證明。n 幾何原本。 命題15：對(duì)頂角相等。用公理3：等量減等量， 其差相等。ABC古希臘和中國(guó)的春秋戰(zhàn)國(guó)n 古希臘城邦實(shí)行奴隸主的“民主政治”。 男性奴隸主選舉執(zhí)政官， 決定財(cái)政、戰(zhàn)爭(zhēng)等大事。 民主需要辯論， 平等地說服。 理性思考。 崇尚精神上的真理追求n 中國(guó)春秋戰(zhàn)國(guó)， 實(shí)行君王統(tǒng)治。 知識(shí)分子可以百家爭(zhēng)鳴， 但是以說服君王為目標(biāo)。 中國(guó)古代數(shù)學(xué)是官方的管理數(shù)學(xué)。

3、崇尚實(shí)用。 九章算術(shù)以丈量田畝，分配徭役，工程土方等計(jì)算方法。n文化差異決定數(shù)學(xué)文化：文化差異決定數(shù)學(xué)文化： n 理性演繹數(shù)學(xué)理性演繹數(shù)學(xué) 實(shí)用管理數(shù)學(xué)實(shí)用管理數(shù)學(xué)中國(guó)古代算學(xué)n 中國(guó)古代的算學(xué)算學(xué)n 以算法為特征以算法為特征n 吳文俊繼承特點(diǎn)吳文俊繼承特點(diǎn) 以機(jī)器證明（計(jì)算以機(jī)器證明（計(jì)算機(jī)算法）獲國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)機(jī)算法）獲國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)n 祖沖之計(jì)算祖沖之計(jì)算Pi享譽(yù)世界享譽(yù)世界n 中國(guó)數(shù)學(xué)整體上比中國(guó)數(shù)學(xué)整體上比埃及、巴比倫、印度埃及、巴比倫、印度晚晚 第二高峰第二高峰 牛頓、萊布尼茲發(fā)明微積分牛頓、萊布尼茲發(fā)明微積分n 文藝復(fù)興：笛卡兒創(chuàng)立解析幾何、坐標(biāo)， “運(yùn)動(dòng)進(jìn)入數(shù)學(xué)”。n 微積分思想：費(fèi)馬

4、論證：周長(zhǎng)一定的矩形以正方形面積最大。取無窮小量E B(A-B) = (B+E)A-(B+E) BA B2 = BA B2 +AE 2BE + E2 整理得到 （A-2B）E + E2 = 0略去 E ，得到結(jié)論 A =2B。BA牛頓：自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理n1687 完成， 1736出版“流數(shù)術(shù)”。 n基督教鎮(zhèn)壓科學(xué)、處死科學(xué)家n 基督教的教義為科學(xué)留下了空間：人生來是平等的。n 王室邀請(qǐng)數(shù)學(xué)家進(jìn)入宮廷n 牛頓（爵士）、萊布尼茲是外交家n歐拉（德國(guó)腓特烈大帝邀請(qǐng)到柏林、俄過沙皇喀德林一世邀請(qǐng)去彼得堡）n中國(guó)除康熙邀請(qǐng)梅文鼎以外， 數(shù)學(xué)家不受重視 17世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)。 牛頓發(fā)明微積分的時(shí)代n 前奏n

5、 1606 徐光啟和利瑪竇翻譯幾何原本前6卷。n 1690年， 康熙帝向傳教士白晉等學(xué)習(xí)幾何學(xué)， 對(duì)數(shù)。n 1701年， 萊布尼茲將2進(jìn)制數(shù)表交給白晉， 白晉把伏羲64卦交給萊布尼茲。鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)后的中國(guó)數(shù)學(xué)落后歐洲三百年。n 李善蘭（1811 - 1882）。 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最后一人， 吸收西方數(shù)學(xué)，開創(chuàng)中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)第一人。n 與偉列亞力（1815-1867）合作翻譯幾何原本后9卷，美國(guó)Loomis的代微積拾級(jí)（1859）。日本用此書。 中國(guó)最早的微積分譯作中國(guó)最早的微積分譯作 n李善蘭（1811 1882）禾彳天 意思是 dx第三高峰：19-20世紀(jì)初數(shù)學(xué)成就n 法國(guó)大革命和法國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)派（柯西、

6、蒙日）n 德國(guó)工業(yè)的興起和格丁根學(xué)派（高斯、黎曼）n 群論、非歐幾何、復(fù)數(shù)、四元數(shù)、分析的嚴(yán)密化 （強(qiáng)調(diào)理性思維）（強(qiáng)調(diào)理性思維）n 三個(gè)偉大的方程：忽略少談的數(shù)學(xué)家忽略少談的數(shù)學(xué)家 熱傳導(dǎo)方程 傅立葉傅立葉 （內(nèi)燃機(jī)） 流體力學(xué)方程 拉普拉斯拉普拉斯 （航空） 電磁學(xué)方程 馬克斯韋爾馬克斯韋爾 （電磁波）傅立葉（1768 1830）馬克思韋爾 1831-1879 數(shù)學(xué)與物理n 狹義相對(duì)論與四維時(shí)空。 n 廣義相對(duì)論與黎曼幾何。n 楊-米爾斯場(chǎng) 陳省身的纖維叢理論n 高維 低維（四維最難）n Witten（ 物理學(xué)家）獲得數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng)n 霍金（理論物理學(xué)家）參加2002 數(shù)學(xué)家大會(huì)科學(xué)文化的代表

