矢量場和梯度算子PPT演示課件

1、2021-10-271矢量、矢量場和梯度算子2021-10-272坐標(biāo)變換yxabpo, xoabpyobap坐標(biāo)系 oxyz 任一點(diǎn) p 的坐標(biāo)：, xodyoe坐標(biāo)系 oxyz 任一點(diǎn) p 的坐標(biāo)：eyxcdcossincossinocoeecoaapodofdfobbp cossinsincosxxyyxyzz cos cos2cos2cosxyxy坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換2021-10-273標(biāo)量與矢量的定義定義：如果某個(gè)量在任一坐標(biāo)系中僅需一個(gè)數(shù)（分量）描述， 并且在坐標(biāo)變換下其分量是不變的，則稱其為標(biāo)量標(biāo)量推論：如果 a 和 b 是兩個(gè)標(biāo)量，則 a+b 和 ab 也都是標(biāo)量。 cossin

2、sincosxxyyxyzzaaaaaaaa 例子：質(zhì)量m、電荷q、溫度、 newton時(shí)間t， etc.定義：如果某個(gè)量在任一坐標(biāo)系中需三個(gè)數(shù)（分量）描述， 并且在坐標(biāo)變換下其分量與坐標(biāo)的變換規(guī)律一樣， 則稱其為矢量矢量。即推論：位矢是一個(gè)矢量矢量的表示:xyzaaaaxryz2021-10-274標(biāo)量與矢量運(yùn)算如何由給定的標(biāo)量和矢量得到新的標(biāo)量和矢量。設(shè) a、b為標(biāo)量，推論:位移、速度、加速度、動量等物理量是矢量21, , , drdrrrvravrpmvdt其分量定義為,xxyyzzab ababaabb矢量的線性組合仍然是矢量力為矢量是一個(gè)物理的假設(shè)，而不是數(shù)學(xué)的推論為矢量。ab、數(shù)乘

3、：abaa,xyzaa aa aa其分量定義為矢量和：2021-10-275標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))推論：動能標(biāo)量積：xxyyzza ba ba ba bb a矢量的長度：222xyzaaa aaaa 證明：cossincossinsincossincosxxyyzzxyxyxyxyzzxxyyzza ba ba ba baabbaabba ba ba ba ba b /如果對于任意矢量212tmv、功是標(biāo)量f dr是一個(gè)標(biāo)量，則, xxyyzzaa ba ba b必是某個(gè)矢量 的分量。, , xyzbbbb2021-10-276標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))矢量積：, yzzyxyzxxzxyyxza b

4、a bccabca ba ba ba bc證明：sincossincossincossincoscossinxyzzyxyzzxyxzyzzxzyxyca ba baababba ba ba ba bcc 推論：角動量lrp、力矩是（贗）矢量。rfabba 2021-10-277標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù)) 標(biāo)量積的幾何意義：cosa bab 證明：yx,0 xybb bo,0,0aacosxxyyzzxxa ba ba ba ba bab 0000yzzyxyzxxzxyyxyyxza ba bcca ba ba baba ba bc,cab矢量積的幾何意義：大小為 ，即兩個(gè)矢量張成的平行四邊形的面

5、積，方向滿足右手法則。為兩個(gè)矢量之間的夾角：0sinab2021-10-278單位基矢l 單位基矢：l“完整”的矢量指定了坐標(biāo)系并且給出了矢量分量的含義, xaa x突出了矢量是坐標(biāo)變換下得不變量yx x yyxo x y , , satisfying 1 , 0, and , x y zx xx yxyzl 單位基矢的變換： cossinsincosxxyyxyzz xyzaa xa ya zxyzxyzaa xa ya za xa ya z 2021-10-279矢量的混合積 and abababcabcabcababc的大小為三個(gè)矢量所張成的平行六面體的體積，正負(fù)取決于這三個(gè)矢量是否滿足

