第2章軸向拉伸壓縮與剪切

1、一、軸向拉壓的工程實例：一、軸向拉壓的工程實例：工程桁架工程桁架2-1 軸向拉伸與壓縮概念與實例軸向拉伸與壓縮概念與實例第二章第二章 軸向拉伸、壓縮和剪切軸向拉伸、壓縮和剪切 活塞桿活塞桿FF廠房的立柱廠房的立柱二、軸向拉壓的概念：二、軸向拉壓的概念：（2）變形特點：桿沿軸線方向伸長或縮短。）變形特點：桿沿軸線方向伸長或縮短。（1）受力特點：）受力特點：N1N1N2N2外力合力作用線與桿軸線重合。外力合力作用線與桿軸線重合。以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿或軸向承載桿。以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿或軸向承載桿。ABCF1. 內(nèi)力內(nèi)力一、軸向拉壓桿橫截面的內(nèi)力一、軸向拉壓桿橫截面

2、的內(nèi)力 軸力（用軸力（用N 表示）表示）2-2 軸向拉壓桿橫截面的內(nèi)力與應力軸向拉壓桿橫截面的內(nèi)力與應力FF例：已知外力例：已知外力 F，求：，求：11截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力N 。解：解：FF11X=0, N - F = 0, FN N（截面法確定）（截面法確定）截開。截開。代替，代替，N 代替。代替。平衡，平衡，N= F。NF以以11截面的右段為研究對象：截面的右段為研究對象：內(nèi)力內(nèi)力 N N 沿軸線方向，所以稱為軸力。沿軸線方向，所以稱為軸力。2 2、軸力的符號規(guī)定：、軸力的符號規(guī)定：壓縮壓縮壓力，其軸力為負值。方向指向所在截面。壓力，其軸力為負值。方向指向所在截面。拉伸拉伸拉力，其軸力為正

3、值。方向背離所在截面。拉力，其軸力為正值。方向背離所在截面。 NFFN（）（） NFFN（）（）軸力一般按正方向假設。軸力一般按正方向假設。3 3、軸力圖：、軸力圖：+Nx 直觀反映軸力與截面位置變化關(guān)系；直觀反映軸力與截面位置變化關(guān)系； 確定出最大軸力的數(shù)值及其所在位置，即確定危險截面位置，為確定出最大軸力的數(shù)值及其所在位置，即確定危險截面位置，為強度計算提供依據(jù)。強度計算提供依據(jù)。4 4、軸力圖的意義、軸力圖的意義軸力沿軸線變化的圖形軸力沿軸線變化的圖形FF例例 圖示桿的圖示桿的A、B、C、D點分別作用著大小為點分別作用著大小為FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F FD

4、= F 的力，方向如圖，試求各段內(nèi)力并畫出桿的軸力圖。的力，方向如圖，試求各段內(nèi)力并畫出桿的軸力圖。N1ABCDFAFBFCFDO解：解： 求求OA段內(nèi)力段內(nèi)力N1：設截面如圖：設截面如圖0 X10DCBAFFFFN14850 FFFFN12NFABCDFAFBFCFDN2N3DFDN4ABCDFAFBFCFDO求求CD段內(nèi)力：段內(nèi)力： 求求BC段內(nèi)力：段內(nèi)力： 求求AB 段內(nèi)力：段內(nèi)力：0 X02DCBFFFN0 X30DCNFF40DFN0XN3= 5F，N4= FN2= 3F，BCDFBFCFDCDFCFD12 ,NFN2= 3F，N3 = 5F，N4= F軸力圖如下圖示軸力圖如下圖示A

5、BCDFAFBFCFDON3= 5F，N4= FN2= 3F，12 ,NFNx2F3F5FF例例 等直桿等直桿BC , 橫截面面積為橫截面面積為A , 材料體密度為材料體密度為 , 畫桿的軸力圖，畫桿的軸力圖，求最大軸力求最大軸力解：解：1. 軸力計算軸力計算 00N N llA g2. 軸力圖與最大軸力軸力圖與最大軸力 N xAx g作軸力圖作軸力圖軸力圖為直線軸力圖為直線max NlA gN (x)N N推導思路：實驗推導思路：實驗變形規(guī)律變形規(guī)律應力的分布規(guī)律應力的分布規(guī)律應力的計算公式應力的計算公式二、軸向拉壓桿橫截面的應力二、軸向拉壓桿橫截面的應力1 1、實驗：、實驗：橫向線橫向線仍