7、：科學(xué)文化的代表：希爾伯特提出希爾伯特提出23個(gè)數(shù)學(xué)問題（個(gè)數(shù)學(xué)問題（1900）報(bào)載：瑞典的一位女助教解決了第報(bào)載：瑞典的一位女助教解決了第16問題問題 16。代數(shù)曲線和代數(shù)曲面的拓?fù)鋯栴}n 第二部分 討論 dy/dx = Y/X 的極限環(huán)的最大數(shù)目。 其中 Y,X 分別是x,y 的n次多項(xiàng)式蘇聯(lián)和中國(guó)的數(shù)學(xué)家研究過 n =2 的情形 希爾伯特希爾伯特 1862-1943 陳省身和華羅庚 （清華（清華“雙子雙子”星座）星座）n E. Cartan 陳省身 n 吳文俊 創(chuàng)立大范圍微分幾何 哈代哈代 華羅庚華羅庚 n 陳景潤(rùn)、王元陳景潤(rùn)、王元 中國(guó)的解析數(shù)論學(xué)派中國(guó)的解析數(shù)論學(xué)派n如果華羅庚到漢堡

8、隨阿?。ㄈ绻A羅庚到漢堡隨阿丁（E. Artin)E. Artin)學(xué)習(xí)代數(shù)學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論，數(shù)論， 中國(guó)的數(shù)學(xué)歷史將要改寫了？中國(guó)的數(shù)學(xué)歷史將要改寫了？ 兩人唯一照片1972。 北京希爾伯特的形式主義思潮n形式主義和邏輯主義、直覺主義展開論戰(zhàn)。 形式主義思潮占據(jù)主導(dǎo)地位。n形式主義。 。 兩點(diǎn)之間有且只有一條直線， 也可以說成兩個(gè)啤酒瓶之間有一張桌子。n 數(shù)學(xué)=形式， 內(nèi)容無關(guān)緊要n數(shù)學(xué)是公理體系。 一切數(shù)學(xué) 命題都可以形式地判定真?zhèn)?哥德爾說：哥德爾說： 不。（不。（19311931）數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)： 思想的體操？思想的體操？數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)= = 公理；數(shù)學(xué)公理；數(shù)學(xué)= = 邏輯？邏輯？第四高峰：第四高

9、峰：第二次世界大戰(zhàn)改造數(shù)學(xué)第二次世界大戰(zhàn)改造數(shù)學(xué)n 維納、科莫哥羅夫： 火炮自動(dòng)控制n 運(yùn)籌學(xué)產(chǎn)生于戰(zhàn)場(chǎng)n 原子彈爆炸。馮.諾依曼的數(shù)學(xué)參與.n 美國(guó)國(guó)家的應(yīng)用數(shù)學(xué)小組(AMP). 柯朗. 水下爆破。 轟炸機(jī)的流體力學(xué)計(jì)算n 密碼破譯. 圖靈機(jī)的誕生n 電子計(jì)算機(jī)產(chǎn)生 （中國(guó)數(shù)學(xué)仍然停留在純粹數(shù)學(xué)，（中國(guó)數(shù)學(xué)仍然停留在純粹數(shù)學(xué)， 沒有介入反沒有介入反法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)的努力法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)的努力戰(zhàn)后：戰(zhàn)后： 19481948年的數(shù)學(xué)地圖年的數(shù)學(xué)地圖n19481948： 美國(guó)仙農(nóng)發(fā)表美國(guó)仙農(nóng)發(fā)表信息的數(shù)學(xué)理論信息的數(shù)學(xué)理論n19481948：維納發(fā)表：維納發(fā)表控制論控制論。信息、控制是數(shù)學(xué)嗎？信息、控制是數(shù)學(xué)

10、嗎？n1948： von Neuman 計(jì)算機(jī)方案形成計(jì)算機(jī)方案形成n 中國(guó)缺乏這樣的數(shù)學(xué)偶像中國(guó)缺乏這樣的數(shù)學(xué)偶像信息時(shí)代的數(shù)學(xué)技術(shù)n馮.諾依曼組織“數(shù)字天氣預(yù)報(bào)”(1950)n 線性規(guī)劃大發(fā)展. 計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制. 調(diào)度.n 卡爾曼濾波. 航天技術(shù)n CT掃描. 拉東變換.n計(jì)算機(jī)模擬技術(shù). 軍事模擬.n 計(jì)算機(jī) 軟件的數(shù)學(xué)技術(shù)n金融數(shù)學(xué)技術(shù) （中國(guó)沒有以上原創(chuàng)的數(shù)學(xué)技術(shù)，緊跟）（中國(guó)沒有以上原創(chuàng)的數(shù)學(xué)技術(shù)，緊跟）中國(guó)科學(xué)最高獎(jiǎng)n 吳文俊： 機(jī)器證明n 王 選： 印刷革命 數(shù)據(jù)壓縮n 陳景潤(rùn)： 1980年代的數(shù)學(xué)英雄 1970年：年： 走出布爾巴基的光環(huán)走出布爾巴基的光環(huán)n 布爾巴基的結(jié)構(gòu)主

11、義n 沖破“函數(shù)論”王國(guó)的統(tǒng)治n 用“代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”統(tǒng)一數(shù)學(xué)。 集合論、測(cè)度論、李群論、抽象代數(shù)、代數(shù)拓?fù)?、泛函分?融為一體。n 不能包括微分幾何、數(shù)論、概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)、離散數(shù)學(xué)n 1950年。吳文俊在科學(xué)通報(bào)介紹布爾巴基。 無人喝彩。n 1970年。 年輕數(shù)學(xué)家走出布爾巴基的影響n 1980年。 中國(guó)大規(guī)模介紹布爾巴基學(xué)派。20世紀(jì)核心數(shù)學(xué)飛速發(fā)展n 從局部到整體 （拓?fù)洌﹏ 從交換到非交換 （算子代數(shù)。 K理論）n 從線性到非線性 （混沌、分維）n 從低維到高維、無限維n 隨機(jī)數(shù)學(xué)大發(fā)展第二部分n n 爭(zhēng)取中國(guó)數(shù)學(xué)在世界上的 平等與獨(dú)立平等與獨(dú)立二十世紀(jì)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史n 數(shù)學(xué)

