最新高三第一輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)--等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題

1、精品文檔等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題考綱要求1. 熟練運(yùn)用等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和式以及有關(guān)性質(zhì)，分析和解決等差、等比數(shù)列的綜合問題.2. 突出方程思想的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生選擇簡捷合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算速度和運(yùn)算能力. 命題規(guī)律1、等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)，特別是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問題是歷年命題的熱點(diǎn)；2、禾U用等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式時注意公比 q的取值。同時對兩種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過程，利用好性質(zhì)，可降低題目的難度，解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程求解。考點(diǎn)解讀等差數(shù)列等比數(shù)列文一般地，如果一個數(shù)列從第

2、二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它字疋義一項(xiàng)的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列,這的前一項(xiàng)的比是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等比個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。數(shù)列，這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。符號an 1and；anan1 an 1加 q(q 0)2；anN 1 an 1(an0)疋2an義分類遞增數(shù)列：d0遞增數(shù)列：a10，q1 或a10,0q 1遞減數(shù)列：d0遞減數(shù)列：a10，q1 或 a10,0q 1常數(shù)數(shù)列：d0擺動數(shù)列：q0常數(shù)數(shù)列：q1通項(xiàng)an ai (n 其中p d, q ai1)ddpnq am (nm)dn 1anagn mamq(q0)刖ncn

3、(ai aSn27 nain(n 1)d22pn qn印(1n、q)/八 (q 1)dSn1q項(xiàng)其中pd和列a12n(q 1)中 項(xiàng)a,b,c成等差數(shù)列的充要條件2b aca, b,c成等比數(shù)列的充要條件：b2ac等和性：等差數(shù)列 an等積性：等比數(shù)列 an主若m n pq則amana paq若m n pq 則 Om ana p aq要.2性推論：若m n2p則aman2a p推論：若mn 2p則 am ar(ap)質(zhì)an kan k2anan k an k(an)2aiana2an 1a3an 2a1ana2an 1a3 an 2即：首尾顛倒相加，則和相等即:首尾顛倒相乘，則積相等1、等差數(shù)

4、列中連續(xù) m項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等差其數(shù)列。即: Sm,S2m2Sm,S3m S2m, 等差，公差為md則有 S3m3(S2mSm)2、從等差數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個等、差數(shù)列。如：a1,a4主,a7,a10,（下標(biāo)成等差數(shù)列）1、等比數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等3、 an , bn等差，則a?n，a2n 15比數(shù)列。即：Sm, S2m Sm,S3m S2m, 等比，公kan b， panqbn也等差。比為 qm。（ q1）4、等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，即:2、從等比數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是它 an dn c(d0)一個等比數(shù)列。女口： a1,a4, a

5、7,a10,（下標(biāo)成等差數(shù)列）等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和公式是一個沒有常數(shù)項(xiàng)的3、an , bn 等比，則a2n ，a?n 1，2Sn An Bn( d0)n的二次函數(shù)，即：kan也等比。其中k 05、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1的等差數(shù)列有：4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式類似于 n的指數(shù)函數(shù)，W1 1S奇S(禺a(chǎn)na 中ttrrn亠a1S禺n 1即: an cq ，其中 c qS2n i (2n1)an等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是一個平移加振幅項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列有：的n的指數(shù)函數(shù)，即：Sncqn c（q 1）生國anS 禺 s奇 nd5、等比數(shù)列中連續(xù)相同項(xiàng)數(shù)的積組成的新數(shù)列an 1是等比數(shù)列。S2nn(an

6、an 1 )6、an m,amn 則 am n 0SnSm 則 Sm n0(nm)Snm, Sm質(zhì)n 則 Sm n(mn)證證明一個數(shù)列為等比數(shù)列的方法：證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的方法：1、定義法：q （常數(shù)）明1、定義法：an1 an d (常數(shù))方法2、中項(xiàng)法：an2)an2、中項(xiàng)法 an 1 an 1 (an)2(n 2,an0)1an 12an(n設(shè)三數(shù)等比： ,a, aq或 a, aq, aq2q23元三數(shù)等差：ad ,a, a d技四數(shù)等差：a3d, a d,a d,a 3d巧四數(shù)等比： a, aq,aq , aq聯(lián)1、若數(shù)列 an是等差數(shù)列，則數(shù)列Can是等比數(shù)列,公比為 Cd，其

7、中C是常數(shù)，d是an的公差。系2、若數(shù)列 an是等比數(shù)列，且an0，則數(shù)列l(wèi)ogaan是等差數(shù)列，公差為log a q，其中a是常數(shù)且精品文檔a 0, a 1 , q是an的公比?？键c(diǎn)突破考點(diǎn)1有關(guān)通項(xiàng)問題典例1數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且a11，an 1Sn, n 1 , 2, 3,3求 a2 , a3,a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解題思路用an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系:anSnSn 1(n(n1) 解決問題。2)解題過程解：由a1an 1a2n，131,a331，2,3，得由 an 1an13印13(Sn4 1 )3114S2(a1a2)，a43391m-an (n2)，得 an 131 1護(hù)