6、為平行的直線，且間距增大。仍為平行的直線，且間距增大?？v向線縱向線仍為平行的直線，且間距減小。仍為平行的直線，且間距減小。橫向線橫向線仍為平行的直線，且間距減小。仍為平行的直線，且間距減小。縱向線縱向線仍為平行的直線，且間距增大。仍為平行的直線，且間距增大。1 1、實驗：、實驗：變形前變形前受力后受力后FF2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：橫向線橫向線仍為平行的直線，且間距增大。仍為平行的直線，且間距增大。縱向線縱向線仍為平行的直線，且間距減小。仍為平行的直線，且間距減小。5 5、應力的計算公式：、應力的計算公式：軸向拉壓桿橫截面上正應力的計算公式軸向拉壓桿橫截面上正應力的計算公式4 4、應力的分

7、布規(guī)律、應力的分布規(guī)律內(nèi)力沿橫截面均勻分布內(nèi)力沿橫截面均勻分布ANF NNAa2PNma2MPNmm3 3、平面假設：、平面假設：變形前的橫截面，變形后仍為平面且各橫截變形前的橫截面，變形后仍為平面且各橫截 面沿桿軸線作相對平移面沿桿軸線作相對平移7 7、正應力的符號規(guī)定、正應力的符號規(guī)定同內(nèi)力同內(nèi)力拉應力為正值，方向背離所在截面。拉應力為正值，方向背離所在截面。壓應力為負值，方向指向所在截面。壓應力為負值，方向指向所在截面。6 6、拉壓桿內(nèi)最大的正應力：、拉壓桿內(nèi)最大的正應力：等直桿：等直桿：maxmaxNA變直桿：變直桿：maxmaxNA8 8、公式的使用條件、公式的使用條件(1) 軸向拉

8、壓桿軸向拉壓桿(2) 除外力作用點附近以外其它各點處。除外力作用點附近以外其它各點處。 （范圍：不超過桿的橫向尺寸）（范圍：不超過桿的橫向尺寸）三、軸向拉壓桿任意斜面上應力的計算三、軸向拉壓桿任意斜面上應力的計算1 1、斜截面上應力確定、斜截面上應力確定(1) 內(nèi)力確定：內(nèi)力確定：(2)應力確定：應力確定：應力分布應力分布均布均布應力公式應力公式coscoscosNFFpAAAN Na a= = FFpFFFNxN2 2、符號規(guī)定、符號規(guī)定、 ：斜截面外法線與：斜截面外法線與 x 軸的夾角軸的夾角。由由 x 軸逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線軸逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線“ ” 為正值為正值；由由 x 軸順時

9、針轉(zhuǎn)到斜截面外法線軸順時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線“ ”為負值為負值、 ：同：同“”的符號規(guī)定的符號規(guī)定、 ：在保留段內(nèi)任取一點，如果：在保留段內(nèi)任取一點，如果“ ”對該點之矩為順時針方向，對該點之矩為順時針方向，則規(guī)定為正值，反之為負值。則規(guī)定為正值，反之為負值。2coscos p2sin2sin ppcoscoscosNFFpAAAF3 3、斜截面上最大應力值的確定、斜截面上最大應力值的確定:)1(max:)2(max,0max)0(,橫截面上。橫截面上。0452max)2( ,45,450 0斜截面上。斜截面上。,cos22sin2FNx作業(yè)：作業(yè)：2-1; 2-4; 2-1; 2-4; 力學性

10、能力學性能：材料在受力后的表現(xiàn)出的變形和破壞特性。：材料在受力后的表現(xiàn)出的變形和破壞特性。 不同的材料具有不同的力學性能，其力學不同的材料具有不同的力學性能，其力學性能需通過實驗得到。性能需通過實驗得到。實驗條件實驗條件：常溫靜載。：常溫靜載。2-3 材料的力學性質(zhì)材料的力學性質(zhì)實驗方式實驗方式：軸向拉伸壓縮：軸向拉伸壓縮拉伸標準試樣拉伸標準試樣dldl5 10 或或AlAl65. 5 3 .11 或或壓縮試件壓縮試件很短的圓柱型：很短的圓柱型： h = (1.53.0)dh = (1.53.0)dhd試驗裝置試驗裝置變形傳感器變形傳感器拉伸圖拉伸圖 ( ( F- -D Dl 曲線曲線 ) )

11、為了消除尺寸的影響一般用為了消除尺寸的影響一般用 曲線曲線F/Al/l、彈性階段、彈性階段: :OAOA為直線段；為直線段；AA為微彎曲線段為微彎曲線段。E比例極限；比例極限；彈性極限。彈性極限。pe1 1、低碳鋼軸向拉伸時的力學性質(zhì)、低碳鋼軸向拉伸時的力學性質(zhì) ( (四個階段四個階段) )一、一、 材料在拉伸時的力學性質(zhì)材料在拉伸時的力學性質(zhì)一般這兩個極限相差不大，一般這兩個極限相差不大，在工程上難以區(qū)分，統(tǒng)稱為彈在工程上難以區(qū)分，統(tǒng)稱為彈性極限性極限低碳鋼拉伸時的四個階段低碳鋼拉伸時的四個階段、彈性階段、彈性階段: :OAOA, ,、屈服階段、屈服階段: :BCBC。、強化階段：、強化階段