12、中心的轉(zhuǎn)移： 巴黎 - 格丁根 -普林斯頓 1900 (1900-1933) (1933 -)n 莫斯科大學(xué). Steklov數(shù)學(xué)研究所n 劍橋大學(xué)三一學(xué)院n 巴黎Poincare 研究所n 波恩Max-Plank研究所n 加拿大Fields數(shù)學(xué)研究所黑色的1933年n 希特勒上臺(tái). 排擠迫害猶太人. 4月,命令一切猶太籍的教授立即離開校園.n 愛因斯坦; H.外耳( Weyl , 妻子是猶太人); 馮.諾依曼; 柯朗; 諾特; 哥德爾; 波利亞; 蘭道; 世界一流的頂尖的數(shù)學(xué)家到了美國(guó). 那時(shí)美國(guó)正在經(jīng)濟(jì)危機(jī)之中.n 普林斯頓高級(jí)研究所的成立. 6名教授: 愛因斯坦; 馮. 諾依曼; 外耳;

13、 Veblen, Alexander, Morse. 中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的艱難歷程n 同文館中設(shè)天文算學(xué)館的爭(zhēng)論。（1860）n x,y,z,w 取代 天地人元的歷程n 1902年， 江南考場(chǎng)某舉子在試卷上寫阿拉伯?dāng)?shù)字， 主考官黃漱蘭：“以夷變夏， 其心殊不可問”。 逐出考場(chǎng)。n1847 容閎帶學(xué)生到美留學(xué), 沒人學(xué)數(shù)學(xué).n 1862年日本派人來中國(guó)考察, 帶回, 為日本唯一的微積分讀本. 1898年, 中國(guó)向日本大量派遣留學(xué)生.n 19世紀(jì)世紀(jì),中國(guó)到歐美學(xué)數(shù)學(xué)的竟無一人中國(guó)到歐美學(xué)數(shù)學(xué)的竟無一人.中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展n 第一個(gè)數(shù)學(xué)博士胡明復(fù)。 哈佛大學(xué)（1917）n 1920年代數(shù)學(xué)系： 學(xué)士水平n

14、1930年代數(shù)學(xué)系： 碩士水平n 1940年代： 實(shí)際上能夠培養(yǎng)博士n 1980年代： 大陸正式授予第一批數(shù)學(xué)博士世界著名的華人數(shù)學(xué)家n 陳省身（美籍）整體微分幾何的奠基人）獲沃爾夫獎(jiǎng)（終身成就）。n 丘成桐（美籍）獲費(fèi)爾茲獎(jiǎng)（40歲以下）n 華羅庚（1910-1985）美國(guó)科學(xué)院外籍院士。數(shù)論， 多復(fù)分析， 代數(shù)。n 馮康。 計(jì)算數(shù)學(xué)。 有限元方法創(chuàng)始人之一n 許寶錄（1910-1970）數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)創(chuàng)始人之一n 年輕的華人數(shù)學(xué)家正在迅速發(fā)展中： 田剛、夏志宏、張偉平2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)n霍金來了！n 納什來了！n 中國(guó)數(shù)學(xué)取得世界矚目的成就。n 格局：美俄繼續(xù)領(lǐng)先； 西歐緊隨其后 日本正

15、在迎頭趕上； 中國(guó)是一個(gè)未知數(shù)。陳省身猜想n “21世紀(jì)數(shù)學(xué)大國(guó)世紀(jì)數(shù)學(xué)大國(guó)”（1988）。n數(shù)學(xué)大國(guó)的含義：“在獨(dú)立平等的基礎(chǔ)上與世界各國(guó)的數(shù)學(xué)家進(jìn)行交流”！n 數(shù)學(xué)上還沒有真正的獨(dú)立！數(shù)學(xué)上還沒有真正的獨(dú)立！n n 離開皇冠上的明珠還很遠(yuǎn)離開皇冠上的明珠還很遠(yuǎn)費(fèi)爾茲獎(jiǎng)?wù)沦M(fèi)爾茲獎(jiǎng)?wù)拢ㄖ皇谟璨怀^40歲數(shù)學(xué)家）n 拉法格（法國(guó)） 沃沃斯基（俄-美）n 他們都出生于 1966年， 今年36歲。n 大學(xué)畢業(yè)后， 得到扶植攻Langlangds 猜想 - 頂尖的數(shù)學(xué)課題。n 田剛上屆（1998）獲得提名， 但沒有獲得。他是南京大學(xué)學(xué)士、北京大學(xué)碩士、隨丘成桐在美國(guó)讀博士?，F(xiàn)在是麻州理工學(xué)院（MIT）

16、教授考試文化的影響n 競(jìng)賽不是在考場(chǎng)上！n奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽金牌 = 數(shù)學(xué)家？n 好勝與好奇。一字之差。n某大學(xué)副教務(wù)長(zhǎng)說：“優(yōu)秀學(xué)生不是高考狀元， 而是在600分以上的0. 618處。 如果你的孩子是狀元， 當(dāng)心他/她太注重細(xì)枝末節(jié)， 沒有大前途。21國(guó)參加的國(guó)際數(shù)學(xué)教育調(diào)查（IAEP）1989。 13歲學(xué)生成績(jī)n中國(guó)大陸 80n中國(guó)臺(tái)灣 73n 韓國(guó) 73n 瑞士 71n 蘇聯(lián) 70n法國(guó) 64 n英國(guó) 61n美國(guó) 55n巴西 37n莫桑比克 28中國(guó)數(shù)學(xué)水平怎么樣？n新華社：中國(guó)現(xiàn)在十分有陳省身、華羅庚那樣的大數(shù)學(xué)家？離國(guó)際水平多遠(yuǎn)？n 吳文?。骸安缓谜f”，“不好說”n 丘成桐：“還差得很

