控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

1、a1封面a22-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型1、線性元件的微分方程、線性元件的微分方程2、控制系統(tǒng)微分方程的建立、控制系統(tǒng)微分方程的建立3、線性系統(tǒng)的基本特性、線性系統(tǒng)的基本特性4、線性定常微分方程的求解、線性定常微分方程的求解5、非線性微分方程的線性化、非線性微分方程的線性化a3數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入，輸出變量以及內(nèi)部各描述系統(tǒng)輸入，輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：變量的各階導(dǎo)數(shù)為：變量的各階導(dǎo)數(shù)為0。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：變量的各階導(dǎo)數(shù)不為：變量的各階導(dǎo)數(shù)不為0。 分類(lèi)分類(lèi)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模

2、型 微分方程微分方程差分方程差分方程狀態(tài)方程狀態(tài)方程傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖頻率特性頻率特性時(shí)域中常用時(shí)域中常用 頻域中用頻域中用 復(fù)數(shù)域中用復(fù)數(shù)域中用 建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法：解析法、實(shí)驗(yàn)法。：解析法、實(shí)驗(yàn)法。a4電阻、電容、電感(補(bǔ)充)RCL+)(tui(t)u(t)= i (t)R)(tui(t)i(t)=dttduC)(u(t)=C1i(t)dti(t)(tu+u(t)=Ld i (t)dti(t)=dttuL)(1+i(t)=Rtu )(1、線性元件的微分方程、線性元件的微分方程a5RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)(P21),(P21),彈簧質(zhì)量阻尼器彈簧質(zhì)量阻尼器(P22)

3、(P22) )t (u)t (Ridt)t )iCdt)t (diLi1 dt)t ( iC)t (uo1)t (u)t (udt)t (duRCdt)t (udLCiooo 22 maF牛頓定律方向見(jiàn)圖外力),t (F. 1相反方向與比彈簧恢復(fù)力與位移成正)t (x),t (kx. 2相反方向與成正比阻尼器阻力與位移速度)t (x,dt)t (dxf. 322dt)t (xda 加速度22dt)t (xdmdt)t (dxf)t (kx)t (F )t (F)t (kxdt)t (dxfdt)t (xdm 22a6電樞控制直流電機(jī)(P22)aaaaaaE)t (iRdt)t (diL)t (

4、u ：電樞回路電壓平衡方程電樞反電勢(shì)：)t (CEmea 電磁轉(zhuǎn)矩方程：)t (iC)t (Mamm ：電機(jī)軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程)t (M)t (M)t (fdt)t (dJcmmmmm 電機(jī)軸上總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 mJ系數(shù)電機(jī)軸上總的粘性摩擦 mf)t ()CCfR(dt)t (d)JRfL(dt)t (dJLmemmammamamma 22)t (MRdt)t (dML)t (uCcacaam 可得下式：忽略aL)t (MK)t (uK)t (dt)t (dTcammm21 電機(jī)的時(shí)間常數(shù) mT電機(jī)的傳遞系數(shù) 1Ka7減速器(P23)兩個(gè)嚙合齒輪的線速度相同，傳送的功率相同兩個(gè)嚙合齒輪的線速度相同，

5、傳送的功率相同2211 rr2211 MM2121ZZrr 齒數(shù)與半徑成正比12ZZi 速比為輸出的微分方程：為輸入以21 ,)t (i)t (ZZ)t (112121 a8（1） 確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量。確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量。2、 控制系統(tǒng)微分方程的建立控制系統(tǒng)微分方程的建立 一個(gè)系統(tǒng)通常是由一些環(huán)節(jié)連接而成一個(gè)系統(tǒng)通常是由一些環(huán)節(jié)連接而成的，將系統(tǒng)中的每個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程求出的，將系統(tǒng)中的每個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程求出來(lái)來(lái) ，便可求出整個(gè)系統(tǒng)的微分方程。，便可求出整個(gè)系統(tǒng)的微分方程。列寫(xiě)系統(tǒng)微分方程的一般步驟：列寫(xiě)系統(tǒng)微分方程的一般步驟： 根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，分根據(jù)各環(huán)節(jié)所

6、遵循的基本物理規(guī)律，分別列寫(xiě)出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方別列寫(xiě)出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方程組。程組。（2） 建立初始微分方程組。建立初始微分方程組。 將與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在方程式等號(hào)右將與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在方程式等號(hào)右邊，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在等號(hào)的左邊。邊，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在等號(hào)的左邊。（3）消除中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。）消除中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。a9uiR1負(fù)負(fù)載載SMTGk1k2功功放放u2u1uautcR2R1R1R+m etiuk)uu(ku:1111 運(yùn)放)udtdu(ku:11222 運(yùn)放23:ukua功放ccammmmMkukdtdT: 直流電機(jī)mi: 1齒輪系 ttk

