2021春季10-高一數(shù)學(xué)綜合版-向量的數(shù)量積（學(xué)生版）

1、第十講向量的數(shù)量積一、向量的夾角1.定義：已知兩個非零向量，如果以為起點(diǎn)作，那么射線的夾角叫做向量的夾角記為，的取值范圍是 (1)共始點(diǎn)、夾角為零時，夾角為時、夾角為時， (2)零向量與任意向量共線、也與任意向量垂直二、向量的數(shù)量積1.定義：已知兩個非零向量的夾角為（），則把叫做的數(shù)量積，記作即 (1)兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù) (2)零向量與任一向量的數(shù)量積是0，區(qū)分， (3)當(dāng)同向時，當(dāng)反向時，特別地， ； (4)夾角為銳角的充要條件且不共線，夾角為鈍角的充要條件且不共線，OABB12.向量的投影：稱叫做向量在向量的方向上的投影如圖中的有向線段的數(shù)量。三、向量的運(yùn)算1.交換律： 2.結(jié)合律

2、： (1)實(shí)系數(shù)結(jié)合律： (2)向量結(jié)合律不成立： 3.分配律： 4.運(yùn)算公式： (1)平方差公式： (2)完全平方公式：。 例1.已知向量，且，則向量在向量的方向上的投影為_【難度】例2.如果向量，的夾角為，我們就稱為向量與的“向量積”， 還是一個向量，它的長度為，如果，則AB8C16D20【難度】例3.已知向量，滿足，且，的夾角為，則與的夾角為ABCD【難度】例4.若向量，滿足，則_【難度】例5.若平面向量與的夾角為，則ABC2D3【難度】例6.若，則A2B1CD0【難度】例7.如圖，在四邊形中，為等邊三角形，是的中點(diǎn)設(shè)，（1）用，表示，；（2）求與夾角的余弦值【難度】例8.如圖所示的中，

3、則ABCD【難度】例9.已知，的夾角為（1）求的值；（2）若向量的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍【難度】1、若兩單位向量，的夾角為，則向量在方向上的投影為_【難度】2、已知與是兩個互相垂直的單位向量，若向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)_【難度】3、在中，且，則ABC9D12【難度】4、設(shè)向量，滿足，則A1B2C3D5【難度】5、已知向量，滿足：，且，則的模等于AB2CD3【難度】6、在中，則_【難度】7、已知單位向量和的夾角為，（1）試判斷與的關(guān)系并證明；（2）求在方向上的投影【難度】1、在矩形中，點(diǎn)滿足，則A21BCD【難度】2、已知，則的最小值為_【難度】3、已知平面向量，滿足，（1）若與的夾角為，且

4、，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對于一切實(shí)數(shù)，恒成立，求與的夾角【難度】1、已知向量，滿足，則，_【難度】2、已知單位向量和滿足，則與的夾角的余弦值為_【難度】3、已知向量，滿足，其中是單位向量，則在方向上的投影為_【難度】4、若向量，則_【難度】5、非零向量，滿足，且，則與的夾角為_【難度】6、已知單位向量滿足設(shè)，則向量的夾角的余弦值為_【難度】7、已知，是三個非零向量，則下列等價推出關(guān)系成立的個數(shù)是；A1個B2個C3個D4個【難度】8、在中，分別是斜邊上的兩個三等分點(diǎn)，則A6B8C9D10【難度】9、已知，與的夾角是（1）求；（2）當(dāng)與的夾角為鈍角時，求實(shí)數(shù)的取值范圍【難度】10、設(shè)向量，滿足，且（1）求與的夾角；（2）求的大