一次函數(shù)經(jīng)典例題

1、.類型一：正比例函數(shù)與一次函數(shù)定義1、當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)？思路點(diǎn)撥：某函數(shù)是一次函數(shù)，除應(yīng)符合y=kx+b外，還要注意條件k0解：函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)， m=-2.當(dāng)m=-2時(shí)，函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)舉一反三：【變式1】如果函數(shù)是正比例函數(shù)，那么（ ）.Am=2或m=0 Bm=2 Cm=0 Dm=1【答案】：考慮到x的指數(shù)為1，正比例系數(shù)k0，即|m-1|=1；m-20，求得m=0，選C【變式2】已知y-3與x成正比例，且x=2時(shí)，y=7.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x=4時(shí)，求y的值；（3）當(dāng)

2、y=4時(shí)，求x的值解析：（1）由于y-3與x成正比例，所以設(shè)y-3=kx把 x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-32k， k2 y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y-3=2x，即y=2x+3 （2）當(dāng)x=4時(shí)，y=24+3=11 （3）當(dāng)y4時(shí)，4=2x+3，x=.類型二：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式2、求圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式思路點(diǎn)撥：圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)為2，則可設(shè)此表達(dá)式為y=2x+b，再將點(diǎn)（2，-1）代入，求出b即可解析：由題意可設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b，圖象經(jīng)過點(diǎn)（ 2，-1）， -l=22+b b=-5，所求一次函

3、數(shù)的表達(dá)式為 y=2x-5.總結(jié)升華：求函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法，具體怎樣求出其中的待定系數(shù)的值，要根據(jù)具體的題設(shè)條件求出。舉一反三：【 變式1】已知彈簧的長度y（cm）在一定的彈性限度內(nèi)是所掛重物的質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)，現(xiàn)已測得不掛重物時(shí)，彈簧的長度為6cm，掛4kg的重物時(shí)，彈簧的長度是7.2cm，求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式分析:題中并沒給出一次函數(shù)的表達(dá)式，因此應(yīng)先設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，再由已知條件可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=6；當(dāng)x=4時(shí)，y=7.2求出k，b即可解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b由題意可知，當(dāng) x=0時(shí)，y=6；當(dāng)x=4時(shí)，y=7.2.把它們代入y

4、=kx+b中得這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=0.3x+6【變式2】已知直線y=2x+1（1）求已知直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若直線y=kx+b與已知直線關(guān)于y軸對稱，求k，b的值解析：直線 y=kx+b與y=2x+l關(guān)于y軸對稱，兩直線上的點(diǎn)關(guān)于 y軸對稱又直線 y2x+1與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A（-，0），B（0，1）,A（-，0），B（0，1）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A（，0），B（0，1）直線 y=kx+b必經(jīng)過點(diǎn)A（，0），B（0，1）把 A（，0），B（0，1）代入y=kx+b中得k-2，b1所以（1）點(diǎn)M（0，1）（2）k=-2,b=1【變式3】判斷三點(diǎn)A（3，1），B（0，-2），C

5、（4，2）是否在同一條直線上分析：由于兩點(diǎn)確定一條直線，故選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過這兩點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，再把第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，若成立，說明第三點(diǎn)在此直線上；若不成立，說明不在此直線上解：設(shè)過A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=kx+b由題意可知，過A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=x-2當(dāng) x=4時(shí)，y=4-2=2點(diǎn) C（4，2）在直線y=x-2上三點(diǎn) A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一條直線上類型三：函數(shù)圖象的應(yīng)用3、圖中的圖象（折線ABCDE）描述了一汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s(km)和行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：(1

6、)汽車共行駛了_ km；(2)汽車在行駛途中停留了_ h；(3)汽車在整個(gè)行駛過程中的平均速度為_ km/h；(4)汽車自出發(fā)后3h至4.5h之間行駛的方向是_.思路點(diǎn)撥：讀懂圖象所表達(dá)的信息，弄懂并熟悉圖象語言.圖中給出的信息反映了行駛過程中時(shí)間和汽車位置的變化過程，橫軸代表行駛時(shí)間，縱軸代表汽車的位置.圖象上的最高點(diǎn)就是汽車離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離. 汽車來回一次，共行駛了1202=240(千米)，整個(gè)過程用時(shí)4.5小時(shí)，平均速度為2404.5= (千米/時(shí))，行駛途中1.5時(shí)2時(shí)之間汽車沒有行駛.解析：(1)240； (2)0.5； (3) ； (4)從目的地返回出發(fā)點(diǎn).總結(jié)升華：這類題是課本

7、例題的變式，來源于生活，貼近實(shí)際，是中考中常見題型，應(yīng)注意行駛路程與兩地之間的距離之間的區(qū)別.本題圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示的是汽車離出發(fā)地的距離，橫坐標(biāo)表示汽車的行駛時(shí)間.舉一反三：【變式1】圖中，射線l甲、l乙分別表示甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在自行車比賽中所走的路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，求它們行進(jìn)的速度關(guān)系。 解析：比較相同時(shí)間內(nèi)，路程s的大小.在橫軸的正方向上任取一點(diǎn),過該點(diǎn)作縱軸的平行線,比較該平行線與兩直線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小.所以.甲比乙快【變式2】（2011四川內(nèi)江）小高從家騎自行車去學(xué)校上學(xué)，先走上坡路到達(dá)點(diǎn)A，再走下坡路到達(dá)點(diǎn)B，最后走平路到達(dá)學(xué)校，所用的時(shí)間與路程的關(guān)系如圖所示。放學(xué)后，如

