第一模塊邏輯代數(shù)基礎

1、For personal use only in study and research; not for commercial use芅第一模塊邏輯代數(shù)基礎蚅一、二、螁本模塊學習目標1、2、艿理解數(shù)字信號和數(shù)字系統(tǒng)的基本概念；掌握二進制數(shù)的表示方法，理解8421 BCD 碼；3、4、 薈 熟練掌握邏輯代數(shù)的基本邏輯運算和基本定律，熟練掌握代數(shù)法和卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)的基本方法；5、6、 膄 熟悉幾種常用的數(shù)字器件及其邏輯符號的表示方法。三、四、蒁本模塊重點內容肇 1、邏輯代數(shù)的基本公式、常用公式和定理。蚆 2、邏輯代數(shù)的表示方法（真值表、邏輯式、邏輯圖、波形圖、卡諾圖）及其相關轉換方法。薄 3

2、、最小項的定義及其性質、邏輯函數(shù)最小項之和表示法。7、8、節(jié)邏輯函數(shù)的化簡方法（公式化簡法和卡諾圖化簡法）。9、10、肈無關項在化簡邏輯函數(shù)中的應用11、12、螄計數(shù)體制權的概念、十進制數(shù)與二進制數(shù)、八進制數(shù)、十六進制數(shù)的相互轉換。13、14、羃編碼的概念與常用編碼。羂三、本模塊問題釋疑腿 1、什么是數(shù)字信號和數(shù)字電路？膇答：在數(shù)值上和時間上均不連續(xù)的信號稱為數(shù)字信號或脈沖信號。輸入和輸出信號均為數(shù)字信號的電路稱為數(shù)字電路。這類電路研究的目標是它們的輸入與輸出間的邏輯關系。2、3、 莃 為什么數(shù)字邏輯是二值的？螃答：二值的數(shù)字邏輯的產生，是基于事物之間彼此相關又互相對立的邏輯狀態(tài)，并分別用邏輯

3、 1 和邏輯 O 來表示這種邏輯狀態(tài)。這里的“ 0 ”和“ 1 ”并不表示大小關系，而是表示邏輯關系，即一對相對的物理量。羇 3、數(shù)字電路的特點？芅答：數(shù)字電路的特點如下：a)b)袂輸和和輸出信號均為脈沖信號；c)d)蒃電子元件工作在開關狀態(tài)即要么飽和、要么截止；e)f)肈研究的目的是輸入與輸出間的邏輯關系，而不是大小和相位關系；g)h)蚈研究的工具是邏輯代數(shù)和二進制計數(shù)法。薅 4、什么是脈沖波形？罿答：當某波形僅有兩個離散值時，通常稱之為脈沖波形。肀螆 5、從工作信號和晶體管的工作狀態(tài)來說明模擬電子電路和數(shù)字電子電路的區(qū)別。羅答：模擬電子電路中輸入和輸出信號都是不僅在時間上而且在數(shù)值上連續(xù)變

4、化的模擬信號，電路中的晶體管是工作在線性放大區(qū)，研究內容是電路輸出與輸入信號之間的大小和相位關系。數(shù)字電子電路中輸入和輸出信號都是不僅在時間上而且在數(shù)值上不連續(xù)的脈沖信號， 電路中的晶體管是工作在要么飽和要么截止的開關狀態(tài)，研究的內容是電路輸出與輸入之間的邏輯關系。蝕 6、十二進制之間的轉換規(guī)則？袇答：將二進制轉換為十進制，需要二進制按權展開再相加便得到二進制。十進制轉化為二進制，整數(shù)部分除2 取余；小數(shù)部分乘2 取整。襖 (101.01)122 0 21 120 0 2 1 1 2 2 (5.25)DB蒀所以： (44.375)D (101100.011)B羈 7、十六二進制之間的轉換規(guī)則？

