映射與函數(shù)習(xí)題

1、廣州至慧教育學(xué)生姓名 就讀年級(jí) 授課日期 教研院審核 【知識(shí)點(diǎn)回顧】1函數(shù)的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集合A中的每一個(gè)(任意性)元素X，在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng) 叫做集合 A到集合B的一個(gè)函數(shù) (三性缺一不可)函數(shù)的本質(zhì)：建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的特殊對(duì)應(yīng)這種 特殊對(duì)應(yīng)”有何特點(diǎn)：1).可以是 一對(duì)一” 2).可以是 多對(duì)一” 3).不能一對(duì)多” 4). A 中不能有剩余元素5).B中可以有剩余元素判斷兩個(gè)函數(shù)相同：只看定義域和對(duì)應(yīng)法則2映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使對(duì)于集合A

2、中的每一個(gè) 元素x,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f: AB為從集合 A到 集合B的一個(gè)映射(mapping )。思考：映射與函數(shù)區(qū)別與聯(lián)系函數(shù)一一建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的特殊對(duì)應(yīng)映射一一建立在兩個(gè)非空集合上的特殊對(duì)應(yīng)1) 函數(shù)是特殊的映射，是數(shù)集到數(shù)集的映射.2 )映射是函數(shù)概念的擴(kuò)展，映射不一定是函數(shù).3)映射與函數(shù)都是特殊的對(duì)應(yīng)思考：映射有“三性”： “有序性”：映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個(gè)映射； “存在性”：對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，集合 B中都存在元素和它對(duì)應(yīng)； “唯一性”：對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中和它對(duì)應(yīng)的元素是唯一

3、的.3用映射定義函數(shù)(1) .函數(shù)的定義：如果A、B都是非空數(shù)集，那末 A到B的映射f:A t B就叫做At B 的函數(shù)。記作：y=f (x).(2) 定義域：原象集合A叫做函數(shù)y=f (x)的定義域。(3) 值域：象的集合C (C B)叫做函數(shù)y=f (x)的值域。定義：給定一個(gè)集合 A到集合B的映射，且a A， b B。如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那 么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。給定映射f: AtB。則集合A中任何一個(gè)元素在集合 B中都有唯一的象，而集合 B中的元 素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一個(gè)原象。問(wèn)題1:下圖中的(1) ( 2)所示的映射有什么特點(diǎn)答

4、：發(fā)現(xiàn)規(guī)律：(1)對(duì)于集合A中的不同元素，在集合 B中有不同的象，我們把這樣的映射稱(chēng)為單射。(2)集合B中的每一個(gè)元素都有原象，我們把這樣的映射稱(chēng)為滿(mǎn)射。定義：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合。f: At B是集合A到集合B的映射，如果在這個(gè)映射下，對(duì)于集合 A的不同元素，在集合 B中有不同的象，且 B中每一個(gè)元素都有原象，那 么這個(gè)映射叫做 A到B上的映射。注意:1)滿(mǎn)是映射，B到A也是映射。2)映射和一一映射之間的充要關(guān)系，映射是一映射的必要而不充分條件3)映射：A和B中元素個(gè)數(shù)相等。例2：判斷下面的對(duì)應(yīng)是否為映射，是否為一一 映射1) A=0,1,2,4,9,B=0,1,4,9,64, 對(duì)應(yīng)法

5、則 f: a tb = (a-1)2答：是映射，不是一一映射。(如右圖所示可以很容易可能出。)2) A=0,1,4,9,16,B=-1,0,1,2,3,4,對(duì)應(yīng)法則f:求平方根答：不是映射。3) A=Z , B=N*，對(duì)應(yīng)法則f :求絕對(duì)值答：不是映射。4) A=11,16,20,21,B=6,2,4,0, 對(duì)應(yīng)法則 f :求被 7 除的余數(shù)答：是映射，且是映射。(x,y)|x,y R , f是從A到B的映射f:x t (x+1,x2).例3:已知集合A=R,B=(1)求 2在B中的對(duì)應(yīng)元素(2) (2,1)在A中的對(duì)應(yīng)元素解：(1)將x= 2代入對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得其在B中的對(duì)應(yīng)元素為(.2 +1

6、, 2)(2 )由題意得：x+仁2x2=1 x=1即(2,1 )在A中的對(duì)應(yīng)元素為1例 4：設(shè)集合 A=a、b,B=c、d、e(1 )可建立從 A到B的映射個(gè)數(shù) .(2)可建立從 B到A的映射個(gè)數(shù) .答：9,8 (可以試著畫(huà)圖看看)小結(jié)：如果集合 A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，那么從集合 A到集合B的映射 共有nm 個(gè)?！居成淅}精解】例1在下列對(duì)應(yīng)中、哪些是映射、那些映射是函數(shù)、那些不是為什么設(shè) A=1,2,3,4, B=3,5,7,9設(shè) A=1,4,9,B+-1,1,-2,2,-3,3設(shè)A=R B=R對(duì)應(yīng)關(guān)系是f(x)=x 設(shè)A=R,B=R,對(duì)應(yīng)關(guān)系是f(x)=2x 解析：1、是一一