12、：CDCDb b 強度極限強度極限（拉伸過程中最高的應力值）。（拉伸過程中最高的應力值）?；凭€滑移線屈服極限屈服極限屈服段內(nèi)最低的應力值。屈服段內(nèi)最低的應力值。s、局部變形階段（頸縮階段）：、局部變形階段（頸縮階段）：DEDE。在此階段內(nèi)試件的某一橫截面發(fā)生明顯的變形，至到試件斷裂。在此階段內(nèi)試件的某一橫截面發(fā)生明顯的變形，至到試件斷裂。縮頸與斷裂縮頸與斷裂斷口為斷口為4545度斜面度斜面 b-強度極限強度極限 E = tan - 彈性模量彈性模量 e-彈性極限彈性極限 s-屈服極限屈服極限e e卸載定律及冷作硬化卸載定律及冷作硬化 p塑性應變塑性應變 e彈性極限彈性極限 e 彈性應變彈性應

13、變預加塑性變形預加塑性變形, 可使可使 e 或或 p 提高提高卸載定律卸載定律： 當拉伸超過屈服階段后，如果當拉伸超過屈服階段后，如果逐漸卸載，在卸載過程中，逐漸卸載，在卸載過程中，應應力力應變將按直線規(guī)律變化。應變將按直線規(guī)律變化。冷作硬化：冷作硬化：在常溫下將鋼材拉伸超過屈服階段，卸載后短期內(nèi)又繼續(xù)加在常溫下將鋼材拉伸超過屈服階段，卸載后短期內(nèi)又繼續(xù)加載，材料的比例極限提高而塑性變形降低的現(xiàn)象。載，材料的比例極限提高而塑性變形降低的現(xiàn)象。材料的塑性材料的塑性000100 D D ll 延伸率延伸率l試驗段原長（標距）試驗段原長（標距）D Dl0試驗段殘余變形試驗段殘余變形塑性塑性 材料能經(jīng)

14、受較大塑性變形而不破壞的能力材料能經(jīng)受較大塑性變形而不破壞的能力001100 AAA 斷面收縮率斷面收縮率塑性材料塑性材料： 5 % 5 % 例如結(jié)構(gòu)鋼與硬鋁等例如結(jié)構(gòu)鋼與硬鋁等脆性材料脆性材料： 5 % 5 % 例如灰口鑄鐵與陶瓷等例如灰口鑄鐵與陶瓷等A 試驗段橫截面原面積試驗段橫截面原面積A1斷口的橫截面面積斷口的橫截面面積塑性與脆性材料塑性與脆性材料塑性材料塑性材料低碳鋼低碳鋼拉伸破壞斷口拉伸破壞斷口共有的特點：共有的特點： 斷裂時具有較大的殘余變形，斷裂時具有較大的殘余變形，均屬塑性材料。均屬塑性材料。 有些材料沒有明顯的屈服階有些材料沒有明顯的屈服階段。段。其他材料的拉伸試驗其他材料

15、的拉伸試驗（一）、其它工程塑性材料的拉伸時的力學性能（一）、其它工程塑性材料的拉伸時的力學性能2004006005102015硬鋁硬鋁5050鋼鋼3030鉻錳硅鋼鉻錳硅鋼(%)1200MPa 對于沒有明顯屈服階對于沒有明顯屈服階段的材料用名義屈服應段的材料用名義屈服應力表示力表示 2 . 0 產(chǎn)生產(chǎn)生 的塑性應變時所對應的塑性應變時所對應的應力值。的應力值。002 . 0（二）、鑄鐵拉伸試驗（二）、鑄鐵拉伸試驗1 1）無明顯的直線段；）無明顯的直線段；2 2）無屈服階段；）無屈服階段；3 3）無頸縮現(xiàn)象；）無頸縮現(xiàn)象；4 4）延伸率很小。）延伸率很小。5）強度極限很小。）強度極限很小。b b強

16、度極限。強度極限。E E割線的彈性模量。割線的彈性模量。 0.20.2 0.20.2% 名義屈服極限名義屈服極限2 . 0 1500.5%0.1%鑄鐵的拉伸破壞鑄鐵的拉伸破壞斷口為橫截面斷口為橫截面低碳鋼的壓縮試驗低碳鋼的壓縮試驗彈性階段，屈服階段均彈性階段，屈服階段均與拉伸時大致相同。與拉伸時大致相同。超過屈服階段后，外力超過屈服階段后，外力增加面積同時相應增加，增加面積同時相應增加，無破裂現(xiàn)象產(chǎn)生。無破裂現(xiàn)象產(chǎn)生。二、二、 材料在壓縮時的力學性質(zhì)材料在壓縮時的力學性質(zhì)其它脆性材料壓縮時的其它脆性材料壓縮時的力學性質(zhì)大致同鑄鐵，力學性質(zhì)大致同鑄鐵，工程上一般作為抗壓材工程上一般作為抗壓材料。