8、3護(hù)a243an 52)，a3)1627，11 4又 a2=丄，所以 an=1(4)n 2 (n2),33 3二數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 1 4 n()3 3易錯點(diǎn)撥定要分n 1和n 2進(jìn)行討論，并驗(yàn)證a1是否符合所求出的an。變式1設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn 如2n , n N ,其中k是常數(shù).點(diǎn)撥答案(I)求 a1 及 an ；(ll )若對于任意的 m N , am , a2m , a4m成等比數(shù)列，求k的值.先由n 2時，an Sn Sn 1，求出an ；再由當(dāng)n 1時，a1 S1，求出印，變式2并驗(yàn)證a1是否符合所求出的n 1, a1 S1 k 1,數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snana

9、n差數(shù)列嗎？( 3)你能寫出數(shù)列點(diǎn)撥討論的數(shù)學(xué)思想。2kn(1)試寫出數(shù)列的前 5項(xiàng)；(2)數(shù)列anan的通項(xiàng)公式嗎?是等答案an1；( n 1)2n 1(n 2)考點(diǎn)2有關(guān)等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題典例1 一個等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為48,前2 n項(xiàng)的和為60,則前3n項(xiàng)的和 為。解題思路 Sn,S2nSn,S3n S2n為等差數(shù)列解題過程 Qn =36.易錯點(diǎn)撥有同學(xué)誤認(rèn)為“ Sn，S2n，S3n也成等差數(shù)列”。變式1等比數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，且aa6 aa18,則砸彳玄！ logsa? LIog3術(shù)() A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+|og35點(diǎn)撥性質(zhì)“若m n p q則a

10、m an ap aq”。答案 B變式1等差數(shù)列 an前n項(xiàng)和為Sn已知am 1 am 1 am 0 , S2m 1 38，則m.點(diǎn)撥 若m n p q則am a“ ap aq推論：若 m n 2p則am a“ 2ap答案m 10考點(diǎn)3數(shù)列求和問題典例1在等差數(shù)列an中，a1 25 , S17 S9,求Sn的最大值.解題思路等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題，了解數(shù)列的本身規(guī)律。解題過程179解法一：由 S17 S9，得：25 17(17 1)d25 9 一(9 1)d，解得 d 2.22n2Sn 25n (n 1)( 2) (n 13)2 1692 .由二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n 13時，Sn有最大值169.

11、解法二：先求出d2 , Qa1250,an 25 2(n 1) 0 由an 125 2n 01n 13-2，所以當(dāng)n 13時，Sn有最大值169.n 122解法三：由S17 S9，得昕 an L0 ,而 a-ioa-17ai1ai6ai2ai5a-3 ai4，故 ai3 ai4 = 0. Q d 2 0, ai 0, ai3 0, ai4 0,故當(dāng) n 13時， Sn有最大值i69 .易錯點(diǎn)撥 解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題的方法通常有：利用二次函數(shù)求最值；利用通項(xiàng)公式an求n使得an an i 0 :利用性質(zhì)求出符號改變項(xiàng).變式i已知an是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中ai 0，公差d 0,若Sw

12、 0 ,求數(shù)列an前n項(xiàng)和的最大值.點(diǎn)撥ai 0 , d 0時，Sn有最大值；q 0 , d 0時，Sn有最小值。且在前n項(xiàng)中，最大答案a5 0,a6 0 ,即數(shù)列an前5項(xiàng)和為最大值.變式2已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，Sn 80 , S2n 6560,的項(xiàng)為54,求n的值.點(diǎn)撥ai(i qn)80(i)由(2)(i)得 qn 8i有條件得：- i q2nai(i q2 )26560(2)1 q答案 n 4綜合突破 突破i數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何結(jié)合的綜合題2n 32典例i 若A和Bn分別表示數(shù)列an和bn前n項(xiàng)的和，對任意正整數(shù) n , a.4Bn i2An i3n.(1) 求數(shù)列b

13、n的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)有拋物線列Ci, C2,Cn拋物線Cn(n N)的對稱軸平行于 y軸，頂點(diǎn) 為an,bn，且通過點(diǎn)Dn(0, n i)，求點(diǎn)Dn且與拋物線Cn相切的直線斜率為 心。(3) 設(shè)集合X xx 2an,n N*，丫 y y 4bn ,n N*。若等差數(shù)列 Cn的任一項(xiàng)Cn X Y , Ci是X Y中的最大數(shù)，且265 G。通項(xiàng)公式。解題思路 以考數(shù)列的知識為主要載體， 熟練等差等比數(shù)列的基本性質(zhì)外, 合、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等的知識。解題過程125，求Cn的還綜合考查了集解:52n 32(n 1) 3(1 ) ai= , an an _ i =2 2 25擻列an是以-5為首項(xiàng)，1