17、遠(yuǎn)”n 中國(guó)只是潛在的數(shù)學(xué)大國(guó)！n 許多人以為“中國(guó)離皇冠上明珠僅一步之遙” 大錯(cuò)特錯(cuò)！n “取法乎上， 僅得乎其中”， “取法乎中， 則得乎其下矣！”第三部分： 一些數(shù)學(xué)文化的理論問題n 1。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)？絕對(duì)主義的破滅。n 2。檢驗(yàn)數(shù)學(xué)真理的標(biāo)準(zhǔn)。純粹數(shù)學(xué)為什么會(huì)有用？n 3。 數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)。n 4。 推測(cè)數(shù)學(xué)是否允許存在？n 5。 中國(guó)考據(jù)學(xué)派對(duì)數(shù)學(xué)的影響。（1）數(shù)學(xué)絕對(duì)主義的破滅n 數(shù)學(xué)結(jié)論絕對(duì)正確是做不到的， 但是并沒有到達(dá)“危機(jī)”的程度。n選擇公理是否準(zhǔn)許使用？n n 無限多盤糖果， 每盤各取一顆， 構(gòu)成一個(gè)拼盤。拼盤里的元素不確定， 沒有指出“選擇”的是什么糖！n 用選擇公理可

18、以得出巴拿赫怪論（1923） “一個(gè)球， 可以分割為兩個(gè)與原球全等的球”。 于是傾向于不準(zhǔn)用選擇公理n 但是選擇公理十分有用， 例如有界的無限點(diǎn)列必可選出收斂子列。 如圖：n 究竟用不用？ 沒有絕對(duì) 正確的選擇。 數(shù)學(xué)和其他學(xué)科一樣，沒有數(shù)學(xué)和其他學(xué)科一樣，沒有絕對(duì)。絕對(duì)。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)， 是故作是故作“驚人之語(yǔ)驚人之語(yǔ)”n 數(shù)學(xué)在一日千里地發(fā)展， 沒有危機(jī)。n 數(shù)學(xué)和其他科學(xué)一樣， 真理都是相對(duì)的， 不存在絕對(duì)正確。n 但是， 數(shù)學(xué)是思想材料， 按照邏輯展開， 在可以感受到的日常數(shù)學(xué)問題中， 數(shù)學(xué)仍然比其他“經(jīng)驗(yàn)科學(xué)”， 更加準(zhǔn)確。n 數(shù)學(xué)大廈的底層有裂縫， 但是不會(huì)傾覆倒塌

19、。（2）檢驗(yàn)數(shù)學(xué)真理的標(biāo)準(zhǔn)是實(shí)踐嗎？）檢驗(yàn)數(shù)學(xué)真理的標(biāo)準(zhǔn)是實(shí)踐嗎？n邏輯正確是數(shù)學(xué)論文發(fā)表的基本要求。 不必通過實(shí)踐檢驗(yàn)， 結(jié)論一定正確。n 數(shù)學(xué)結(jié)論有好壞之分。只有“好”數(shù)學(xué)才值得發(fā)表。 n 陳省身的好數(shù)學(xué)例子： 方程。n 流形。 球面上用一個(gè)直角坐標(biāo)系是不夠的， 經(jīng)緯線在北極相交， 坐標(biāo)和點(diǎn)不能一一對(duì)應(yīng)。陳省身：不大好的數(shù)學(xué)的例子n拿破侖定理：一個(gè)三角形， 在三邊上各作一個(gè)正三角形， 其中心聯(lián)起來也是一個(gè)正三角形。n 奧林匹克競(jìng)賽的題目， 都不是好的數(shù)學(xué)。n 馮 諾依曼說： 數(shù)學(xué)象在沙漠中的河流， 如果在一些枝節(jié)上停留過多， 就有干涸的危險(xiǎn)。懸賞100萬美圓的數(shù)學(xué)題目n P =NP ？n

20、黎曼猜想。n 龐加萊猜想n Hodge猜想n Birch等 猜想n Naiver Stokes 方程組3維光滑解的存在n 楊振寧-Mills場(chǎng)質(zhì)量間隙的存在數(shù)學(xué)需要實(shí)踐檢驗(yàn)！n有效性：信息論、控制論、計(jì)算機(jī)方案設(shè)計(jì)。 馮 諾依曼放棄純粹數(shù)學(xué)研究， 投身應(yīng)用數(shù)學(xué)n 深刻性：揭示客觀世界的規(guī)律！黎曼幾何， 楊-Mills場(chǎng)，陳省身-西蒙斯理論n 美學(xué)價(jià)值：公認(rèn)的科學(xué)價(jià)值。 費(fèi)馬定理的證明。n 創(chuàng)新需要時(shí)間的檢驗(yàn)。 康托的集合論。 模糊數(shù)學(xué)的價(jià)值（數(shù)學(xué)的里程碑？）3。數(shù)學(xué)美的通俗認(rèn)識(shí)（一）n 壯觀的描述： 三體問題n 有效的手段。 王選的數(shù)據(jù)壓縮。n 和諧的規(guī)律。 公式ei + 1 =0.n 奇特的

