復(fù)數(shù)的加減法及其幾何意義 2

1、復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的運算法則法則復(fù)數(shù)加減運算復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義的幾何意義1.1.復(fù)數(shù)加、減法的運算法則：復(fù)數(shù)加、減法的運算法則：已知兩復(fù)數(shù)已知兩復(fù)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實數(shù)）是實數(shù)） 即即: :兩個復(fù)數(shù)相加兩個復(fù)數(shù)相加( (減減) )就是就是 實部與實部實部與實部, ,虛部與虛部分別相加虛部與虛部分別相加( (減減).).(1)加法法則加法法則：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)減法法則減法法則：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i i例例1 1計算計算(13i i )+(

2、2+ +5i i) + +(-4+9i+9i)2.2.復(fù)數(shù)的乘法法則復(fù)數(shù)的乘法法則：2acadibcibdi)()acbdbcad i（ (2) (2)復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的，只是在，只是在運算過程中把運算過程中把 換成換成1 1，然后實、虛部分別合并，然后實、虛部分別合并. .說明說明:(1):(1)兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)；兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)； i2(3)(3)易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律即對于任何即對于任何z1 , z2 ,z3 C,有有,()(),().zzzzzzzzzzz z

3、zz zz z12211231231231 21 3()()abi cdi例例2.2.計算計算(2i i )(32i i)(1+3i+3i) 復(fù)數(shù)的乘法與多項復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的式的乘法是類似的. . 我們知道多項式的乘法用我們知道多項式的乘法用乘法公式可迅速展開乘法公式可迅速展開, , 運算運算, ,類似地類似地, ,復(fù)數(shù)的乘法也可大膽復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運用乘法公式來展開運算運用乘法公式來展開運算. .注意注意 a+bi 與與 a- -bi 兩復(fù)數(shù)的特點兩復(fù)數(shù)的特點.思考：設(shè)思考：設(shè)z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么定義定義:實部相等實部相等, ,虛部

4、互為相反數(shù)虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)叫做互為的兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù). .復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z= =a+ +bi 的共軛復(fù)數(shù)記作的共軛復(fù)數(shù)記作?zz, zzabi即即?zzzzzzzzzz12121212, 另外不難證明另外不難證明:一步到位一步到位! !例例3.計算計算(a+bi)(a- -bi)類似地類似地 我們知道我們知道,兩個向量的和滿足平行四邊形兩個向量的和滿足平行四邊形法則法則, 復(fù)數(shù)可以表示平面上的向量，復(fù)數(shù)可以表示平面上的向量，那么復(fù)數(shù)那么復(fù)數(shù)的加法與向量的加法是否具有一致性呢？的加法與向量的加法是否具有一致性呢？設(shè)設(shè)z1=a+bi z2=c+di,則則z1+z2=(a+c)+

5、(b+d)ixOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)吻合吻合! !這就是復(fù)數(shù)加法的幾何意義這就是復(fù)數(shù)加法的幾何意義. .類似地類似地, ,復(fù)數(shù)減法復(fù)數(shù)減法: :Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZOZ1- -OZ2這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義. .練習練習1.計算計算:(1)i+2i2+3i3+2004i2004;解解:原式原式=(i- -2- -3i+4)+(5i- -6- -7i+8)+(2001i- -2002- -2003i+2004)=501(2- -2i)=1002- -1002i.2.已知方程已知方程x2- -2x+2=0有兩虛根為有兩虛根為x1, x2, 求求x

6、14+x24的值的值.解解:,12 , 1ix . 8)2()2()1 ()1 (22444241 iiiixx注注: :在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根與系數(shù)的關(guān)系仍適用在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根與系數(shù)的關(guān)系仍適用. .3.3.已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù) 是是 的共軛復(fù)數(shù)，求的共軛復(fù)數(shù)，求x的值的值 )R() 23(222 xixxxxi204 解：因為解：因為 的共軛復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)是 ，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得可得i204 i204 .2023 , 4222xxxx 6323xxxx或或或或解得解得所以所以 3 x7.7.在復(fù)數(shù)集在復(fù)數(shù)集C內(nèi)，你能將內(nèi)，你能將 分解因式嗎？分解因式嗎？xy221

7、.計算計算:(1+2 i )2 2.計算計算(i- -2)(1- -2i)(3+4i)- -20+15i- -2+2i- -3- -i8 8( (x+yi)(x- -yi)例例1 1 設(shè)設(shè) ，求證：，求證： （1） ；（；（2） i2321 012 . 13 證明：證明： （1）22)2321()2321(11ii ; 0 4323412321 ii22)23(23212)21(2321iii （2）33)2321(i )2321()2321(2ii )2321)(2321(ii 22)23()21(i 14341 。兩兩個個虛虛數(shù)數(shù)的的差差還還是是虛虛數(shù)數(shù)虛虛數(shù)數(shù)兩兩個個純純虛虛數(shù)數(shù)的的差差還還是是純純。的的共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)是是純純虛虛數(shù)數(shù)互互為為共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)、是是實實數(shù)數(shù)，則則如如果果、下下列列命命題題中中正正確確的的是是例例)4()3(ZZ)2(ZZZZ)1(32121 (2)(2)互互為為共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)。與與則則若若互互為為共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)。與與則則若若互互為為共