17、料。拉壓bb)54(:12：破壞面大約為：破壞面大約為45450 0的斜面。的斜面。鑄鐵的壓縮試驗鑄鐵的壓縮試驗溫度對力學性能的影響溫度對力學性能的影響材料強度、彈性常數(shù)隨溫度變化的關(guān)系低炭鋼低炭鋼硬鋁硬鋁在一般情況下，在一般情況下，低炭鋼低炭鋼隨著溫度的升高，屈服和強度極限減小，而塑隨著溫度的升高，屈服和強度極限減小，而塑性增大性增大un（其中（其中 n 為安全系數(shù)為安全系數(shù), ,值值 1 1）、安全系數(shù)取值考慮的因素：、安全系數(shù)取值考慮的因素：（a）給構(gòu)件足夠的安全儲備。）給構(gòu)件足夠的安全儲備。（b b）理論與實際的差異。）理論與實際的差異。、極限應力、極限應力（危險應力、失效應力）：材料

18、發(fā)生破壞或產(chǎn)生過大變形而（危險應力、失效應力）：材料發(fā)生破壞或產(chǎn)生過大變形而不能安全工作時的最小應力值不能安全工作時的最小應力值 u u （s s 、b b）、許用應力：、許用應力：構(gòu)件安全工作時的最大應力。構(gòu)件安全工作時的最大應力?！?”1 1、極限應力、許用應力、極限應力、許用應力2-4 許用應力、軸向拉（壓）桿的強度計算許用應力、軸向拉（壓）桿的強度計算2 2、強度條件：最大工作應力小于等于許用應力、強度條件：最大工作應力小于等于許用應力等直桿等直桿：maxmaxNA變直桿變直桿：maxmaxNA max（3 3）確定外荷載確定外荷載已知：已知： 、A。求：。求：F。Nmax A。 F（

19、2 2）、）、設計截面尺寸設計截面尺寸已知：已知：F、 。求：。求：A解解： maxmaxNA A Nmax 。3 3、強度條件的應用：、強度條件的應用： （解決三類問題）：（解決三類問題）：（1 1）、）、校核強度校核強度已知：已知：F、A、 。求：。求：解：解：m axm axNA？ max？解：解：m axm axNA max等直桿等直桿：maxmax NA例例 已知一圓桿受拉力已知一圓桿受拉力F =25 k N，直徑，直徑 d =14mm，許用應力，許用應力 =170MPa，試校核此桿是否滿足強度要求，試校核此桿是否滿足強度要求(校核強度校核強度) )。解解：1、軸力、軸力N =F =

20、25kNmaxNA2、應力、應力：3、強度校核：、強度校核： 170MPa162MPamax此桿滿足強度要求，能夠正常工作。此桿滿足強度要求，能夠正常工作。FF25kNxN24d F23014014310254.Pa101626例例 已知簡單構(gòu)架：桿已知簡單構(gòu)架：桿1 1、2 2截面積截面積 A1=A2=100 mm2，材料的許用拉應力材料的許用拉應力 t =200 MPa，許用壓應力，許用壓應力 c =150 MPa 試求：載荷試求：載荷F F的許用值的許用值 F解：解：1. 軸力分析軸力分析0 , 0 yxFF由由12 NF2 NF1max1tt112,NFAAkN 14.142t1 AF

21、kN 0 .15c2 AFc2222maxAFANkN 14.14 F2. 利用強度條件確定利用強度條件確定F（A1=A2=100 mm2，許用拉應力，許用拉應力 t =200 MPa，許用壓應力，許用壓應力 c =150 MPa）N N1 1N N2 2例例 已知：已知：l, h, F（0 x l）, AC為剛性梁為剛性梁, , 斜撐桿斜撐桿 BD 的許用應的許用應力為力為 .試求：為使桿試求：為使桿 BD 重量最輕重量最輕, , 的最佳值的最佳值. .斜撐桿斜撐桿，解：解：1. 斜撐桿受力分析斜撐桿受力分析0, cosAFxMNh maxcosFlNh2. 最佳值的確定最佳值的確定maxm