7、映射，且是函數(shù)2、不是映射(象是有且唯一)3、是一一映射，且是函數(shù)4、是映射，但不是函數(shù)，因?yàn)閷?duì)應(yīng)關(guān)系是f(x)=2x+1,x 屬于A對(duì)應(yīng)關(guān)系是 A中的元素開(kāi)平方 的3次方，x屬于A 的2次方+1, x屬于AB中不是所有值在 A中都有對(duì)應(yīng)。從A到B的映射共有2A3=8個(gè):(a, b,c)(0 ,0 ,0)；(a, b,c)(0 ,0 ,1);(a, b,c)(0 ,1,0);(a, b,c)f(1,0 ,0);(a, b,c)f(0 ,1,1);(a, b ,c)f(1,0 ,1);(a , b ,c)f(1,1,0);(a , b ,c)f(1,1,1)。例3假設(shè)集合m=0 -1 1 n=-

8、2 -1 0 1 2映射f:MN滿(mǎn)足條件“對(duì)任意的x屬于M,x+f(x)是奇數(shù)”，這樣的映射有_個(gè) 當(dāng)x=-1時(shí)，x+f(x)=-1+f(-1)恒為奇數(shù)，相當(dāng)于題目中的限制條件“使對(duì)任意的x屬于M都有x+f(x)是奇數(shù)”f(-1)=-2,0,2 當(dāng)x=0時(shí)，x+f(x)=f(0),根據(jù)題目中的限制條件“使對(duì)任意的x屬于M都有x+f(x)是奇數(shù)”可知f(0)只能等于-1和1 當(dāng)x=1時(shí)，x+f(x)=1+f(1)恒為奇數(shù)f(1)=-2,0,2綜上可知，只有第種情況有限制，所以這樣的映射共有3X 2X 3=18個(gè)例4設(shè)集合A=-1 , 0, 1 B=2, 3, 4, 5, 6 從A到B的映射f滿(mǎn)足

9、條件：對(duì)每個(gè)X A有f (X) +X為偶數(shù) 那么這樣的映射f的個(gè)數(shù)是多少映射可以多對(duì)一，要讓f (X) +X=偶數(shù)，當(dāng)X=- 1和1時(shí)，只能從B中取奇數(shù)，有3, 5兩種可能，當(dāng)X= 0從B中取偶數(shù)有2 4 6三種，則一共有2X 2X 3= 12個(gè)以后你學(xué)了分步與分類(lèi)就很好理解啦，完成一件事有兩類(lèi)不同的方案，在第一類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第二類(lèi)方案中有 n種不同的方法.那么完成這件事共有 N=m+n中不同的方 法，這是分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理；完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二 步有n種不同的方法.那么完成這件事共有 N=nXn種不同的方法例 5 已知：集合 M a,b,Q ,

10、 N 1,0,1，映射 f:M N 滿(mǎn)足 f(a) f(b) f (c) 0 , 那么映射f : M N的個(gè)數(shù)是多少思路提示：滿(mǎn)足 f (a) f (b) f (c)0,則只可能 0 0 00 1( 1) 0,即 f (a)、f(b)、f(c)中可以全部為0,或0,1, 1各取一個(gè).解： f (a) N, f (b) N, f (c) N，且 f (a) f (b) f (c)0有 0 0 00 1( 1) 0 .當(dāng)f (a) f(b) f (c)0時(shí)，只有一個(gè)映射;當(dāng)f (a)、f (b)、f(c)中恰有一個(gè)為此所求的映射的個(gè)數(shù)為 1+6=7 .例6給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)：其構(gòu)成映射的是0 ,而另

11、兩個(gè)分別為1 , 1時(shí)，有32=6個(gè)映射.A只有B 只有C只有D 只有答案:B提示:根據(jù)映射的概念，集合A到集合B的映射是指對(duì)于集合 A中的每個(gè)兀素，在集合中都有唯一確定的值與之相對(duì)應(yīng),故選擇B .例7.若函數(shù)f (x)滿(mǎn)足 f (xy) f(x)f(y)x, y R，則下列各式不恒成立的()答案:D提示:令y0 有 f (x)f(x)f(0)，f(0)0 , A正確.令xy 1，有 f(3)f(2)f(1) f(1)f(1)f(1) 3f (1), B 正確.令x1y 2，有 f(1)fG)f(T 2f(，1 1f(2) f(1)，c正確.()令y由于 于是當(dāng)xx，則 f (0) f (x)

