復(fù)數(shù)的加減法及其幾何意義 2

1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則法則復(fù)數(shù)加減運(yùn)算復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義的幾何意義1.1.復(fù)數(shù)加、減法的運(yùn)算法則：復(fù)數(shù)加、減法的運(yùn)算法則：已知兩復(fù)數(shù)已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實(shí)數(shù)）是實(shí)數(shù)） 即即: :兩個(gè)復(fù)數(shù)相加兩個(gè)復(fù)數(shù)相加( (減減) )就是就是 實(shí)部與實(shí)部實(shí)部與實(shí)部, ,虛部與虛部分別相加虛部與虛部分別相加( (減減).).(1)加法法則加法法則：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)減法法則減法法則：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i i例例1 1計(jì)算計(jì)算(13i i )+(

2、2+ +5i i) + +(-4+9i+9i)2.2.復(fù)數(shù)的乘法法則復(fù)數(shù)的乘法法則：2acadibcibdi)()acbdbcad i（ (2) (2)復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的，只是在，只是在運(yùn)算過程中把運(yùn)算過程中把 換成換成1 1，然后實(shí)、虛部分別合并，然后實(shí)、虛部分別合并. .說明說明:(1):(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)；兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)； i2(3)(3)易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律即對(duì)于任何即對(duì)于任何z1 , z2 ,z3 C,有有,()(),().zzzzzzzzzzz z

3、zz zz z12211231231231 21 3()()abi cdi例例2.2.計(jì)算計(jì)算(2i i )(32i i)(1+3i+3i) 復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的式的乘法是類似的. . 我們知道多項(xiàng)式的乘法用我們知道多項(xiàng)式的乘法用乘法公式可迅速展開乘法公式可迅速展開, , 運(yùn)算運(yùn)算, ,類似地類似地, ,復(fù)數(shù)的乘法也可大膽復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)用乘法公式來展開運(yùn)算運(yùn)用乘法公式來展開運(yùn)算. .注意注意 a+bi 與與 a- -bi 兩復(fù)數(shù)的特點(diǎn)兩復(fù)數(shù)的特點(diǎn).思考：設(shè)思考：設(shè)z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么定義定義:實(shí)部相等實(shí)部相等, ,虛部

4、互為相反數(shù)虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為的兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù). .復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z= =a+ +bi 的共軛復(fù)數(shù)記作的共軛復(fù)數(shù)記作?zz, zzabi即即?zzzzzzzzzz12121212, 另外不難證明另外不難證明:一步到位一步到位! !例例3.計(jì)算計(jì)算(a+bi)(a- -bi)類似地類似地 我們知道我們知道,兩個(gè)向量的和滿足平行四邊形兩個(gè)向量的和滿足平行四邊形法則法則, 復(fù)數(shù)可以表示平面上的向量，復(fù)數(shù)可以表示平面上的向量，那么復(fù)數(shù)那么復(fù)數(shù)的加法與向量的加法是否具有一致性呢？的加法與向量的加法是否具有一致性呢？設(shè)設(shè)z1=a+bi z2=c+di,則則z1+z2=(a+c)+

5、(b+d)ixOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)吻合吻合! !這就是復(fù)數(shù)加法的幾何意義這就是復(fù)數(shù)加法的幾何意義. .類似地類似地, ,復(fù)數(shù)減法復(fù)數(shù)減法: :Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZOZ1- -OZ2這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義. .練習(xí)練習(xí)1.計(jì)算計(jì)算:(1)i+2i2+3i3+2004i2004;解解:原式原式=(i- -2- -3i+4)+(5i- -6- -7i+8)+(2001i- -2002- -2003i+2004)=501(2- -2i)=1002- -1002i.2.已知方程已知方程x2- -2x+2=0有兩虛根為有兩虛根為x1, x2, 求求x

6、14+x24的值的值.解解:,12 , 1ix . 8)2()2()1 ()1 (22444241 iiiixx注注: :在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根與系數(shù)的關(guān)系仍適用在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根與系數(shù)的關(guān)系仍適用. .3.3.已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù) 是是 的共軛復(fù)數(shù)，求的共軛復(fù)數(shù)，求x的值的值 )R() 23(222 xixxxxi204 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?的共軛復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)是 ，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得可得i204 i204 .2023 , 4222xxxx 6323xxxx或或或或解得解得所以所以 3 x7.7.在復(fù)數(shù)集在復(fù)數(shù)集C內(nèi)，你能將內(nèi)，你能將 分解因式嗎？分解因式嗎？xy221

7、.計(jì)算計(jì)算:(1+2 i )2 2.計(jì)算計(jì)算(i- -2)(1- -2i)(3+4i)- -20+15i- -2+2i- -3- -i8 8( (x+yi)(x- -yi)例例1 1 設(shè)設(shè) ，求證：，求證： （1） ；（；（2） i2321 012 . 13 證明：證明： （1）22)2321()2321(11ii ; 0 4323412321 ii22)23(23212)21(2321iii （2）33)2321(i )2321()2321(2ii )2321)(2321(ii 22)23()21(i 14341 。兩兩個(gè)個(gè)虛虛數(shù)數(shù)的的差差還還是是虛虛數(shù)數(shù)虛虛數(shù)數(shù)兩兩個(gè)個(gè)純純虛虛數(shù)數(shù)的的差差還還是是純純。的的共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)是是純純虛虛數(shù)數(shù)互互為為共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)、是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，則則如如果果、下下列列命命題題中中正正確確的的是是例例)4()3(ZZ)2(ZZZZ)1(32121 (2)(2)互互為為共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)。與與則則若若互互為為共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)。與與則則若若互互為為共