21、證明。 素?cái)?shù)無限多的證明。n 絢麗的變化。 分形演示n 藝術(shù)的圖案。 Esher 的畫數(shù)學(xué)畫n 俄羅斯數(shù)學(xué)家俄羅斯數(shù)學(xué)家 佛明科佛明科作品作品隨機(jī)過程隨機(jī)過程愛舍兒的畫n另外的世界另外的世界3。 數(shù)學(xué)美的通俗認(rèn)識(shí)（二）n1。 美觀。 1/2+ 1/3 = 2/5 ？ （和諧的天性）n2。 美好。 （a+b)2 = a 2+ b2 (2ab) 二次方程求根公式， 丑陋但美好。n 3。美妙。 三條高交于一點(diǎn)。妙！ 輔助線， 代換， 變形， 對(duì)人的沖擊。n 4。完美。 數(shù)學(xué)的體系。 數(shù)學(xué)的發(fā)展， 人類的數(shù)學(xué)追求。4。儒家文化與中國(guó)數(shù)學(xué)n 數(shù)學(xué)在儒家學(xué)說中沒有地位。數(shù)學(xué)家 不受重視。n 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)缺

22、少邏輯論證。思辨的理性精神， 不如古希臘。n 儒家文化是演繹的。 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)也是演繹的。只是：缺乏 形式邏輯的演繹！形式邏輯的演繹！n 中國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的中國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的邏輯邏輯要求遠(yuǎn)超西方要求遠(yuǎn)超西方宋明以后的儒學(xué)不再 面對(duì)原始問題n 孔孟經(jīng)典 不可動(dòng)搖的公理n朱熹的注疏 必須遵循的定理和推論n讀書人的文章 不過做一個(gè)練習(xí)而已n八股文： 按朱熹老夫子的標(biāo)準(zhǔn)答案做“學(xué)答” - - 美其名“代圣賢立言” n n 清 戴震（1722-1777）考據(jù)學(xué)派對(duì)科學(xué)的影響n 文字獄使讀書人回避“原始問題”n 在“故紙堆”中考據(jù)、訓(xùn)詁， 重證據(jù)、重演繹， 接近西方的邏輯推理。n儒家文化 - 宏觀上的

23、演繹系統(tǒng)n考據(jù)文化 - 微觀上的演繹方法考據(jù)學(xué)派的地位n 梁?jiǎn)⒊?“中國(guó)舊學(xué)， 考據(jù)、掌故、詞章為三大宗”。 考據(jù)列在第一位。n 清代學(xué)術(shù)之特色為考據(jù)學(xué)。明清一代學(xué)術(shù)走的是， 從反義理， 重訓(xùn)詁，到獨(dú)尊考據(jù)， 再到兼重義理的道路。n 清末民初， 中西文化屢有沖突， 但考據(jù)文化和西方科學(xué)一直相安無事。梁?jiǎn)⒊効紦?jù)文化n自清代考據(jù)學(xué)派200年之訓(xùn)練， 成為一種遺傳。 我國(guó)學(xué)子之頭腦漸趨于冷靜慎密。 此種精神實(shí)為科學(xué)成立之基本要素。我國(guó)對(duì)于形的科學(xué)（數(shù)理）， 淵源本遠(yuǎn)。 用其遺傳上極優(yōu)異之科學(xué)頭腦， 將來必可成為全世界第一等之科學(xué)國(guó)民 （清代學(xué)術(shù)概論）n 考據(jù)遺傳 = 科學(xué)頭腦胡適與考據(jù) （周昌龍

24、：戴東原哲學(xué)與胡適的知識(shí)主義。 漢學(xué)研究 12卷1期n 1910年， 參加庚款考試。 發(fā)覺做學(xué)問要從十三經(jīng)注疏開始。n 留美期間， 熟悉西方科學(xué)的同時(shí)， 完成詩(shī)言字解爾汝篇吾我篇諸子不出于王官論。n 回國(guó)后繼續(xù)整理國(guó)故從事紅樓夢(mèng)考證以及“三國(guó)”“水滸”等考證研究。n 考據(jù)影子：“大膽假設(shè)， 小心求證”。胡適：戴東原哲學(xué)（1922）n 中國(guó)舊有的哲學(xué)，只有清代的“樸學(xué)”確有科學(xué)精神。n 這個(gè)時(shí)代是一個(gè)考證學(xué)昌明的時(shí)代， 是一個(gè)科學(xué)的時(shí)代。戴氏是一個(gè)科學(xué)家， 他長(zhǎng)于算學(xué)， 精于考據(jù)。 他的治學(xué)方法最精密， 故能用這個(gè)時(shí)代的科學(xué)精神到哲學(xué)上去。 它的哲學(xué)是科學(xué)精神的哲學(xué)。 胡適文存3集卷2考據(jù)學(xué)派與

25、中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)n 戴震編修四庫(kù)全書， 校訂九章算術(shù)算經(jīng)十書等。n 乾嘉考據(jù)學(xué)派的另一代表人物是錢大昕。他的弟子有 李銳（1769 - 1817） 汪萊（1768-1894） 焦循（1764-1849） 羅士琳（1789-1817）n 他們努力使算學(xué)從經(jīng)學(xué)的負(fù)數(shù)地位解放出來。訓(xùn)詁與數(shù)學(xué)n阮元（1764-1848） 經(jīng)學(xué)大師兼數(shù)學(xué)家。 疇人傳 - 中國(guó)第一部算學(xué)家傳記n 李善蘭（1811-1882）。 清末中國(guó)數(shù)學(xué)的代表人物：“詞章、訓(xùn)詁之學(xué)雖皆涉獵， 然好之終不及算學(xué)”。n 古典數(shù)學(xué)為乾嘉學(xué)派所重視（錢寶琮）n 近來200年間， “小學(xué)”、“算學(xué)”是同時(shí)長(zhǎng)進(jìn)的 。（章太炎）考據(jù)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)n 考據(jù)學(xué)