5、八二進制之間的轉換規(guī)則？芇 答：將二進制數(shù)中的每4 位與十六進制數(shù)對應即得十六進制數(shù)；將每位十六進制數(shù)用4 位二進制數(shù)代替即得到相應的二進制數(shù)。將二進制數(shù)中的每3 位與八進制數(shù)對應即得到八進制數(shù)；將每位八進制數(shù)用3 位二進制數(shù)代替即得到相應的二進制數(shù)。螃(374.26)O=（ 011 111 100 . 010 110） B = （ 11 111 100. 010 11） B膀 (AF4.76) H=（ 1010 1111 0100 . 0111 0110） B = （ 1010 1111 0100 .0111 011） B15、16、羀 邏輯運算中“ 1”和“ 0”是否表示兩個數(shù)字？邏輯加法

6、運算和算術加法運算有何不同？蒞 答：邏輯運算中的“ 1 ”和“ 0 ”只是表示兩個相反的邏輯狀態(tài)，如高和低，開和關，通和斷，是和非等等，不是算術運算中的兩個數(shù)字。邏輯加法運算是一種“或”邏輯關系，所以1+1=1 ，而不像十進制算術加法運算中1+1=2 ，或二進制加法運算中1+1=10 。17、18、芃列舉邏輯函數(shù)的四種表示方法？羈答：邏輯真值表、邏輯式、邏輯圖、卡諾圖和波形圖。螇螈 10、“與”“或”“非”運算的規(guī)律？螞 答：與運算：輸入有0 得 0，全 1 得 1；或運算：有1 得 1，全 0 得 0；非運算：0 變 1， 1 變 0，即“始終相反蟻 11、邏輯代數(shù)和普通代數(shù)有什么區(qū)別？袈答

7、：邏輯代數(shù)和普通代數(shù)的主要區(qū)別有：a)b)袆邏輯變量有原變量和反變量兩類，普通代數(shù)中沒有反變量一說。c)d)莆 邏輯變量的取值只有“0”和“ 1 ”兩個，而普通代數(shù)中變量可取任意值。e)f)莂邏 輯代數(shù)中的各種運算都是邏算。同樣，邏輯變量的兩個取值“而只是代表兩個相反的狀態(tài)而已。輯運 算，而 不是 普通代數(shù)中 的數(shù)值 運0 ”和“ 1”，也不代表數(shù)值的大小，g)h)袀邏輯代數(shù)中的基本運算只有邏輯乘（“與”）、邏輯加（ “或” ）和邏輯“非”（求反或否定）三種，不像普通代數(shù)中有加、減、乘、除四種。羄 12、邏輯代數(shù)的特點？螅答：邏輯代數(shù)的特點如下：膂 1）它的所有變量與函數(shù)值僅有兩個特征值0 和

8、 1，具有排中性，它們所表示的是一對互為相反的差異，它的公式、規(guī)律、定理與主義均用二值邏輯的因果關系來理解；蚇 2 ）邏輯代數(shù)只有 3 種基本運算，即與、或、非。莇 13、什么是代入規(guī)則？膄答：在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊的某一變量都用一個函數(shù)代替，則等式依然成立。袂 14 、什么是反演規(guī)則？蝿答：若求一個邏輯函數(shù)Y 的反函數(shù)時，只要將函數(shù)中所有“”換成“+”，“ +”換成“ ”；“ 0 ”換成“1”，“ 1”換成“0”；原變量換成反變量，反變量換成原變量；則得到的邏輯函數(shù)式就是邏輯函數(shù)Y 的反函數(shù)。蒅YABCDEYABCDE蚄 15 、什么是對偶規(guī)則？蚃答： Y 是一個邏輯表達式，如