14、為公差的等差數(shù)列n(二 An=3)n(n 4)2由 4Bn 12An 13n，得 Bn3n 12An46n211n412n 5412n 542 n 3(2)設(shè)拋物線Cn的方程為y=a (x+) 22即 y x2(2n 3)x n21y/ 2x (2n 3)Dn處切線斜率 kn=2n+3.12n 52(6 n 1)(3)對任意 n N*, 2an2n 3 , 4g y X，故可得 X Y Y。G是X Y中最大的數(shù)， G 17設(shè)等差數(shù)列 Cn的公差為d，則C1017 9d5 265 -17 9d 125 得 27 d 129而4bn是一個以一12為公差的等差數(shù)列 d 12m(m N ) , d 2

15、4 Cn 7 24n(n N )易錯點(diǎn)撥 本題考查數(shù)列、集合和解析幾何中的直線、 拋物線等知識對思維能力有較高要求,考查了分析問題和解決問題的能力。突破2數(shù)列與導(dǎo)數(shù)、平面向量、概率等新知識相結(jié)合 典例1一 2 -從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)M，按向量a (0,1)移動的概率為一，按向量b (0,2)移動的概31率為丄，設(shè)M可到達(dá)點(diǎn)(0，3(1)求Pl和P2的值;n)的概率為Pn.(2)求證：Pn 2Pn 11-(Pn 1 Pn)；3(3)求Pn的表達(dá)式.解題思路先通過概率的理解得到數(shù)列Pn的遞推公式，在利用構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公解題過程(2)M 到達(dá)(0，P2n+2)2 2 1(3)3有Pn 25PnPn

16、 2巳 113(Pn1 Pn)31)按向量(0,1)移動.1丄為公比的等比數(shù)列3Pn!Pn(P2P)( 1( g)P,P1( $(黑Pn兩種情況點(diǎn)(0,n點(diǎn)(0, n)按向量(0,2)移動(3)數(shù)列Pn 1 Pn是以(P2 R)為首項(xiàng),結(jié)合向量、概率等知識一起考,易錯點(diǎn)撥此解答題將以等差、等比數(shù)列的基本問題為主題,考查了學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力?？鞓酚?xùn)練1、已知等差數(shù)列an的公差為2,若a1,a3,a4成等比數(shù)列，則a2 =()A. -4B. -C. -D. -02、三個數(shù),1,1成等差數(shù)列m n2 2,又m2,1,n2成等比數(shù)列，則-一-的值為(m nA. - 1 或 3B. 1 或 3C. 3

17、或 1D. 3 或一1等差數(shù)列an中,a1 a4 a739,a3 a6 a9 27，則數(shù)列an前9項(xiàng)的和Sg等于B. 99 C. 144 D. 2974、已知an是等比數(shù)列，a22,1a5，貝U a1 a2 a?a34B. 16anan 1 =()(1 2 n)A . 16 ( 14 n)3232C.(14 )D.(1 2 )335、中,a5a4108,a2a14,則 a1a2a3a4a5的值為827,則插入的三個數(shù)的乘積為 6、在8和27之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列327、等差數(shù)列an中，ai=2，公差不為零，且ai，a3，aii恰好是某等比數(shù)列的前三項(xiàng)，那么該等比數(shù)列公比的值等于

18、&已知 an是公比為q的等比數(shù)列，且a1,a3,a2成等差數(shù)列.(I)求q的值；(H)設(shè)bn是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)2時,比較Sn與bn的大小，并說明理由提高訓(xùn)練1、知一等比數(shù)列的前三項(xiàng)依次為x,2x2,3x3，那么113是此數(shù)列的第()項(xiàng)2A 2B 4C 6D 82、已知一個等差數(shù)列的前5項(xiàng)的和是120,最后5項(xiàng)的和是180,又所有項(xiàng)的和為 360,則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A. 12 項(xiàng)B.13項(xiàng)C.14項(xiàng)D. 15 項(xiàng)3、若關(guān)于x的方程x2x a 0 和 x2xb 0 a1b的四個根可組成首項(xiàng)為的等差數(shù)4列，則a b的值是()A 3r 11C.1331A.-B.D.82424724、數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，它的第 4，8, 10項(xiàng)，則bn的公比是17項(xiàng)恰是另一等比數(shù)列bn的第6,0的兩根，則a4 a7 =6、已知a,b,a b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列,(ab)0l0gm1,則m的取值范圍5、在等比數(shù)列 an中，若a1,a10是方程3x2 2xaia3a5a2 a4a6是等比數(shù)列，且ai =7、差不為零的等差數(shù)列an的第二、三