6、右手法則確定。 abcbcacababcbcacab abca c bb c acabc b ac a b 1xyz2021-10-2710標(biāo)量場及其幾何表示標(biāo)量場：標(biāo)量在空間的分布，對于空間任一點(diǎn)都指定或者賦 予某個(gè)唯一的標(biāo)量（數(shù)）代數(shù)表示：函數(shù) r幾何表示：等值面、等值線 const.r-q+q-q+3q-q+q-q+q-q+q-q+q2021-10-2711矢量及其幾何表示矢量場：矢量在空間的分布，對于空間任一點(diǎn)都指定或者賦予某個(gè)唯一的矢量代數(shù)表示：函數(shù) a r幾何表示：箭頭、場線dradt,a x yyxxy,b x yxxyyr22222,sincosa x yyxxyxctdx d

7、tyd xdyxxycdy dtxdtdtyct 2021-10-2712場在空間某個(gè)方向上的變化率在每一點(diǎn)處的數(shù)值都滿足矢量分量的變換規(guī)律 , xyzxyzxyzdrdx dy dzn dt n dt n dtn n ndtndtdrdrrdxdydzxyznnndtxyzxyzdnnndtxyzn, , xyz在 方向上的變化率 方向?qū)?shù) n2021-10-2713場在空間某個(gè)方向上的變化率(續(xù))是一個(gè)矢量場的三個(gè)分量, , xyz cossinsincosxxyyxyzz cossinsincosxxyyxyzz 梯度算子, , or xyzxyzxyz nn 在 方向上的方向?qū)?shù) nx

8、x 2021-10-2714梯度算子梯度算子是一個(gè)矢量算子 or or or aaaagrad div curlyxzxyzxyzaaaaxyza 標(biāo)量場梯度是一個(gè)矢量場：矢量場散度是一個(gè)標(biāo)量場：矢量場旋度是一個(gè)矢量場：梯度算子是一個(gè)矢量微分算符：作為矢量，滿足通常矢量點(diǎn)乘和叉乘運(yùn)算法則作為矢量，滿足通常矢量點(diǎn)乘和叉乘運(yùn)算法則作為算符，需作用于表達(dá)式中的所有對象作為算符，需作用于表達(dá)式中的所有對象, zyxaaayz2021-10-2715與位置有關(guān)的矢量微分公式證明：證明：, 3, 0rrrrrr 30, xrrrxyzrrxyzxyzxyzrrrrxyzrxyzrzyyz 2222222,

9、 2rxyzxxxxrxyz2021-10-2716與梯度算子有關(guān)的一些矢量恒等式 drrdraaaaaa ababbaabbaa bb aab 2021-10-2717關(guān)于梯度算子恒等式的符號法證明例例: :用符號法證明用符號法證明證(1) 視視 為為“算符算符”，分別作用，分別作用 和和 （加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：, (2) 視視 矢和矢和 為為“矢量矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得 證畢證畢2021-10-2718梯度算子補(bǔ)例補(bǔ)例

10、: :用符號法證明用符號法證明證(1) 視視 為為“算符算符”，分別作用，分別作用 和和 （加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2) 視視 矢和矢和 a 為為“矢量矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢證畢aaa aaaaa aaaaaaa aaa 0r rrr 2021-10-2719梯度算子補(bǔ)例補(bǔ)例: :用符號法證明用符號法證明證(1) 視視 為為“算符算符”，分別作用，分別作用 a 和和 b（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：（加上下標(biāo)以示區(qū)別），

11、得兩項(xiàng)：(2) 視視 a 矢和矢和 b 為為“矢量矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢證畢abababab ababba aabbbbabababababab ababba 2021-10-2720梯度算子補(bǔ)例補(bǔ)例: :用符號法證明用符號法證明證(1) 視視 為為“算符算符”，分別作用，分別作用 a 和和 b（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2) 視視 a 矢和矢和 b 為為“矢量矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢證畢abbaa bb aab abababab aaaaabbbbbabb aa bbaa babb aa bb aab abbaa bb aab 2021-10-2721場隨空間的二階變化a標(biāo)量場梯度 是矢量場：矢量場散度 是標(biāo)量場：aa 矢量場旋度 是矢量場： and aa and 222222