2022版新教材高考數(shù)學一輪復習第二章函數(shù)2.1函數(shù)的概念及其表示學案新人教A版

1、第二章函數(shù)2.1函數(shù)的概念及其表示必備知識預案自診知識梳理1.函數(shù)及其相關的概念一般地,設a,b是非空的實數(shù)集,如果對于集合a中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的,在集合b中都有確定的數(shù)y和它對應,那么就稱f:ab為從集合a到集合b的一個函數(shù),記作y=f(x),xa.其中,x叫做自變量,x的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合f(x)|xa叫做函數(shù)的值域.2.同一個函數(shù):如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應關系完全一致,即相同的自變量對應的函數(shù)值也相同,那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).3.函數(shù)的表示方法:表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.4.分段函數(shù)(1)定

2、義:如果一個函數(shù),在其定義域內(nèi),對于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的對應方式,則稱其為分段函數(shù).(2)分段函數(shù)的相關結論分段函數(shù)雖然由幾個部分組成,但是它表示的是一個函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,值域等于各段函數(shù)的值域的并集.1.判斷兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致.2.與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖象至多有1個交點.3.函數(shù)定義域的求法類型x滿足的條件,nn*f(x)0與f(x)0f(x)0logaf(x)(a0,a1)f(x)0四則運算組成的函數(shù)各個函數(shù)定義域的交集實際問題使實際問題有意義考點自診1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的

3、畫“”.(1)如果函數(shù)y=f(x)是用表格給出,則表格中x的集合即為定義域.()(2)如果函數(shù)y=f(x)是用圖象給出,則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域.()(3)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=1有兩個交點.()(4)兩函數(shù)值域與對應關系相同時,兩函數(shù)不一定相同.()(5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的.()2.(2020北京,11)函數(shù)f(x)=1x+1+ln x的定義域是.3.已知f,g都是從a到a的映射(其中a=1,2,3),其對應關系如下表:x123f312g321則f(g(3)等于()a.1b.2c.3d.不存在4.(2020遼寧大連模擬,文2)設函數(shù)f(x)=1-

4、x2,x1,x2+x-2,x1,則f1f(2)的值為()a.1516b.-2716c.89d.185.已知函數(shù)f(2x+1)的定義域為(-2,0),則f(x)的定義域為()a.(-2,0)b.(-4,0)c.(-3,1)d.-12,1關鍵能力學案突破考點函數(shù)及其相關的概念【例1】以下給出的同組函數(shù)中,表示同一個函數(shù)的有.(1)f1:y=xx;f2:y=1.(2)f1:y=1,x1,2,1x2,3,x2;f2:xx11x1,則ff(-2)=.考向2求參數(shù)的值(范圍)【例5】設f(x)=x,0x1,x2-1,x1,則f(x)f(x+1)的解集為()a.(-1,+)b.(-1,1)c.-12,+d.

5、-12,1解題心得分段函數(shù)問題的求解策略(1)分段函數(shù)的求值問題,應首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間,然后選定相應的解析式代入求解.(2)對求含有參數(shù)的自變量的函數(shù)值,如果不能確定自變量的范圍,應分類討論.(3)解由分段函數(shù)構成的不等式,一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進行分類討論.對點訓練4(1)(2020湖南郴州二模,文14)函數(shù)f(x)=1+log3(3-x),x0,且ff-76=1,則a=()a.32b.2c.3d.ln 2(3)設函數(shù)f(x)=x+1, x0,2x,x0,則滿足f(x)+fx-121的x的取值范圍是.考點函數(shù)在實際生活中的應用【例7】某地區(qū)上年度電價為0.80元/kwh

6、,年用電量為a kwh.本年度計劃將電價降到0.55元/kwh至0.75元/kwh之間,而用戶期望電價為0.40元/kwh.經(jīng)測算,下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數(shù)為k).該地區(qū)電力的成本價為0.30元/kwh.(1)寫出本年度電價下調后,電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關系式;(2)設k=0.2a,當電價最低定為多少時,仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%?解題心得利用函數(shù)的有關知識解決數(shù)學應用問題,關鍵是建立函數(shù)關系式,為此,要從題目的文字表述中尋找等量關系.對點訓練5(2020北京,15)為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治

7、理,排放未達標的企業(yè)要限期整改,設企業(yè)的污水排放量w與時間t的關系為w=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小評價在a,b這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱,已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下圖所示.給出下列四個結論:在t1,t2這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;在t2時刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;在t3時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標;在0,t1,t1,t2,t2,t3這三段時間中,甲企業(yè)在0,t1的污水治理能力最強.其中所有正確結論的序號是.抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體解析式的函數(shù),其有關問題對同學們來說具有一定難度,特別是求其定義域時,許多同

8、學解答起來總感覺棘手,下面結合實例具體探究一下抽象函數(shù)定義域問題的幾種題型及求法.類型一已知f(x)的定義域,求fg(x)的定義域其解法是:若f(x)的定義域為a,b,則在fg(x)中,令ag(x)b,從中解得x的取值范圍即為fg(x)的定義域.【例1】已知函數(shù)f(x)的定義域為-1,5,求f(3x-5)的定義域.【解題指導】該函數(shù)是由u=3x-5和f(u)構成的復合函數(shù),其中x是自變量,u是中間變量,由于f(x)與f(u)是同一個函數(shù),因此這里是已知-1u5,即-13x-55,求x的取值范圍.解f(x)的定義域為-1,5,-13x-55,43x103,故函數(shù)f(3x-5)的定義域為43,10