26、派奉行“復(fù)古主義”， 主張“西學(xué)中源”。 終于沒有走向現(xiàn)代數(shù)學(xué)。n 考據(jù)必須使用邏輯。 例如要“考據(jù)傳綦即八大山人， 先證明“八大山人”就是“個(gè)山”， 而 “個(gè)山”即“傳綦”。 這里用了“甲是乙， 乙是丙， 于是甲是丙”的邏輯上的“傳遞性”原理。（洪萬生、劉鈍）n “歷代學(xué)者僅以訓(xùn)詁當(dāng)名學(xué)。 殊不知名學(xué)義大而經(jīng)， 訓(xùn)詁義小而粗?！保▌⒍汀?9184月29日北京大學(xué)日刊） “數(shù)學(xué) = 邏輯”的文化淵源n 數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面: 創(chuàng)造思考與邏輯證明n 中國(guó)提法：數(shù)學(xué)能力是基本運(yùn)算能力， 空間想象能力， 邏輯思維能力（核心）。n 但是， “數(shù)學(xué)不等于邏輯”。n 邏輯是數(shù)學(xué)家得以保持健康的衛(wèi)生規(guī)則。（大數(shù)

27、學(xué)家H。外耳語(yǔ)）n 極而言之， 我覺得數(shù)學(xué)和邏輯沒有什么關(guān)系 （日本著名數(shù)學(xué)家小平邦彥） 考據(jù)文化對(duì)數(shù)學(xué)的正反作用n 中國(guó)傳統(tǒng)文化對(duì)西方數(shù)學(xué)是否包容？（鄭毓信）n考據(jù)文化將數(shù)學(xué)的邏輯層面進(jìn)行同化, 成為中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的核心思想.n 同樣, 考據(jù)文化和演繹式的儒家文化,將創(chuàng)新性 的數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行過濾, 沒有很好吸收溶入.n 適度強(qiáng)調(diào)邏輯，適度強(qiáng)調(diào)邏輯， 提倡數(shù)學(xué)創(chuàng)造。提倡數(shù)學(xué)創(chuàng)造。5。 推測(cè)數(shù)學(xué)能否允許存在？n 1993年美國(guó)哈佛大學(xué)教授A. Jaffe 和弗吉尼亞大學(xué)教授 A.Quinn 發(fā)表文章。n 物理學(xué)的分工：理論物理學(xué)家提出猜想和推測(cè)， 實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家進(jìn)行驗(yàn)證。n 數(shù)學(xué)家卻必須把提出

28、猜想和進(jìn)行證明全部承擔(dān)。n 將來的數(shù)學(xué)是否可以由一些數(shù)學(xué)家進(jìn)行猜測(cè)， 推想， 探討。 另外一些數(shù)學(xué)家進(jìn)行證明？各方反映n 英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)M. Atuiyh 表示贊同。 他的老師 提出“幾何大綱”， 證明不夠， 由他補(bǔ)正。n 美國(guó)代數(shù)學(xué)家 S MacLane 反對(duì)， 證明萬歲！n 分形理論的創(chuàng)立者 B. Mandelbroit 說， 現(xiàn)在數(shù)學(xué)的清規(guī)戒律太多， 警察太多。 龐加萊很多原創(chuàng)的思想， 證明不嚴(yán)密。如果“警察”禁止， 數(shù)學(xué)的損失太大了 龐卡萊受畢卡(Picard) 的制約， 沒有在巴黎大學(xué)上過數(shù)學(xué)課程， 因?yàn)椴粐?yán)格。突變理論創(chuàng)立者R. Thomn 嚴(yán)格性是一個(gè)拉丁名詞， 讓人想起“僵尸

29、”。n數(shù)學(xué)分為三類： （1） 嬰兒為標(biāo)記。 正在成長(zhǎng)允許修改。 （2） 以十字架為標(biāo)記。 已經(jīng)證明， 永遠(yuǎn)不朽。 （3） 以教堂為標(biāo)記。 由高級(jí)教士組成， 專門評(píng)論數(shù)學(xué)論文應(yīng)該屬于那一類， 價(jià)值如何。姜伯駒的講話 1995.n“數(shù)學(xué)往往是最后取勝的法寶。 數(shù)學(xué)用得好， 你就贏了”n “數(shù)學(xué)在20世紀(jì)下半葉有很大的發(fā)展， 其中最大的發(fā)展是應(yīng)用。 跟第二次世界大戰(zhàn)以前不一樣， 現(xiàn)在到處在用數(shù)學(xué)， 更多的地方在試圖用數(shù)學(xué)。 因此， 數(shù)學(xué)系、數(shù)學(xué)專業(yè)起什么作用？ 如果還是培養(yǎng)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教授， 就業(yè)的情況擺在哪兒， 社會(huì)的需求量不是很大。 數(shù)學(xué)系是畢業(yè)生， 相當(dāng)多的人， 甚至多一半的人， 要到其他行業(yè)

30、里去起作用?！保ㄒ灾袊?guó)數(shù)學(xué)會(huì)通訊1996年第九期）前國(guó)際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟主席Mumford答記者問 1995一個(gè)重要的問題是恢復(fù)純粹數(shù)學(xué)家和應(yīng)用一個(gè)重要的問題是恢復(fù)純粹數(shù)學(xué)家和應(yīng)用數(shù)學(xué)家之間的思想交流。數(shù)學(xué)家之間的思想交流。 在在19世紀(jì)，世紀(jì)， 你你可以看到大多數(shù)的數(shù)學(xué)家都是一身二任的。可以看到大多數(shù)的數(shù)學(xué)家都是一身二任的。 例如傅立葉（例如傅立葉（Fourier）發(fā)現(xiàn)和研究級(jí)數(shù)，）發(fā)現(xiàn)和研究級(jí)數(shù)， 就是受了應(yīng)用的刺激。但以后發(fā)生了分隔，就是受了應(yīng)用的刺激。但以后發(fā)生了分隔， 尤其在美國(guó)。尤其在美國(guó)。 . 對(duì)科學(xué)的投資對(duì)科學(xué)的投資, 將不將不至于簡(jiǎn)單地化很多錢去搞純粹數(shù)學(xué)研究至于簡(jiǎn)單地化很多錢去

