同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第六版第四章第四節(jié)幾種特殊類型函數(shù)積分

1、幾種特殊類型函數(shù)的積分幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，并并且且00 a，00 b. 假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是真分式真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式； 利用多項(xiàng)式除法利用多項(xiàng)式除法, 假分式可以化成一個(gè)假分式可以化成一

2、個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例例1123 xxx.112 xx難點(diǎn)難點(diǎn) 將有理函數(shù)化為部分分式之和將有理函數(shù)化為部分分式之和.（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：其其中中kAAA,21都都是是常常數(shù)數(shù).特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;axA 注注關(guān)于部分分式分解關(guān)于部分分式分解如對(duì)如對(duì)kax)(1 進(jìn)行分解時(shí)進(jìn)行分解時(shí) kax)(1,)()(121axAaxAaxAkkk 一項(xiàng)也不能少，因?yàn)橥ǚ趾蠓肿由鲜且豁?xiàng)也不

3、能少，因?yàn)橥ǚ趾蠓肿由鲜谴未蔚牡?1( kx多項(xiàng)式，可得到多項(xiàng)式，可得到k個(gè)方程，定出個(gè)方程，定出k個(gè)系數(shù)，否則將個(gè)系數(shù)，否則將會(huì)得到矛盾的結(jié)果。會(huì)得到矛盾的結(jié)果。例如例如1)1(122 xCxBxAxx1)1()1(2 CxxBxAx 100BBACA 111CBA但若但若1)1(122 xBxAxx1)1(2 BxxA1, 0 AA矛盾矛盾（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是常常數(shù)數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：

4、, 1 k分解后為分解后為;2qpxxNMx 真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法待定系數(shù)法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值來確定系數(shù)代入特殊值來確定系數(shù)CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并將并將 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2例例3 3.151

5、5221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得例例4 4 求積分求積分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解例例5 5 求積分求積分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51

6、)1ln(51)21ln(522Cxxx 例例6 6 求積分求積分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(說明說明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：現(xiàn)三類情況：)1(多項(xiàng)式；多項(xiàng)式；;

7、)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 討論積分討論積分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 2,422pqa ,2MpNb 則則 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 記記, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn這三類積分均可積出這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). ., 1)1( n dxqpxxNMx2)ln(22qp

8、xxM ;2arctanCapxab 注意注意 以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對(duì)以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對(duì)一個(gè)具體問題而言，未必是最簡(jiǎn)捷的方法，應(yīng)首先一個(gè)具體問題而言，未必是最簡(jiǎn)捷的方法，應(yīng)首先考慮用其它的簡(jiǎn)便方法?？紤]用其它的簡(jiǎn)便方法。如如dxxx 132使用湊微分法比較簡(jiǎn)單使用湊微分法比較簡(jiǎn)單基本思路基本思路盡量使分母簡(jiǎn)單盡量使分母簡(jiǎn)單降冪、拆項(xiàng)、同乘等降冪、拆項(xiàng)、同乘等化部分分式，寫成分項(xiàng)積分化部分分式，寫成分項(xiàng)積分可考慮引入變量代換可考慮引入變量代換三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的

9、函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （萬能置換公式）（萬能置換公式）例例7 7 求積分求積分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211c

10、osuux ,122duudx 由萬能置換公式由萬能置換公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 例例8 8 求積分求積分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan2413

11、3Cxxxx 解（二）解（二）修改萬能置換公式修改萬能置換公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 解（三）解（三）可以不用萬能置換公式可以不用萬能置換公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cotxd .cot31cot3Cxx 結(jié)論結(jié)論 比較以上三種解法比較以上三種解法, 便知萬能置換不一定便知萬能置換不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的計(jì)算中先考故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段慮其它手段, 不得已才

12、用萬能置換不得已才用萬能置換.如如 dxxxsin1cos若用萬能代換，則若用萬能代換，則 dxxxsin1cosdtttt )1()1(12222化部分分式比較困難化部分分式比較困難但若是湊微分，則比較簡(jiǎn)單但若是湊微分，則比較簡(jiǎn)單 dxxxsin1cos)sin1(sin11xdx Cx )sin1ln(基本思路基本思路盡量使分母簡(jiǎn)單盡量使分母簡(jiǎn)單分子分母同乘，或使分母分子分母同乘，或使分母 變成一項(xiàng)等變成一項(xiàng)等盡量使盡量使xx cos,sin的冪次降低的冪次降低萬能代換萬能代換例例9 9 求積分求積分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxx

13、xxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan41Cx 討論類型討論類型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法解決方法作代換去掉根號(hào)作代換去掉根號(hào). .例例1010 求積分求積分 dxxxx11解解 txx 1令令,12txx

14、三、簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分三、簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 例例1111 求積分求積分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 說明說明 無理函數(shù)去根號(hào)時(shí)無理函數(shù)去根號(hào)時(shí), 取根指數(shù)的取根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù).例例1212 求積分求積分.1213 dxxxx解解先對(duì)分母進(jìn)行有理化先對(duì)分母進(jìn)

15、行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 例例13 dxxx342)1()1(1解一解一 dxxx342)1()1(1dxxxxx 311)1)(1(1令令311 xxt3311ttx dtttdx232)1(6 3121tx 33121ttx dxxx342)1()1(1dtttttt232233)1(6)1(41 dtt 2123Ct 123Cxx 31123解二解二 dxxx342)1()1(1dxxxx234)1(1111 令令11 xxtdxxdt2)1(2 dxxx342)1()1(1 dtt3421Ct 31