9、果將Y 中的“ ”換成“+”，“ +”換成“ ”；“ 0”換成“ 1 ”，“ 1”換成“0 ”；所得到新的邏輯函數(shù)式Y，就是Y 的對偶函數(shù)。袀YABCDEYABCDE16、17、 袇運用基本規(guī)則的注意事項？肅答：運用規(guī)則必須注意運算符號的先后順序，必須按照先括號，然后按先與、后或的順序變換，而且保持兩個及兩個以上變量的非號不變。莃 17、最小的性質？蚇答：最小的性質如下：1)2)羆 對于任意一個最小項，只有變量的一組取值使得它的值為1 ，而取其它值時，這個最小項的值都是0。3)4)蒂若兩個最小項之間只有一個變量不同，其余各變量均相同，則稱這兩個最小項滿足邏輯相鄰。5)6)衿對于任意一種取值全體

10、最小項之和為1 。7)8)蠆 對于一個 n 輸入變量的函數(shù)，每個最小項有n 個最小項與之相鄰。肄 18、最小項編號的方法？羂答：先將最小項的原變量用1，反變量用0 表示，構成二進制數(shù)；將此二進制數(shù)轉換成相應的十進制數(shù)就是該最小項的編號。19、20、 薀什么是邏輯相鄰項？螀答：卡邏輯相鄰項是指：諾圖中上下、左右之間的最小項；水平方向里同一行最左和最右；垂直方向同一列最上和最下以及四個角為邏輯相鄰項。21、22、 蕆利用卡諾圖全并最小項的規(guī)律？薅答：圈 0得到反函數(shù)，圈1 得到原函數(shù)。只有滿足2m 個最小項的相鄰項才能合并，并可消去m個不同變量，保相同變量。23、24、莀畫卡諾圈的注意事項？薇答：

11、注意事項如下：i)j)薅 卡諾圈應按2n 方格來圈，卡諾圈越大越好，越少越好；k)l)肅 卡諾圈中的“1”可以重復使用；m)n)肁 每個圈至少有一個從來沒被圈過的“1”，否則為多余圈。o)p)蕿 包圍圈越少越好，包圍圈中“1 ”越多越好。25、26、 羇 4 變量和 5 變量的卡諾圖有幾個方格？蒄答： 4 變量的卡諾圖為16 個方格。5 變量的卡諾圖有32 個方格。27、28、 袁什么是最小項?蝕答： n 個變量X1 , X 2, ， Xn 的最小項是n 個因子的乘積, 每個變量都以它的原變量或非變量的形式在乘積項中出現(xiàn), 且僅出現(xiàn)一次。又稱標準積項。29、30、 肆如何理解邏輯狀態(tài)表和卡諾圖

12、是惟一的？袃答：邏輯狀態(tài)表中包含了所有輸入變量的全部取值組合及其對應的輸出變量的取值，反映了邏輯問題的全部因果關系，因此對一個邏輯問題來說它是惟一的表示方法。薁卡諾圖畫出了所有變量組成的全部最小項所占有的小方塊，這些小方塊中取1的部分恰好是邏輯函數(shù)中取1 的最小項，它同樣反映了邏輯問題的全部因果關系，所以也是唯一的。蒈由上可見，用最小項表示的邏輯式也應該是惟一的。31、32、 蒈什么是正邏輯和負邏輯？有何相互轉換的方法？莃答：正邏輯：規(guī)定高電平為“1”，低電平為“0”。莂 負邏輯：規(guī)定低電平為“1”，高電平為“0”。葿33、34、 薆什么是無關項？卡諾圖中無關項如何處理？螂答：在真值表內對應于

13、變量的某些取值下，函數(shù)的值可以是任意的，或者這些變量的取值根本不會出現(xiàn)，這些變量取值所對應的最小項稱為無關基或任意項。無關項的輸出是任意的，如果它對函數(shù)化簡有利，則認為它是“1 ”；反之，則認為它是“ 0”。肀四、本模塊例題詳解蕿【例 1】蚃 1、將 11110101.011 2 轉換成十進制數(shù)蒄解：11110101.011 2 127126125124023122021120021122123袁245.37510莆 2、一數(shù)字信號的波形如圖1.1.1所示，試問該波形所代表的二進制數(shù)是什么？肅袃 解： 0101 1010薁 3、將下列每一二進制數(shù)轉換為十六進制碼：蕆(1) 101001B(2)

