普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國新課標(biāo)II卷數(shù)學(xué)試題理科解析版

1、注意事項：1.本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.第卷1至3頁，第卷3至5頁.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.第卷一.選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a考點： 復(fù)數(shù)的幾何意義.【名師點睛】復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的

2、方程(不等式)組即可復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點z(a，b)(a，br)復(fù)數(shù)zabi(a，br) 平面向量.（2）已知集合，則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】c【解析】試題分析：集合，而，所以，故選c.考點： 集合的運算.【名師點睛】集合的交、并、補(bǔ)運算問題，應(yīng)先把集合化簡在計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖處理.（3）已知向量，且，則（ ）（a）8 （b）6 （c）6 （d）8【答案】d【解析】試題分析：向量，由得，解得，故選d.考點： 平面向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積.【名師點睛】已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)：結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件a

3、b0x1x2y1y20（4）圓的圓心到直線的距離為1，則a=（ ）（a） （b） （c） （d）2【答案】a考點： 圓的方程、點到直線的距離公式.【名師點睛】直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑長r的大小關(guān)系來判斷若dr，則直線與圓相離；若dr，則直線與圓相切；若dr，則直線與圓相交(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解的個數(shù)(也就是方程組解的個數(shù))來判斷如果0，方程有兩個不同的實數(shù)解，從而方程組也有兩組不同的實數(shù)解，那么直線與圓相交提醒：直線與圓的位置關(guān)系的判斷多用幾何法（5）如圖，小明從街道的e處出發(fā)，

4、先到f處與小紅會合，再一起到位于g處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（ ）（a）24 （b）18 （c）12 （d）9【答案】b考點： 計數(shù)原理、組合.【名師點睛】分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的（6）下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】c【解析】試題分析：由題意可知，圓柱的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，故該幾何體的表面

5、積為，故選c.考點： 三視圖，空間幾何體的體積.【名師點睛】由三視圖還原幾何體的方法:（7）若將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b考點： 三角函數(shù)的圖象變換與對稱性.【名師點睛】平移變換和伸縮變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于x加減多少值（8）中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，下圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的，依次輸入的為2，2，5，則輸出的（ ）（a）7 （b）12 （c）17 （d）34【答案】c考點： 程序框圖，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu).【名師點睛】直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)：在執(zhí)行了一次循環(huán)體后，對條件進(jìn)

6、行判斷，如果條件不滿足，就繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，直到條件滿足時終止循環(huán)當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)：在每次執(zhí)行循環(huán)體前，對條件進(jìn)行判斷，當(dāng)條件滿足時，執(zhí)行循環(huán)體，否則終止循環(huán)（9）若，則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】試題分析： ，且，故選d.考點：三角恒等變換. 【名師點睛】三角函數(shù)的給值求值，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：(1)已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和或差(2)已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余互補(bǔ)”關(guān)系（10）從區(qū)間隨機(jī)抽取個數(shù),，構(gòu)成n個數(shù)對，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為（ ）（a） （b） （c）

7、（d）【答案】c【解析】試題分析：利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為，所以.選c.考點： 幾何概型.【名師點睛】求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標(biāo)，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解（11）已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，與軸垂直，,則的離心率為（ ）（a） （b） （c） （d）2【答案】a考點：雙曲線的性質(zhì).離心率. 【名師點睛】區(qū)分雙曲線中a，b，c的關(guān)系與橢圓中a，b，c的關(guān)系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2.雙曲線的離心率e(1，)，而橢圓的離心率e(0，1)（12）已知函數(shù)滿足，若

8、函數(shù)與圖像的交點為則（ ）（a）0 （b） （c） （d）【答案】b考點： 函數(shù)圖象的性質(zhì)【名師點睛】如果函數(shù)，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對稱軸；如果函數(shù)，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對稱中心.第卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13 21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第2224題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共3小題，每小題5分(13) 的內(nèi)角的對邊分別為，若，則 【答案】【解析】試題分析：因為，且為三角形內(nèi)角，所以，又因為，所以.考點： 三角函數(shù)和差公式，正弦定理.【名師點睛】在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用

9、某個定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到 (14) 是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等.其中正確的命題有 (填寫所有正確命題的編號）【答案】考點： 空間中的線面關(guān)系.【名師點睛】求解本題應(yīng)注意在空間中考慮線、面關(guān)系.（15）有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙

10、的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 【答案】1和3【解析】試題分析：由題意分析可知甲的卡片上數(shù)字為1和3，乙的卡片上數(shù)字為2和3，丙卡片上數(shù)字為1和2.考點： 邏輯推理.【名師點睛】邏輯推理即演繹推理，就是從一般性的前提出發(fā)，通過推導(dǎo)即“演繹”，得出具體陳述或個別結(jié)論的過程.演繹推理的邏輯形式對于理性的重要意義在于，它對人的思維保持嚴(yán)密性、一貫性有著不可替代的校正作用.邏輯推理包括演繹、歸納和溯因三種方式.（16）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 【答案】考點： 導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【名師點睛】函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)

11、數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點p(x0，y0)處的切線的斜率相應(yīng)地，切線方程為yy0f(x0)(xx0)注意：求曲線切線時，要分清在點p處的切線與過p點的切線的不同三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本題滿分12分）為等差數(shù)列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如（）求；（）求數(shù)列的前1 000項和【答案】（）， ；（）1893.【解析】試題分析：（）先用等差數(shù)列的求和公式求公差，從而求得通項，再根據(jù)已知條件表示不超過的最大整數(shù)，求；（）對分類討論，再用分段函數(shù)表示，再求數(shù)列的前1 000項和試題解析：（）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得所以的通項公式為考

12、點：等差數(shù)列的的性質(zhì)，前項和公式，對數(shù)的運算.【名師點睛】解答新穎性的數(shù)學(xué)題，一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”；二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”；三是創(chuàng)造性地運用數(shù)學(xué)思想方法，以“新”制“新”，應(yīng)特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點和生長點.18.（本題滿分12分）某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費0.851.251.51.752設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05（）求一續(xù)保人本年度的保費高于基

13、本保費的概率；（）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；（）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值【答案】（）0.55；（）；（）.【解析】試題分析：（）根據(jù)互斥事件的概率公式求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（）一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，由條件概率公式求解；（）記續(xù)保人本年度的保費為，求的分布列，再根據(jù)期望公式求解.試題解析：（）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故（）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于

14、3，故又，故因此所求概率為考點： 條件概率，隨機(jī)變量的分布列、期望.【名師點睛】條件概率的求法：(1)定義法：先求p(a)和p(ab)，再由p(b|a)，求p(b|a)；(2)基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件a包含的基本事件數(shù)n(a)，再在事件a發(fā)生的條件下求事件b包含的基本事件數(shù)n(ab)，得p(b|a).求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：(1)理解隨機(jī)變量x的意義，寫出x可能取得的全部值；(2)求x的每個值的概率；(3)寫出x的分布列；(4)由均值定義求出e(x)19.（本小題滿分12分）如圖，菱形的對角線與交于點， ，點分別在上，交于點將沿折到位置

15、，（）證明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）詳見解析；（）.又，而，所以.（ii）如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可以取.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.考點：線面垂直的判定、二面角. 【名師點睛】證明直線和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，ab；，aa；面面垂直的性質(zhì)線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角20.（本小題滿分12分）已

16、知橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于兩點，點在上，（）當(dāng)時，求的面積；（）當(dāng)時，求的取值范圍【答案】（）；（）.試題解析：（i）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時，的方程為，.由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.將代入得.解得或，所以.因此的面積.因此.等價于，即.由此得，或，解得.因此的取值范圍是.考點：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系. 【名師點睛】由直線(系)和圓錐曲線(系)的位置關(guān)系，求直線或圓錐曲線中某個參數(shù)(系數(shù))的范圍問題，常把所求參數(shù)作為函數(shù)，另一個元作為自變量求解（21）（本小題滿分12分）()討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時，； ()證明：當(dāng)時，函數(shù)有最小值

17、.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域【答案】（）詳見解析；（）.（ii）由（i）知，單調(diào)遞增，對任意因此，存在唯一使得即，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.因此在處取得最小值，最小值為考點： 函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值.【名師點睛】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相應(yīng)的x的范圍當(dāng)f(x)0時，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f(x)0時，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù)，還可以列表，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間注意：求函數(shù)最值時，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點就是最值點，要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論；另外注意函數(shù)最值是個“整體”概念，而極值是個“局

18、部”概念請考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，在正方形中，分別在邊上（不與端點重合），且，過點作，垂足為() 證明：四點共圓；()若，為的中點，求四邊形的面積【答案】（）詳見解析；（）.（ii）由四點共圓，知，連結(jié)，由為斜邊的中點，知,故因此四邊形的面積是面積的2倍，即考點： 三角形相似、全等，四點共圓【名師點睛】判定兩個三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇判定定理，特別要注意對應(yīng)角和對應(yīng)邊證明線段乘積相等的問題一般轉(zhuǎn)化為有關(guān)線段成比例問題相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等；可間接證明線段相等（23）（本小題滿分10分）選修44