8、果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學(xué)時(shí)一致，那么他從學(xué)校到家需要的時(shí)間是( )A.14分鐘 B.17分鐘 C.18分鐘 D.20分鐘【答案】:D 分析：由圖象可知，上坡速度為80米/分；下坡速度為200米/分；走平路速度為100米/分。原路返回，走平路需要8分鐘，上坡路需要10分鐘，下坡路需要2分鐘，一共20分鐘?！咀兪?】某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí),經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y（升）與時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示： 根據(jù)圖象解答下列問題：（1）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是多少分鐘？清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是多少升？（2）已知洗

9、衣機(jī)的排水速度為每分鐘19升. 求排水時(shí)y與x之間的關(guān)系式； 如果排水時(shí)間為 2分鐘，求排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量.分析：依題意解讀圖象可知：從04分鐘在進(jìn)水，415分鐘在清洗，此時(shí)，洗衣機(jī)內(nèi)有水40升，15分鐘后開始放水.解：（1）洗衣機(jī)的進(jìn)水時(shí)間是4分鐘；清洗時(shí)洗衣機(jī)中的水量是40升；（2）排水時(shí)y與x之間的關(guān)系式為：y=40-19(x-15) 即y=-19x+325 如果排水時(shí)間為2分鐘，則x-15=2即x=17，此時(shí)，y=40-192=2. 所以，排水結(jié)束時(shí)洗衣機(jī)中剩下的水量為2升.類型四：一次函數(shù)的性質(zhì)4、己知一次函數(shù)y=kx十b的圖象交x軸于點(diǎn)A（一6，0），交y軸于點(diǎn)B，且AO

10、B的面積為12，y隨x的增大而增大，求k，b的值思路點(diǎn)撥：設(shè)函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，b），則OB=,由AOB 的面積，可求出b，又由點(diǎn)A在直線上，可求出k并由函數(shù)的性質(zhì)確定k的取值解析：直線y=kx十b與y軸交于點(diǎn)B（0，b），點(diǎn)A在直線上，則，由，即，解得代入，可得，由于y隨x的增大而增大，則k0,取則總結(jié)升華：該題考查的是待定系數(shù)法和函數(shù)值，仔細(xì)觀察所畫圖象，找出隱含條件。舉一反三：【變式1】已知關(guān)于x的一次函數(shù)（1）m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)?（2）m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2）?（3）m為何值時(shí)，函數(shù)的圖象和直線y=x平行?（4）m為何值時(shí)，y隨x的增大而減??？解析：

11、（1）由題意，m需滿足， 故 m=3時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)；（2）由題意得：m需滿足， 故 時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2）；（3）由題意，m需滿足， 故 m=4時(shí)，函數(shù)的圖象平行于直線y=x；（4）當(dāng)3m0時(shí)，即m3時(shí)，y隨x的增大而減小【變式2】函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）【答案】：B；分析：不論k為正還是為負(fù)，都大于0，圖象應(yīng)該交于x軸上方。故選B類型五：一次函數(shù)綜合5、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（ 1，0），B（0，1），C（-1，0），過點(diǎn)C的直線繞C旋轉(zhuǎn)，交y軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E。（1）求OAB的度數(shù)及直線AB的解析式；（2）若OCD與BDE的面積相等，求直線CE

12、的解析式；若y軸上的一點(diǎn)P滿足APE=45，請直接 寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)。思路點(diǎn)撥：（1）由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)知，AOB為等腰直角三角形，所以O(shè)AB=45（2）OCD與BDE的面積相等，等價(jià)于ACE與AOB面積相等，故可求E點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到CE的解析式；因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，故P為（0,0）時(shí)，APE=45.解析：（1）A（1，0），B（0，1）， OA=OB=1，AOB為等腰直角三角形 OAB=45 設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b,將A（ 1，0），B（0，1）代入， 解得k=-1，b=1 直線AB的解析式為：y=-x+1 （2） 即 ，將其代入y=-x+1，得E點(diǎn)坐標(biāo)（） 設(shè)直線CE為y=kx+b，將點(diǎn)C（-1，0），點(diǎn)E（）代入 ，解得k=b= 直線CE的解析式： 點(diǎn)E為等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)P（0,0）時(shí)，APE=45.總結(jié)升華：考慮面積相等這個(gè)條件時(shí)，直接算比較困難，往往采取補(bǔ)全成一個(gè)容易計(jì)算的面積來解決問題。舉一反三：【變式1】在長方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，點(diǎn)P沿邊按ABCD的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（但不與A，D兩點(diǎn)重合）。求APD的面積y()與點(diǎn)P所行的路程x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍?！敬鸢浮浚寒?dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)是，【變式2】如圖，直線與x軸y軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)A