7、u:測(cè)速發(fā)電機(jī)ccigigmMkukdtdukdtdT 負(fù)載擾動(dòng)力矩 cMa10位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理圖位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理圖(補(bǔ)充補(bǔ)充)W1負(fù)載負(fù)載W2urucu放大器放大器電機(jī)電機(jī)減速器減速器測(cè)速電機(jī)測(cè)速電機(jī)uutua操縱手柄操縱手柄r m c m m c c r r +_+_SMTGJ L fLW1W2EuutuuaRaLaifZ1Z2放大器放大器操縱手柄操縱手柄測(cè)速電機(jī)測(cè)速電機(jī)電機(jī)電機(jī)負(fù)載負(fù)載電位器對(duì)電位器對(duì)減速器減速器r r c c 方塊圖的繪制a11W1W2+_+_SMTGJ L fLEuutuuaRaLaifZ1Z2放大器放大器m c r r c )()()(maxtktEtuccc )(

8、)()(tututucr dttdktumtt)()( )()(ttkcr )()(tuktuaa )()()(22tukdttddttdTammmm )(1)(titmc )()()(maxtktEturrr 位置隨動(dòng)系統(tǒng)位置隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制結(jié)構(gòu)圖繪制)()()(tututut u操縱手柄操縱手柄W1JLfLW2uruc放大器放大器電機(jī)電機(jī)減速器減速器測(cè)速電機(jī)測(cè)速電機(jī)uutuam m c c r a123、 線性系統(tǒng)的基本特性線性系統(tǒng)的基本特性疊加性和均勻性（或齊次性）疊加性和均勻性（或齊次性） 對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)時(shí)，如果有幾對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)時(shí)，如果有幾個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)，

9、則可以將它們分別處個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)，則可以將它們分別處理，依次求出各個(gè)外作用單獨(dú)加入時(shí)系統(tǒng)的輸理，依次求出各個(gè)外作用單獨(dú)加入時(shí)系統(tǒng)的輸出，然后將它們疊加。出，然后將它們疊加。a134、線性微分方程的求解、線性微分方程的求解方法方法 解析法解析法拉普拉斯變換拉普拉斯變換步驟：步驟：1、將系統(tǒng)微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以、將系統(tǒng)微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以s為變?yōu)樽兞康拇鷶?shù)方程。量的代數(shù)方程。2、解變換方程，求出系統(tǒng)輸出變量的象函數(shù)表、解變換方程，求出系統(tǒng)輸出變量的象函數(shù)表達(dá)式。達(dá)式。3、將輸出的象函數(shù)表達(dá)式展開(kāi)成部分分式。、將輸出的象函數(shù)表達(dá)式展開(kāi)成部分分式。4、對(duì)部分分式進(jìn)行拉氏反變換，即

10、得微分方程、對(duì)部分分式進(jìn)行拉氏反變換，即得微分方程的全解。的全解。a14r(t) =(t), c(0) = c(0) = 0 + 2c (t) = r(t) +2d2c(t)dt2dc(t)dt 用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明采用拉氏變換法用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明采用拉氏變換法解線性定常微分方程的方法。解線性定常微分方程的方法。4、線性微分方程式的求解線性微分方程式的求解例例 已知系統(tǒng)的微分方程式，求系統(tǒng)的已知系統(tǒng)的微分方程式，求系統(tǒng)的 輸出響應(yīng)。輸出響應(yīng)。解：解：將方程兩邊求拉氏變換得：將方程兩邊求拉氏變換得：求拉氏反變換得：求拉氏反變換得：s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s)R(s) =

11、 1 C (s) = s2 + 2s +21=(s+1)2 + 11c(t) = e t sin ta15 輸出響應(yīng)曲線輸出響應(yīng)曲線 c(t)r(t)r(t)t0c(t)a165、非線性微分方程的線性化、非線性微分方程的線性化 絕大多數(shù)物理系統(tǒng)在參數(shù)某些范圍絕大多數(shù)物理系統(tǒng)在參數(shù)某些范圍內(nèi)呈現(xiàn)出線性特性。當(dāng)參數(shù)范圍內(nèi)呈現(xiàn)出線性特性。當(dāng)參數(shù)范圍不加限不加限制時(shí)，所有的物理系統(tǒng)都是非線性的。制時(shí)，所有的物理系統(tǒng)都是非線性的。 對(duì)每個(gè)系統(tǒng)都應(yīng)研究其線性特性和相對(duì)每個(gè)系統(tǒng)都應(yīng)研究其線性特性和相應(yīng)的線性工作范圍應(yīng)的線性工作范圍。a17線性系統(tǒng)具有疊加性和齊次性。線性系統(tǒng)具有疊加性和齊次性。 疊加性：疊加

12、性：x x1 1(t)(t)y y1 1(t)(t)x x2 2(t)(t)則則 y y2 2(t)(t)x x1 1(t)+x(t)+x2 2(t) (t) y y1 1(t)+y(t)+y2 2(t) (t) y=xy=x2 2 二階系統(tǒng)是非線性的二階系統(tǒng)是非線性的因?yàn)樗粷M足疊加性因?yàn)樗粷M足疊加性齊次性：齊次性：為常數(shù)為常數(shù) x(t)x(t)y(t)y(t)則則 x(t) x(t) y(t) y(t) y=mx+b y=mx+b 系統(tǒng)也不是線性的，因?yàn)樗粷M系統(tǒng)也不是線性的，因?yàn)樗粷M足齊次性。足齊次性。a18y=mx+b y=mx+b 對(duì)在工作點(diǎn)對(duì)在工作點(diǎn)(x(x0,0,y,y0 0