22、in cosNFlAh 2sin2sincosminFlhhFllAVBDBD 45 opt12sin max NA 由強度條件由強度條件欲使欲使VBD 最小最小N N例例 試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下徑向橫截面上的環(huán)向拉應力。已知試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下徑向橫截面上的環(huán)向拉應力。已知： 。MPa2 mm,5 mm,200pd 可認為徑向截面上的拉應力沿壁厚均勻分布dbA解：解：dbpAy2FN 根據(jù)對稱性可得，徑截面上內(nèi)力處處相等dyN NdppFy y0sinFd F63632 10200 1040 10 Pa=40MPa2 5 10 )d2(ddbpFpbddpb)sind2(02pbd

23、N1()22NpbdpdAbddyN NpFy dFdFysindFdF y2FN 作業(yè)：作業(yè)：2-72-7一、拉一、拉( (壓壓) )桿的縱向變形桿的縱向變形 簡單情況下簡單情況下( (等直桿，兩端受軸向力等直桿，兩端受軸向力) )： 縱向總變形縱向總變形l = l1-l （反映絕對變形量）（反映絕對變形量） 縱向線應變縱向線應變 （反映變形程度）（反映變形程度） llD2-5 軸向拉壓的變形軸向拉壓的變形x 截面處沿截面處沿x方向的縱向平均線應變?yōu)榉较虻目v向平均線應變?yōu)?xxDD 圖示一般情況下在不同截面處桿的橫截面上的軸力不同，故不同截圖示一般情況下在不同截面處桿的橫截面上的軸力不同，故

24、不同截面的變形不同。面的變形不同。lxf沿桿長均勻分布的荷載集度為 ffl軸力圖)(xxfD( )f xxDxD微段的分離體x截面處沿截面處沿x方向的縱向線應變?yōu)榉较虻目v向線應變?yōu)?xxxxxxddlim0DDD一般情況下，桿沿一般情況下，桿沿x方向的總變形方向的總變形 0dlxlxD 線應變的正負規(guī)定：伸長時為正，縮短時為負。 二、橫向變形二、橫向變形與桿軸垂直方向的變形與桿軸垂直方向的變形 ddD在簡單情況下在簡單情況下 ddd-1D低碳鋼低碳鋼(Q235)：= 0.240.28。 亦即 - 橫向變形因數(shù)(泊松比)(Poissons ratio) 單軸應力狀態(tài)下，當應力不超過材料的比例極限

25、時，某一方向的線單軸應力狀態(tài)下，當應力不超過材料的比例極限時，某一方向的線應變應變與和該方向垂直的方向與和該方向垂直的方向(橫向橫向)的線應變的線應變的絕對值之比為一常數(shù)，的絕對值之比為一常數(shù)，此比值稱為橫向變形因數(shù)或泊松比此比值稱為橫向變形因數(shù)或泊松比(Poissons ratio)：AFll D引進比例常數(shù)引進比例常數(shù)E，且注意到，且注意到 F = N，有，有 NllEAD 胡克定律胡克定律(Hookes law), 適用于拉適用于拉(壓壓)桿。桿。 式中：式中：E 稱為彈性模量稱為彈性模量(modulus of elasticity)，由實驗測定，單位為，由實驗測定，單位為Pa；EA 桿

26、的拉伸桿的拉伸(壓縮壓縮)剛度。剛度。胡克定律胡克定律( (Hookes law) ) 工程中常用材料制成的拉工程中常用材料制成的拉(壓壓)桿，當應力不超過材料的某一特征值桿，當應力不超過材料的某一特征值(“比例極限比例極限”)時，若兩端受力時，若兩端受力胡克定律的另一表達形式：胡克定律的另一表達形式： 1lNlE ADE 單軸應力狀態(tài)下的胡克定律 低碳鋼低碳鋼(Q235)： GPa210GPa200Pa1010. 2Pa1000. 21111ENllEAD E E 2.橫截面B, C及端面D的縱向位移與各段桿的縱向總變形是什么關(guān)系？思考：思考：等直桿受力如圖，已知桿的橫截面面積等直桿受力如圖

27、，已知桿的橫截面面積A和材料的彈性模量和材料的彈性模量E。 1.列出各段桿的縱向變形lAB，lBC，lCD以及整個桿縱向變形的表達式。 FFN 圖F+-+EAlFlEAlFllBCCDAB) 3/( ) 3/(DDDEAlFllllBCCDAB) 3/(DDDD ) 3/( 0 ) 3/(EAlFllllllEAlFlCDBCABDBCABCABBDDDDDDD位移：位移：變形：變形：NllEAD 例題例題:求所示薄壁圓環(huán)其直徑的改變量求所示薄壁圓環(huán)其直徑的改變量d。已知。已知 ，GPa210E。MPa2 mm,5 mm,200pd 2. 如果在計算變形時忽略內(nèi)壓力的影響，則可認為 薄壁圓環(huán)沿

