專題研究全等三角形證明方法歸納及典型例題Word版

1、傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對您有幫助，可雙擊去除！全等三角形的證明全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對應(yīng)角(5)有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)要想正確地表示兩個三角形全等，找出

2、對應(yīng)的元素是關(guān)鍵全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊定理(sas)：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 (2) 角邊角定理(asa)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(3) 邊邊邊定理(sss)：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(4) 角角邊定理(aas)：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(hl)：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過判定兩個三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個

3、角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)專題1、常見輔助線的做法典型例題找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中

4、的“對折”。例1：如圖，abc是等腰直角三角形，bac=90，bd平分abc交ac于點(diǎn)d，ce垂直于bd，交bd的延長線于點(diǎn)e。求證：bd=2ce。思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2）解題思路：要求證bd=2ce，可用加倍法，延長短邊，又因為有bd平分abc的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程：證明：延長ba，ce交于點(diǎn)f，在bef和bec中，1=2，be=be，bef=bec=90，befbec，ef=ec，從而cf=2ce。又1+f=3+f=90，故1=3。在abd和acf中，1=3，ab=ac，bad=caf=90，abdacf，bd=c

5、f，bd=2ce。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識點(diǎn)和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2：如圖，已知abc中，ad是bac的平分線，ad又是bc邊上的中線。求證：abc是等腰三角形。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、

6、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了ad又是bc邊上的中線這一條件，而且要求證ab=ac，可倍長ad得全等三角形，從而問題得證。解答過程：證明：延長ad到e，使de=ad，連接be。又因為ad是bc邊上的中線，bd=dc又bde=cdabedcad，故eb=ac，e=2，ad是bac的平分線1=2，1=e，ab=eb，從而ab=ac，即abc是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分

7、線的性質(zhì)定理或逆定理。例3：已知，如圖，ac平分bad，cd=cb，abad。求證：b+adc=180。思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2）解題思路：因為ac是bad的平分線，所以可過點(diǎn)c作bad的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作ceab于e，cfad于f。ac平分bad，ce=cf。在rtcbe和rtcdf中，ce=cf，cb=cd，rtcbertcdf，b=cdf，cdf+adc=180，b+adc=180。解題后的思考：關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。（4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形

8、，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4：如圖，abc中，ab=ac，e是ab上一點(diǎn)，f是ac延長線上一點(diǎn)，連ef交bc于d，若eb=cf。求證：de=df。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路：因為de、df所在的兩個三角形deb與dfc不可能全等，又知eb=cf，所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過e作eg/cf，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：證明：過e作eg/ac交bc于g，則egb=acb，又ab=ac，b=acb，b=egb，egd=dcf，eb=eg=cf，edb=

9、cdf，dgedcf，de=df。解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：例5：abc中，bac=60，c=40，ap平分bac交bc于p，bq平分abc交ac于q，求證：ab+bp=bq+aq。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路：本題要證明的是ab+bp=bq+aq。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^o作bc的平行線。得adoaqo。得到od=oq，ad=aq，只要再證出bd=od就可以了。解答過程：證明：如圖（1），過o作odbc交ab于d，ado=abc=1806040=80，又

10、aqo=c+qbc=80，ado=aqo，又dao=qao，oa=ao，adoaqo，od=oq，ad=aq，又odbp，pbo=dob，又pbo=dbo，dbo=dob，bd=od，又bpa=c+pac=70，bop=oba+bao=70，bop=bpo，bp=ob，ab+bp=ad+db+bp=aq+oq+bo=aq+bq。解題后的思考：（1）本題也可以在ab上截取ad=aq，連od，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），過o作odbc交ac于d，則adoabo從而得以解決。如圖（5），過p作pdbq交ac于d，則abpadp從而得以解決

11、。小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。（5）截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6：如圖甲，adbc，點(diǎn)e在線段ab上，ade=cde，dce=ecb。求證：cd=ad+bc。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補(bǔ)短法。2）解題思路：結(jié)論是cd=ad+bc，可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在cd上截取c