31、搞純粹數(shù)學(xué)研究, 而是相反而是相反, 應(yīng)當(dāng)引向一個(gè)共同目標(biāo)應(yīng)當(dāng)引向一個(gè)共同目標(biāo), 使得使得純粹數(shù)學(xué)研究人員能在應(yīng)用中受到啟發(fā)純粹數(shù)學(xué)研究人員能在應(yīng)用中受到啟發(fā), 運(yùn)用他們的理論思維更有效地解決實(shí)際問運(yùn)用他們的理論思維更有效地解決實(shí)際問題題” (引自引自1996年第年第3期期)第四部分n 文化數(shù)學(xué)的案例文化數(shù)學(xué)的案例案例1 丘成桐談史記n 華人唯一的費(fèi)爾茲獎(jiǎng)?wù)芦@得者。n 8月20日早上中央電視臺(tái)東方時(shí)空的“東方之子”欄目 （方靜采訪）n “我讀史記象欣賞歌劇， 一幕幕地展開?！眓 華彩樂章如：高山仰止， 景行景止。n 歷史是宏觀的。 學(xué)習(xí)歷史會(huì)使人用宏觀觀點(diǎn)考察事物。 我提出的數(shù)學(xué)想法往往和別人

32、的不一樣， 就是得力于史記例2。數(shù)學(xué)與文學(xué)：對(duì)稱與對(duì)仗n 對(duì)稱是變換以后的不變性質(zhì)n x2 + y2 是對(duì)稱多項(xiàng)式 （ x -y, y -x)n 明月松間照，明月松間照， 清泉石上流清泉石上流。n 上聯(lián)變成下聯(lián)：但是許多是不變的n 明月 - 清泉 自然景物不變n 明-清（形容詞）； 月-泉 （名詞）n 變中有不變。變中有不變。 道理是一樣的！道理是一樣的！例3 數(shù)學(xué)與語(yǔ)言n不管三七二十一”（乘法口訣）n“三下二除五就解決了”（算盤口訣）。n“萬無一失”，在中國(guó)語(yǔ)言里比喻“有絕對(duì)把握”。 但是， 這句成語(yǔ)可以聯(lián)系“小概率事件”進(jìn)行思考?！笆f有一失”在航天器的零件中也是不允許的。n“指數(shù)爆炸”、

33、“直線上升”等等已經(jīng)進(jìn)入我們的日常語(yǔ)言。 它們的含義可與事物的復(fù)雜性相聯(lián)系（計(jì)算復(fù)雜性問題）， 例4 數(shù)學(xué)和倫理n。 西方學(xué)者作過十分認(rèn)真的嘗試。 一個(gè)例子是， 兩個(gè)人每人有1，000元， 從其中一個(gè)人那里拿500元給另外一個(gè)人。 這一行動(dòng)所產(chǎn)生的快樂比痛苦少， 因?yàn)榈玫降娜说呢?cái)富只增加了1/3， 而失去者的損失是1/2。7例5。數(shù)學(xué)和日常生活n“方程”的思想， 說穿了不過是“拉關(guān)系“n 為了認(rèn)識(shí)“未知數(shù)”先生， 必須請(qǐng)已知數(shù)“先生為媒介， 找到一種關(guān)系， 根據(jù)關(guān)系就能認(rèn)識(shí)“未知數(shù)”先生了。 n樸素的思想， 正是一種文化現(xiàn)象。例例6張恭慶院士的問題張恭慶院士的問題n一條毛巾平攤著， 有東西向、

34、南北向、有東西向、南北向、以及上下共三組以及上下共三組6個(gè)方向，個(gè)方向， 那么是否可那么是否可能作一個(gè)運(yùn)動(dòng)使得這三組的兩個(gè)方向恰能作一個(gè)運(yùn)動(dòng)使得這三組的兩個(gè)方向恰好調(diào)換位置好調(diào)換位置？答案是不可能。一個(gè)“右手系”無論怎樣“旋轉(zhuǎn)、平移、翻折”都不可能變成“左手系”。 中學(xué)里有那中學(xué)里有那么多的立體幾何難題，么多的立體幾何難題， 卻很少觸及這樣卻很少觸及這樣簡(jiǎn)單又有巨大數(shù)學(xué)內(nèi)涵的觀察與思考簡(jiǎn)單又有巨大數(shù)學(xué)內(nèi)涵的觀察與思考。 奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽也不處理詞類問題。例7史樹中教授的問題n有一筆賭金， 甲、乙兩人競(jìng)賭， 輸贏的概率各為1/2， 以先累計(jì)達(dá)到5盤勝利者獲得這筆賭金。在進(jìn)行過程中， 因故突然終止