28、圓環(huán)切向的線應變(周向應變)與徑向截面上的正應力 的關(guān)系符合單軸應力狀態(tài)下的胡克定律，即 4-96109 . 1Pa10210Pa1040E40 MPa2Npdb 解：解：1. 前已求出圓環(huán)徑向截面上的正應力前已求出圓環(huán)徑向截面上的正應力此值小于鋼的比例極限此值小于鋼的比例極限(低碳鋼低碳鋼Q235的比例的比例極限極限sp200 MPa)。NN-4-51.9 100.2 m3.8 10m0.038 mmddD 從而有圓環(huán)直徑的改變量(增大)為dddddddDD-)( 3. 圓環(huán)的周向應變與圓環(huán)直徑的相對改變量d有如下關(guān)系： 例題 如圖所示桿系，荷載 P = 100 kN，試求結(jié)點A的位移A。已

29、知： = 30 ，l = 2 m，d = 25 mm，桿的材料(鋼)的彈性模量為E = 210 GPa。 由胡克定律得 12122cosN lN lPlllEAEAEAD D其中 24dA 1. 求桿的軸力及伸長122cosPNN12NN 解：結(jié)點A的位移A系由兩桿的伸長變形引起，故需先求兩桿的伸長。 12coscos -0NNP由結(jié)點 A 的平衡(如圖)有 N1N22. 由桿的總變形求結(jié)點 A 的位移 根據(jù)桿系的布置、約束、桿的材料以及受力情況均與通過結(jié)點 A 的鉛垂線對稱可知，結(jié)點A只有豎向位移(如圖)。亦即 221cos2coscosEAPlllADD 畫桿系的變形圖，確定結(jié)點A的位移

30、12coscosAAAAAAAA 由幾何關(guān)系得)(1.293mmm10293. 130cos)m1025(4)Pa10210(2)m2)(N10100(322393A從而得 此桿系結(jié)點 A 的位移(displacement)是因桿件變形(deformation)所引起 ，但兩者雖有聯(lián)系又有區(qū)別。變形是指桿件幾何尺寸的改變，是個標量；位移是指結(jié)點位置的移動，是個矢量，它除了與桿件的變形有關(guān)以外，還與各桿件所受約束有關(guān)。 作業(yè)：作業(yè)：2-132-13 應變能(strain energy)彈性體受力而變形時所積蓄的能量。 彈性變形時認為，積蓄在彈性體內(nèi)的應變能V在數(shù)值上等于外力所作功W，V = W。

31、 應變能的單位為 J（1J=1Nm）。 拉桿(壓桿)在線彈性范圍內(nèi)的應變能 或 211222NlN lVN lNEAEAD EAlFEAFlFlFV221212D外力F所作功： lFWD21WV 桿內(nèi)應變能：lFVD21亦可寫作 22 222222F lEAF lEAV( l )EAl( EA)lD2121DAllFVVvEv2222Ev 或 或 應變能密度 v單位體積內(nèi)的應變能。 應變能密度的單位為 J/m3。22F lVEA解：解： 例題例題 求所示桿系的應變能，并按彈性體的功能原理(V=W )求結(jié)點A的位移A。 已知：P = 100 kN，桿長 l = 2 m，桿的直徑 d = 25 m

32、m， = 30，材料的彈性模量E=210 GPa。求桿的軸力由結(jié)點 A 的平衡(如圖)有 12NN 12coscos -0NNP122cosPNN N N1 1N N2 222N lVEA 結(jié)點A的位移)(mm293. 1m10293. 1N10100mN67.642233PVA21VPA由 知22132932()2cos22100 10 N() (2 m)2cos30(210 10 Pa)(25 10m) 464.67 N m64.67 JPlN lVEAEA 應變能作業(yè)：作業(yè)：2-152-15一、概念一、概念1 1、靜定：結(jié)構(gòu)或桿件的未知力個數(shù)等于有效靜力方程的個數(shù)，、靜定：結(jié)構(gòu)或桿件的未

33、知力個數(shù)等于有效靜力方程的個數(shù)， 利用靜力平衡方程就可以求出所有的未知力利用靜力平衡方程就可以求出所有的未知力靜定問題靜定問題 2 2、超靜定：結(jié)構(gòu)或桿件的未知力個數(shù)多于有效靜力方程的個數(shù)，、超靜定：結(jié)構(gòu)或桿件的未知力個數(shù)多于有效靜力方程的個數(shù)， 只利用靜力方程不能求出所有的未知力只利用靜力方程不能求出所有的未知力超靜定問題超靜定問題3 3、多余約束：在超靜定系統(tǒng)中維持結(jié)構(gòu)、多余約束：在超靜定系統(tǒng)中維持結(jié)構(gòu) 幾何不變性所需要幾何不變性所需要多余多余的桿或支座。的桿或支座。 ABC12PD3A1N2NP. 0, 0YXA1N2NP3N多余約束多余約束 超靜定結(jié)構(gòu)大多為在靜定結(jié)構(gòu)的基礎上再加上一個