12、 f ( x). f(0)0 , f( x)y 0 時(shí)，f (f (x),x) f (x)0，故 f ( x)f(x)0不恒成立，故選D例8.已知集合P x 0x 4, Q y0 y2，下列不表示從 P到Q的映射是(答案：C提示：C選項(xiàng)中f：x28-x，則對(duì)于P集合中的元素4,對(duì)應(yīng)的元素-，不在集合Q中,33不符合映射的概念.例9.集合A 3, 4到A的映射個(gè)數(shù)是_答案：9,8提示：從A到B可分兩步進(jìn)行：第一步A中的元素3可有3種對(duì)應(yīng)方法(可對(duì)應(yīng)5或6或7),5, 6,7,那么可建立從 A到B的映射個(gè)數(shù)是第二步A中的元素4也有這3種對(duì)應(yīng)方法.則不同的映射種數(shù) M 3 3 9 .反之從B到A ,

13、道理相同，有N22 2 28種不同映射.例10.如果函數(shù)f (x) (xa)3對(duì)任意R都有 f(1 x) f(1 x)，試求 f(2) f( 2)的值.解：對(duì)任意 當(dāng) x 即 f (1)x R，總有0時(shí)應(yīng)有f (1f(1). f(1) 0.f(1 x)0)f(1f(10)，又- f(x) (x a)3 , f(1) (1a)3.x),故有(1 a)30 (，則 a 1 . f (x) (x 1)3. f(2) f( 2) (2 1)3 ( 2 1)326 .【課堂練習(xí)】1. 設(shè)f:A 是集合A到集合B的映射，則正確的是()A. A中每一元素在 B中必有象B. B中每一元素在 A中必有原象C.

14、B中每一元素在 A中的原象是唯一的D. A中的不同元素的象必不同2. 集合A=3,4,B=5,6,7, 那么可建立從 A到B的映射個(gè)數(shù)是 ，從B到A的映射個(gè)數(shù)是.3設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集N,映射f:A 把集合A中的元素n影射到集合B中的元素 2nn，則在映射 f下，象20的原象是()A.2B.3C.4D.54. 如果(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是()3113A. (3， 1) B. (,) C. (， ) D. (-1 , 3)222 25. 已知點(diǎn)(x , y)在映射f下的象是(2x y, 2x + y),求(1)點(diǎn)(2,3 )在映射 f下的像

15、；(2)點(diǎn)(4 , 6)在映射f下的原象.6. 設(shè)集合 A = 1,2,3,k,B =4,7,a4,a2+ 3a,其中 a,k N,映射 f:At b，使 B 中元素 y = 3x + 1 與A中元素x對(duì)應(yīng)，求a及k的值.【綜合練習(xí)】一、選擇題：1. 下列對(duì)應(yīng)是從集合 A到集合B的映射的是()A . A=R, B=x|x 0 且 x R , x A, f: xt |x|B. A=N , B=N +, x A, f: xt|x 1|C. A= x|x0 且 x R , B=R, x A, f: xtx21D. A=Q , B=Q , f: xtx2. 已知映射f:A B，其中集合A = 3, 2

16、, 1, 1, 2, 3, 4，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且對(duì)任意的a A，在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是|a|,則集合B中的兀素的個(gè)數(shù)是()A . 4B . 5C. 6D . 73 .設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f: AtB把集合A中的兀素n映射到集合B中的兀素2n + n,則在映射f下，象20的原象是()A . 2B . 3C. 4D. 5關(guān)系式是c aA . y= xc ba cC. y= xb c2x 35.函數(shù)y=的值域是2x 34.在x克a%的鹽水中，加入 y克b%的鹽水，濃度變成 c%(a,bO,az b),貝U x與y的函數(shù)c aB. y=xb cb cD. y

17、=xc aA .( m, 1 ) U ( 1 ,+8 )B .(m, 1) U (1 ,+m )C .(m, 0 ) U (0 ,+m )D .(m, 0) U (1 ,+m )6.下列各組中，函數(shù)f(x)和g(x)的圖象相同的是()A .f(x)=x, g(x)=( . x )2B .f(x)=1 , g(x)=x0/ 2x,x (0,)C .f(x)=|x|, g(x)= xD .f(x)=|x|, g(x)=x,x (,0)7.函數(shù)y= .1 x2x2 1的定義域?yàn)?)A .x| 1 w x 1C .x|0w x 1)C . f(x)=x2 2x(x 1)12 .已知函數(shù)fx + 1)=

18、x+ 1,則函數(shù)f(x)的解析式為A . f(x)=x2D . f(x)=x2 2x+ 2(x 1)二、填空題：13 .己知集合 A =1 , 2, 3, k , B = 4 , 7, a4, a2+ 3a，且 a N* , x A , y B,使 B中元素y=3x+ 1和A中的元素x對(duì)應(yīng)，則a=_, k =_.14. 若集合 M= 1 , 0, 1 , N= 2, - 1 , 0, 1 ,2，從M到N的映射滿(mǎn)足：對(duì)每個(gè)x M ,恒使x+ f(x)是偶數(shù)，則映射f有 個(gè).15. 設(shè) f(x 1)=3x 1，貝U f(x)=_.16. 已知函數(shù)f(x)=x2 2x+ 2,那么f(1), f( 1), f( . 3 )之間的大小關(guān)系為 .三、解答題：17. (1)若函數(shù)y= f(2x+ 1)