13、) )附近作小范圍變附近作小范圍變化的變量化的變量x x和和y y而言，而言，則是線性的。則是線性的。非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 設(shè)設(shè)又又 則則 x=xx=x0 0+ +x x y=yy=y0 0+ +y yy y0 0=mx=mx0 0+ +by y0 0+ +y=y=mx+b=y=mx+b =m=mx0+m+mx+b+by=my=mx x 大部分非線性系統(tǒng)在一定的條件下大部分非線性系統(tǒng)在一定的條件下可近似看成線性系統(tǒng)?？山瓶闯删€性系統(tǒng)。a19y(t)=gx(t)y(t)=gx(t)線性化：線性化：設(shè)非線性元件為設(shè)非線性元件為: :系統(tǒng)的正常工作點(diǎn)為系統(tǒng)的正常工作點(diǎn)為x x0 0 有條件地把非線

14、性數(shù)學(xué)模型近有條件地把非線性數(shù)學(xué)模型近似處理成線性數(shù)學(xué)模型。似處理成線性數(shù)學(xué)模型。 若非線性函數(shù)連續(xù)，且各階導(dǎo)數(shù)存若非線性函數(shù)連續(xù)，且各階導(dǎo)數(shù)存在，可在工作點(diǎn)附近按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)在，可在工作點(diǎn)附近按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi).=g(x=g(x0 0)+)+ +dgdgdxdxx=xx=x0 0d d2 2g gdxdx2 2x=xx=x0 0(x-x(x-x0 0) )2 22!2!x-xx-x0 01!1! 當(dāng)當(dāng)(x- xx- x0 0) )小范圍波動(dòng)時(shí)，略去高于小范圍波動(dòng)時(shí)，略去高于一次的小增量項(xiàng)，方程可簡(jiǎn)化為一次的小增量項(xiàng)，方程可簡(jiǎn)化為 ： y(t)=g(xy(t)=g(x0 0)+)+dgdgdxdx

15、x=xx=x0 0(x-x(x-x0 0) )=y=y0 0+m(x-x+m(x-x0 0) ) m為工作點(diǎn)處的斜率。最后可改寫(xiě)為工作點(diǎn)處的斜率。最后可改寫(xiě)成下列線性方程：成下列線性方程：y=m=mx x(y-y(y-y0 0)=m(x-x)=m(x-x0 0) )或或 a20非線性系統(tǒng)的線性化步驟非線性系統(tǒng)的線性化步驟1）寫(xiě)出原始方程）寫(xiě)出原始方程2）將非線性函數(shù)線性化，并將增量符號(hào)）將非線性函數(shù)線性化，并將增量符號(hào)略略去，可得非線性函數(shù)的增量線性化方程。去，可得非線性函數(shù)的增量線性化方程。3）將非線性函數(shù)的增量線性化方程代入原）將非線性函數(shù)的增量線性化方程代入原始方程。始方程。a21解：解

16、： 按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為 dh(t)dh(t)dtdth(t)h(t)+a+a=q=qi i(t)(t)Adh(t)dh(t)1 1= =q qi i(t)(t)dtdtA Ah(t)h(t)2A2A+ +a ah h0 0d d+ +dhdhh h0 0h h0 0= =h(t)h(t)h hd d2 2dhdh2 22!2!+1 1h h0 0(h-h(h-h0 0)+)+h h(h-h(h-h0 0) )2 2略去高于一次的增量項(xiàng)得略去高于一次的增量項(xiàng)得h h2 2+ +1 1h h0 0= =h h0 0h hd d+ +dhdhh h0 0h h0 0= =h(t)h(t

17、)h hy(t)=h(t)h21y(t)0 為：線性化 處處理理非非線線性性函函數(shù)數(shù)例例 將液位控制系統(tǒng)非線性微分方程線性化將液位控制系統(tǒng)非線性微分方程線性化.a22線性化處理中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：線性化處理中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）必須確定系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)各部）必須確定系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)各部 件的工作點(diǎn)，在不同的工作點(diǎn)，非件的工作點(diǎn)，在不同的工作點(diǎn)，非 線性曲線的斜率是不同的。線性曲線的斜率是不同的。（2）線性化是以直線代替曲線，略去了）線性化是以直線代替曲線，略去了 式中二階以上項(xiàng)，如果系統(tǒng)工作范式中二階以上項(xiàng)，如果系統(tǒng)工作范 圍較大，將帶來(lái)較大誤差，所以非圍較大，將帶來(lái)較大誤差，所以非 線性數(shù)學(xué)模型的線性化是有條件的。線性數(shù)學(xué)模型的線性化是有條件的。（3）對(duì)于某些典型非線