34、或若干個多余約束，這超靜定結(jié)構(gòu)大多為在靜定結(jié)構(gòu)的基礎上再加上一個或若干個多余約束，這些約束對于特定的工程要求往往是必要的）些約束對于特定的工程要求往往是必要的）2-6 拉伸和壓縮的超靜定問題拉伸和壓縮的超靜定問題4 4、多余約束反力：多余約束對應的反力。、多余約束反力：多余約束對應的反力。= = 未知力個數(shù)未知力個數(shù) 平衡方程個數(shù)。平衡方程個數(shù)。二、二、超靜定的求解超靜定的求解步驟：步驟：2 2、根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形協(xié)調(diào)方程。、根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形協(xié)調(diào)方程。3 3、根據(jù)物理關(guān)系（胡克定律）寫出補充方程。、根據(jù)物理關(guān)系（胡克定律）寫出補充方程。4 4、聯(lián)立靜力方程與補充方程求出所有的未知

35、力。、聯(lián)立靜力方程與補充方程求出所有的未知力。1 1、根據(jù)平衡條件列平衡方程（確定超靜定的次數(shù)）。、根據(jù)平衡條件列平衡方程（確定超靜定的次數(shù)）。5 5、超靜定的次數(shù)、超靜定的次數(shù)b b、幾何方程、幾何方程變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：c c、物理物理方程變形與受力關(guān)系方程變形與受力關(guān)系解：解：a a、平衡方程、平衡方程: :d d、聯(lián)立方程聯(lián)立方程(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)可得可得: :120sinsin0(1)XNN1230coscos0(2)YNNNF13cosllDD 233111233311331133cos ;2cos2cosE A FE AFNNNE AE AE AE

36、A3 31 11133cos(3)N lN lE AE A補 充 方 程例例1 1：圖示桿系結(jié)構(gòu)，圖示桿系結(jié)構(gòu)，33221121,AEAEAEll，求：各桿的內(nèi)力。，求：各桿的內(nèi)力。N1A N2 2N3 3yxFABDC132F3A1A2lD2A1lD3lD超靜定結(jié)構(gòu)的特征：內(nèi)力按照剛度分配能者多勞的分配原則13lL cosD D33111133cosN LN LE AE A補 充 方 程11313331cosE A LNNE A LABDC132F3A1A2lD2A1lD3lD例例9 9 木制短柱的四角用四個40404的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應力分別為1=160M Pa和2=12MP

37、a，彈性模量分別為E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求許可載荷P。0421PNNY21LLDD2222211111LAELNAELNLDD幾何方程物理方程及補充方程：解：平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2 解平衡方程和補充方程，得:PNPN72. 0 ; 07. 021 11107. 0APN求結(jié)構(gòu)的許可載荷：角鋼面積由型鋼表查得: A1=3.086cm222272. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111AP111NA由角鋼的強度條件：222NA由木材的強度條件：1110 8mm

38、ll/ E.D2221 2mmll/ E.D所以在所以在l l1 1= =l l2 2 的前提下，角鋼將先達到極限狀態(tài)，的前提下，角鋼將先達到極限狀態(tài)， 即角鋼決定最大載荷。即角鋼決定最大載荷。求結(jié)構(gòu)的許可載荷： 07. 0 07. 0111ANPkN4 .70507. 06 .308160另外：若將鋼的面積增大另外：若將鋼的面積增大5倍，倍，結(jié)果結(jié)果會會怎樣？怎樣？ 若將木的面積變?yōu)槿魧⒛镜拿娣e變?yōu)?5mm2，又又怎樣？怎樣？結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠由鋼控制著結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠由鋼控制著。方法2:111111maxlEElD由得即111NA三、溫度應力、裝配應力三、溫度應力、裝配應力1 1、溫度應

39、力、溫度應力：由溫度改變引起桿變形而產(chǎn)生的應力（熱應力）。由溫度改變引起桿變形而產(chǎn)生的應力（熱應力）。溫度引起的變形量溫度引起的變形量: :tLLDDa、靜定問題無溫度應力。、靜定問題無溫度應力。b、超靜定問題存在溫度應力。、超靜定問題存在溫度應力。 例例 已知兩桿面積已知兩桿面積A 、長度、長度L 、彈性模量、彈性模量E相同，相同，桿溫度膨脹系數(shù)桿溫度膨脹系數(shù) .求：當求：當1桿溫度升高桿溫度升高 時，兩桿的內(nèi)力及約束反力。時，兩桿的內(nèi)力及約束反力。TDBC12aa3A1、平衡方程平衡方程: :120,30cMN aNa2 2、幾何方程：、幾何方程：解解：解除解除1 1桿約束，使其自由膨脹桿