9、3.類型二已知fg(x)的定義域,求f(x)的定義域其解法是:若fg(x)的定義域為mxn,則由mxn確定的g(x)的范圍即為f(x)的定義域.【例2】已知函數(shù)f(x2-2x+2)的定義域為0,3,求函數(shù)f(x)的定義域.【解題指導】令u=x2-2x+2,則f(x2-2x+2)=f(u),由于f(u)與f(x)是同一函數(shù),因此u的取值范圍即為f(x)的定義域.解由0x3,得1x2-2x+25.令u=x2-2x+2,則f(x2-2x+2)=f(u),1u5.故f(x)的定義域為1,5.類型三已知fg(x)的定義域,求fh(x)的定義域其解法是:先由fg(x)的定義域求得f(x)的定義域,再由f(

10、x)的定義域求f h(x)的定義域.【例3】函數(shù)y=f(x+1)的定義域是-2,3,則y=f(2x-1)的定義域是()a.0,52b.-1,4c.-5,5d.-3,7答案a解析因為f(x+1)的定義域是-2,3,即-2x3,所以-1x+14,則f(x)的定義域-1,4.由-12x-14,得0x52,所以f(2x-1)的定義域是0,52.故選a.類型四運算型的抽象函數(shù)求由有限個抽象函數(shù)四則運算得到的函數(shù)的定義域,其解法是:先求出各個函數(shù)的定義域,然后再求交集.【例4】若函數(shù)f(x)的定義域是-3,5,求(x)=f(-x)+f(2x+5)的定義域.解由f(x)的定義域為-3,5,則(x)必有-3-

11、x5,-32x+55,解得-4x0.所以函數(shù)(x)的定義域為-4,0.第二章函數(shù)2.1函數(shù)的概念及其表示必備知識預案自診知識梳理1.對應關系f唯一考點自診1.(1)(2)(3)(4)(5)2.(0,+)由題意得x0,x+10,則x0,故答案為(0,+).3.c由題中表格知g(3)=1,故f(g(3)=f(1)=3.4.a因為當x1時,f(x)=x2+x-2,所以f(2)=4,1f(2)=14.又當x1時,f(x)=1-x2,所以f1f(2)=f14=1-142=1516,故選a.5.cf(2x+1)的定義域為(-2,0),則-2x0,-32x+10時,每一個x的值對應兩個不同的y值,因此不是函

12、數(shù)圖象;中每一個x的值對應唯一的y值,因此是函數(shù)圖象.故選b.(3)a,c,d中兩個函數(shù)的定義域均不同,不是同一個函數(shù);b中兩個函數(shù)的定義域相同,化簡后為y=|x|及y=|t|,對應關系也相同,是同一個函數(shù).故選b.例2(1)b(2)d(3)-1,-12(1)使函數(shù)有意義,則x滿足1-x0,x+10,解得-1x0,-1x0,即f(x)的定義域為(-1,0).-12x+10,則-1x0,解得-52x52,x0,所以00,t1,且x=2t-1.f(t)=lg2t-1.故f(x)=lg2x-1(x1).(2)設f(x)=ax2+bx+c(a0),由f(0)=0,知c=0,則f(x)=ax2+bx,又

13、由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,所以2a+b=b+1,a+b=1,解得a=b=12.所以f(x)=12x2+12x,xr.(3)f(x)+2f1x=x,f1x+2f(x)=1x.解方程組f(x)+2f1x=x,f1x+2f(x)=1x,得f(x)=23x-x3(x0).對點訓練3(1)b(2)2x+7(3)13x2+x(1)令t=1x,得t0且t1,x=1t,f(t)=1t1-1t=1t-1,f(x)=1x-1(x0且x1).(2)設f(x)=ax+b(a0),則3f(x+1)-

14、2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b,即ax+5a+b=2x+17不論x為何值都成立,則有a=2,b+5a=17,解得a=2,b=7.故f(x)=2x+7.(3)由f(x)+2f(-x)=x2-x,得f(-x)+2f(x)=x2+x,-2,得f(x)=13x2+x.例414已知f(x)=2-x,x1,2-x,x1,則ff(-2)=f(2)=2-2=14.例5cf(x)的圖象如圖所示.因為f(a)=f(a+1),所以0a1,a=2(a+1-1),所以a=14.所以f1a=f(4)=2(4-1)=6.例6c當x0時,則x+11,則不等式f(x)f(x+1),即x2

15、-1(x+1)2-1,求得-12x0.當01,則不等式f(x)f(x+1),此時f(x)=x2-10f(x+1)=log2(x+1),則01時,不等式f(x)f(x+1),即log2x1.綜上可得,不等式的解集為-12,+,故選c.對點訓練4(1)10(2)a(3)-14,+(1)由題意,得f(-6)+f(log37)=1+log39+3log37=1+2+7=10.故答案為10.(2)因為f-76=sin-76=-sin+6=sin6=12,所以ff-76=f12=log2a+12=1,所以a+12=2,a=32.(3)由題意得當x12時,2x+2x-121恒成立,即x12;當01恒成立,即01,解得x-14,即-14x0.綜上,x的取值范圍是-14,+.例7解(1)依題意,當實際電價為x元/kwh時,用電量將增加至kx-0.4+akwh,故電力部門的收益為y=kx-0.4+a(x-0.3)(0.55x0.75).(2)易知,上年度的收益為(0.8-0.3)a元,依題意,0.2ax-0.4+a(x-0.3)a(0.8-0.3)(1+20%),且0.55x0.75,解得0.60x0.75.所以,當電價最低定為0.60元/kwh時,仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%.對點訓練5-f(