14、 11.01101B膄解： (1) 101001B=29H(2) 11.01101B=3.68H莂 4、將下列十六進制數(shù)轉換為二進制數(shù)：肇(1) 23F.45H(2) A040.51H葿 解： (1) 23F.45H=10 0011 1111.0100 0101B薆(2) A040.51H=1010 0000 0100 0000.0101 0001B螂螈芆【例 2】將 245.42 8 轉換為十進制數(shù)解：245.42 8224150481282165.53125 10蚅888膁【例 3】薈 1、將 245.42 16 轉換為十進制數(shù)莇解： 245.42 16 22101612162581.25

15、78125 10164 16516 4螃 2 、將下列十進制數(shù)轉換為二進制數(shù)、八進制數(shù)、 十六進制數(shù)和8421BCD 碼（要求轉換誤差不大于2-4 ）：薁(1) 43(2) 127(3) 254.25(4) 2.718艿 解： (1) 43D=101011B=53O=2BH ；43 的 BCD編碼為 0100 0011BCD 。葿 (2) 127D=1111111B=177O=7FH； 127的 BCD編碼為 0001 0010 0111BCD。膅 (3) 254.25D=11111110.01B=376.2O=FE.4H；001001010100.00100101BCD。肀 (4) 2.71

16、8D=10.1011 0111B=2.56O=2.B7H；0010.0111 0001 1000BCD。聿3 、 將下列十進制轉換為十六進制數(shù)：芆(1) 500D(2) 59D(3) 0.34D(4) 1002.45D芄解 (1) 500D=1F4H(2) 59D=3BH(3) 0.34D=0.570AH(4) 1002.45D=3EA.7333H螃 4 、 將下列十六進制數(shù)轉換為十進制數(shù)：蝿(1) 103.2H(2) A45D.0BCH羋解： (1) 103.2H=259.125D(2) A45D.0BCH=41024.046D蚆膃 【例 4】求 1110111.1101111 2? 8 ；

17、 1110111.1101111 2 ? 16薀解： 001，110， 111 110，111， 100肅16 7674故： 1110111.1101111 2 167.674 8螄 0111， 0111 1101， 1110薂77DE故： 1110111.1101111 2 77.DE 16芀【例 5】求 374.28？2374.2 16 ? 2膆解：袃011, 111, 100.010故 374.2 8 11111100.01 2羈374.2羀0011, 0111, 0100 . 0010故 374.2 16 1101110100.001 2膈374.2芅【例 6】求5110 ?2蒁解：2

18、51余數(shù)螁2251b0 低位羅2 121b1莃2 60b2袀230b3蒁2 11b4肆01b5 高 位5110b543b21021100112b bb b蚆薄 【例 7】求0.785 10? 2 ，要求精確到小數(shù)點后第5 位。羈解： 0.78521.57b肈0.5721.14b襖0.1420.28b羃0.2820.56b蚈0.5621.12b12345110010.785 100.11001 2裊 【例 8】用邏輯代數(shù)證明下列不等式羃(a)AABAB莂證明：由交換律ABC( AB)( AC ) ，得蒈AAB(AA)(AB)AB羇(b)ABCAB CABCABACABCABCABC A(BC B

19、C BC ) A(C BC )芅證明：B)AB ACA(C袂(c)AAB CA CDCD EACDEAABCACDCD EAACD(CD)E腿證明：_ACDCDEACDE_ _肈(d)ACABCB CABC_ _ _莃證明： ACA BCBCABCACBCB CABC_ _ACCABCCABCC芁(e) ABCDABC D AB AD ABCABCDABCDABADABCABABCDAD罿證明：A(BBCD)ADABACDADABA(DDC)ABADAC_裊(f) ( AB BD )C BD ( AC ) D ( A B )_(ABBD )CBD (AC )D (AB)螆證明：ABCBCDBD