35、。 此時(shí)， 甲贏了4局， 乙贏了3局。 問這筆賭金該如何分配才合理？n 4/7 和和 3/7 比較合理比較合理 ？麻將為什么不能產(chǎn)生概率論？n答案是：假設(shè)再進(jìn)行一局，若甲勝（概率1/2）可得全部的1份賭金。 若乙勝（概率也是1/2）， 則大家各勝4局， 應(yīng)當(dāng)平分， 甲得1/2。 總之， 甲可得 （1/2） 1 + （1/2）（1/2） = 3/4。 n 我的思考是， 中國(guó)是一個(gè)缺乏概率思考的國(guó)家。傳統(tǒng)文化中缺乏隨機(jī)數(shù)學(xué)的因素， 公眾中應(yīng)當(dāng)盡快補(bǔ)上這一課。（例（例8）（荷蘭）甲離學(xué)校）（荷蘭）甲離學(xué)校10公里，公里， 乙離甲乙離甲3公里，公里， 問乙離學(xué)校幾公里？問乙離學(xué)校幾公里？n 訓(xùn)練學(xué)生的

36、表示能力。n甲、乙、學(xué)校在一條直線上？ 沒有說。n 校 乙 甲 乙 余弦定理。坐標(biāo)。參數(shù)。復(fù)數(shù)?？臻g（例9）公說公有理， 婆說婆有理。 香港某廠 業(yè)績(jī) 年份 90 91 92股東紅利 5萬 7。5萬 10萬工資總額 10萬 12。5萬 15萬 90 91 9215 10 590 91 92200%150%100%老板所畫工會(huì)主席所畫（例10）正三角形的案例n 美國(guó)北卡三個(gè)分校， 位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。要建設(shè)校內(nèi)網(wǎng)。n 貝爾電話公司收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：兩邊長(zhǎng) 2。n 在北卡三校的中心（荒漠）， 要求裝電話。因?yàn)榘词召M(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 31/2n “連接正三角形三點(diǎn)的方法， 有多少種？距離多少？n 中國(guó)青年數(shù)學(xué)家堵

37、丁柱證明 2：31/2 是極限。（例11）門后的車n 1 2 3n 任選一門 （例如 1 號(hào)）； 主持人打開無車的門（3號(hào)）n 是否要換2 號(hào)？n 應(yīng)該換。 因?yàn)檐囋?號(hào)門的概率是1/3， 而在2、3號(hào)門的概率是2/3。 既然3號(hào)門無車，在2號(hào)門的概率是2/3。n 考慮100扇門的情形， 當(dāng)主持人打開3-100扇無車的門， 你是否覺得車在2號(hào)門的概率很大很大呢？ （案例12）蘇聯(lián) 的一道空間想象題n四維空間單位方體的頂點(diǎn)數(shù).棱數(shù), 面數(shù), 三維面數(shù), 四維體數(shù)?n 解：頂點(diǎn)數(shù)：23 =16。n 棱數(shù)：（16 4）/2 = 32n 二維面：（16 C42）/4 = 24n 三維面： （16 C4

38、3 ）/8 = 8n 四維面： 1n 一般地 （2 +1）n = 2n + n2n-1 + + 1（例13）分蘋果問題（推廣）n 某A在果園摘了一堆蘋果， 把它的一半加半個(gè)給第一個(gè)看門人， 又將剩下的蘋果的一半加半個(gè)給第二個(gè)看門人。 那時(shí)只剩下兩個(gè)蘋果了。 問原來有幾個(gè)蘋果？n 兩個(gè)因子： 剩下的蘋果數(shù)，看門人個(gè)數(shù)n 思辨： 看門人比我多一個(gè)；A和看門人蘋果之和等于上次剩下的蘋果n 1，2；3，4；7，8；15，16； 31，32；63，64 ；.n 2，3；5，6；11，12； 23，24；47，48；95，96；n 3,4; 7,8;15,16； 31， 32； 63，64；127，128

39、n 一半加一個(gè)？一般加兩個(gè)？ （例14）X大王名裂上海南京路（1999）n溜溜球（25元/只). 溜溜蛋卷（1.5/包)n每包蛋卷中有一張卡片, 分紅,白,綠,黃藍(lán)五種花色. 集齊5種花色卡片, 可以換溜溜球一只.n 如5種卡片投放的概率為 P1, P2 P3 P4 P5,n 中獎(jiǎng)率為 (P1, P2 P3 P4 P5 ) x 5!n P1 = P2 = P3 = P4= P5 =(1/5) 時(shí)最大.(0.04)n 實(shí)際 紅色僅為 1/100. 記者披露H后, x大王名裂出南京路. 例15 投票的數(shù)學(xué)n 5種投票法: 1. 簡(jiǎn)單多數(shù) 2. 最高兩人選一. .3. 一票贊成, 一票否定. 4.

40、贊成投票法. 5. 排序打分法. 6. 奧運(yùn)投票法n 實(shí)力指標(biāo) 1972加拿大選舉n自由(109);保守黨(107) 新民主黨(31);其他(17) 總計(jì)264n51;28,24,24 51;26,26,2651,40,25,20,15n 選舉實(shí)力指標(biāo)分析（案例16）數(shù)據(jù)誤導(dǎo)n 班平均分為76分. 我得到78分在班上屬中上水平. 全班30人, 數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?個(gè)90分, 22個(gè)80分, 一個(gè)78分以及2分和10分. 算得 平均數(shù) 76.67. 78分者平均分以上, 倒數(shù)第三.n 據(jù)校友問卷調(diào)查, 1924年耶魯大學(xué)畢業(yè)生的年收入為25111美圓.n 1936年美國(guó)總統(tǒng)大選, 電話調(diào)查蘭登將高票當(dāng)選, 結(jié)果羅斯福勝出. （例17）仙農(nóng)(Shannon)研究信息論n 一.信息量 烽火臺(tái). 傳送一個(gè)信息量 log2 2 =1. 兩個(gè)烽火臺(tái). 1. 敵人來? 2.要否補(bǔ)給? 四種情況. log2 4 =2. 信息是 0,1 符號(hào)串.n 二 . 概率和信息量: “狗咬人” “人咬狗”. “今天