40、約束，使其自由膨脹；AB橫梁最終位置在橫梁最終位置在AB 2N1NABCCRBC12aa3 AATlD AB2lD1lD123TlllaaDDD22,N llEAD3 3、物理、物理方程：方程：,1091TlEAND,1032TlEAND,56TlEARCD123N LN lTLEAEAaaD4 4、補充、補充方程：方程：120,0ycFRNN11,N llEAD TlTLD D2 2、裝配應力、裝配應力預應力、初應力：預應力、初應力：2 2、超靜定問題存在裝配應力。、超靜定問題存在裝配應力。1 1、靜定問題無裝配應力、靜定問題無裝配應力 由于構(gòu)件制造尺寸產(chǎn)生的制造誤差，在裝配時產(chǎn)生變形而引由

41、于構(gòu)件制造尺寸產(chǎn)生的制造誤差，在裝配時產(chǎn)生變形而引起的應力。起的應力。ABC12ABDC132 A解：解：a、平衡方程平衡方程:0sinsin021NNX0coscos0213NNNY例：已知：各桿長為例：已知：各桿長為 ： 、 ； A1=A2=A、 A3 ；E1=E2=E、E3。3桿的尺寸誤差為桿的尺寸誤差為 ，求，求:各各桿的裝配內(nèi)力。桿的裝配內(nèi)力。lll213l3N2N1N AA3A A2A2lD1A1lDABDC132 A3lDb、幾何方程：、幾何方程：13co sllD Dc、物理方程物理方程：3333311111,AELNlAELNlDDd、補充方程補充方程：11331133co

42、sN LNLE AEAd 、聯(lián)立平衡方程和補充方程，得、聯(lián)立平衡方程和補充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAElNN / cos21cos23311331133AEAEAElN作業(yè)：作業(yè)：2-192-19由于截面急劇變化引起應力局部增大現(xiàn)象由于截面急劇變化引起應力局部增大現(xiàn)象應力集中應力集中應力集中因數(shù)maxaveK max最大局部應力最大局部應力 ave 名義應力名義應力( (凈截面上的平均應力）凈截面上的平均應力）應力集中2-7 應力集中應力集中ave應力集中對構(gòu)件強度的影響應力集中對構(gòu)件強度的影響對于脆性材料構(gòu)件對于脆性材料構(gòu)件，當當 max b 時，構(gòu)件斷

43、裂時，構(gòu)件斷裂對于塑性材料構(gòu)件，當對于塑性材料構(gòu)件，當 max達到達到 s 后再增加載荷，后再增加載荷， 分布趨于均勻化，不影響構(gòu)件靜強度分布趨于均勻化，不影響構(gòu)件靜強度應力集中促使疲勞裂紋的形成與擴展，對構(gòu)件（塑性與脆性應力集中促使疲勞裂紋的形成與擴展，對構(gòu)件（塑性與脆性材料）的疲勞強度影響極大材料）的疲勞強度影響極大靜載作用時：靜載作用時：動載作用時：動載作用時： 圖圖a所示螺栓連接主要有兩種可能所示螺栓連接主要有兩種可能的破壞：的破壞： . 螺栓被剪斷（參見圖螺栓被剪斷（參見圖b和圖和圖c）；）；. 螺栓和鋼板因在接觸面上受壓而發(fā)生螺栓和鋼板因在接觸面上受壓而發(fā)生擠壓破壞（螺栓被壓扁，鋼

44、板在螺栓孔處擠壓破壞（螺栓被壓扁，鋼板在螺栓孔處被壓皺）（圖被壓皺）（圖d）；）； 實用計算法中便是針對這些可能的破壞作近似計算的。實用計算法中便是針對這些可能的破壞作近似計算的。2-8 剪切與擠壓的實用計算剪切與擠壓的實用計算一、一、 剪切的實用計算剪切的實用計算 在實用計算中，認為連接件的剪切面（圖在實用計算中，認為連接件的剪切面（圖b，c）上各點處切應力相等，）上各點處切應力相等，即剪切面上的即剪切面上的名義切應力名義切應力為為QA式中，式中，Q為剪切面上的剪力，為剪切面上的剪力， A為剪切面的面積。為剪切面的面積。 bQAn強度條件強度條件b: 是材料的剪切強度，由剪切實驗確定是材料的剪切強度，由剪切實驗確定 n 是大于是大于1的剪切安全系數(shù)的剪切安全系數(shù) Q二、二、擠壓的實用計算擠壓的實用計算 在實用計算中，連接件與被連接件之間的擠壓應力是按某些假定進行計算的。 對于螺栓連接和鉚釘連接，擠壓面是半個圓柱形面（圖b），擠壓面上擠壓應力沿半