20、(AC)DABA BCBC DABDBCDABDABCBCDABBCD蝕【例 9】蠆 1.利用與非門實現(xiàn)下列函數(shù)袇(a) L=AB+AC_ _襖LABAC_ _莄(b) LD ( A C )_ _蒀LD(AC)DAC_ _羈(c) L(AB)(CD )_ _羂L (A B)(C D) ABCD螃膀 2.將下列各式轉換成與 或形式_螅(a)ABCD_蒞芃羈1)當AB 0，C D 1時，真值為 1。于是(AB=01 ， CD=00 或 CD=11 時，真值為1；AB=10 ， CD=00 或 CD=11 時，真值為1。螇則有四個最小項不為0，即 ABC D 、 ABCD 、 ABC D 、 ABC

21、D_蒃(2)當 A B1，C D0 時，真值為 1。螞 AB=00 ， CD=10 或 CD=01 時，真值為 1；蟻AB=11 ，CD=10 或 CD=01 時，真值為 1。袈則有四個最小項不為0，即 AB CD 、 AB C D 、 ABCD 、 ABC D_ABCDm(1,2,4,7,8,11,13,14)袆_ _ _肁 (b) A B C D C D A D_ _ _ABCDCDAD(AB)(CD)(CD)(AD)(CD)(ABD)ACADBCBDCDD莁ACBCD_ _ _蚆 (c) AC BD BC AB_ _ _ _ _ _ _AC BDBC ABAC BDBC AB羄(A C)

22、(B D) (B C)(A B)ABBC ADCD ABACB BCBADC DA C薁袈 【例 10】用代數(shù)法求FABACBCABCD 的最簡與或式。蚇解： FABACBCABCDABACBC肂ABABCABABCABC羀 【例 11】求 FACABCBCABC 的最簡與或式。蚈解：這種類型的題目，一般首先對是非號下的表達式化簡，然后對整個表達式化簡。螈FACABCBCACBCBCACCC蒅故：FFABCCABCC蚄莈 【例 12】 用卡諾圖法求F1 A， B， C， D m 0，2，4，7，8，10，12，13 的最簡與或式。薆解：F 1 的卡諾圖及卡諾圈畫法如圖1.1 所示薃所得最簡與或

23、式為F 1B DC DABC ABCD肅注意：卡諾圖左上角的變量分布根據(jù)不同的習慣有不同的寫法，如另一種寫法為對于這種寫法，卡諾圖中填1 的方格也要相應改變?yōu)槿鐖D1.2 所示。CD/AB，聿蚇羆蒂衿蚈圖 1.1 F1 的卡諾圖圖 1.2F 1 的另一種卡諾圖肄初學者常常犯這樣的錯誤，在畫卡諾圖時， 變量的分布按圖1.2 中的式樣填寫成CD/AB ，而在方格中填“ 1”時，卻按圖1.1 的樣式填寫，因而導致錯誤的結果。羂按照習慣，在畫卡諾圖時，從左上角到右上角，變量A 、 B、 C、 D 排列的順序與函數(shù)F A，B， C，D 括號中的排列一致，或與真值表上的變量排列一致。薀 【例 13】 求 F

24、 3 A，B，C，D m 0，1，4，5，6，7，9，10，11，13，14，15 的最簡與或式。蒆解：F 2 的卡諾圖及卡諾圈畫法如圖1.3 所示。蒆所得 F 2 最簡與或式：F 2 ACCDBCAC莁注意：對同一個函數(shù)的卡諾圖，有時存在不同的卡諾圈畫法，因而所得的最簡與或式的表達式不是唯一的， 但不同表達式中與項的數(shù)目應該是相同的。 例如：此題的另一種卡諾圈畫法如圖 1.4 所示。莀根據(jù)F 2 卡諾圖后一種卡諾圈的畫法，所得F 2 最簡與或式為薇 F 2ACABADAC薅從上述的F 2 兩種最簡與或式中可知，它們的與項數(shù)目相同，化簡程度一樣，都是正確的答案。螀 【例 14】 求 F 3 A，B，C，D m