第4章隨機過程非線性變換

1、n 無惰性時不變非線性系統(tǒng)無惰性時不變非線性系統(tǒng)無惰性系統(tǒng)：無惰性系統(tǒng)：輸出輸出 Y(t) 在在 t1 時刻的特性完全由時刻的特性完全由 X(t) 在在t1 時刻的特性決定，而不取決于時刻的特性決定，而不取決于 X(t) 在其他時刻在其他時刻的特性，這樣的系統(tǒng)稱為無惰性系統(tǒng)。的特性，這樣的系統(tǒng)稱為無惰性系統(tǒng)。()()Y tg X t時不變系統(tǒng)：時不變系統(tǒng)：隨機過程的非線性變換隨機過程的非線性變換Y=g(x)X(t)Y(t)n 非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)g(x)為非線性函數(shù)為非線性函數(shù)02bbxyxy0(1)(1)平方律檢波平方律檢波n 典型的無惰性時不變非線性系統(tǒng)典型的無惰性時不變非線性系統(tǒng)隨機過程

2、的非線性變換隨機過程的非線性變換(2)(2)全波線性檢波全波線性檢波n 典型的無惰性時不變非線性系統(tǒng)典型的無惰性時不變非線性系統(tǒng)0|0 xxyxxxxy0隨機過程的非線性變換隨機過程的非線性變換(3)(3)半波線性檢波半波線性檢波n 典型的無惰性時不變非線性系統(tǒng)典型的無惰性時不變非線性系統(tǒng)0(|)/200 xxyxxxxy0隨機過程的非線性變換隨機過程的非線性變換隨機過程的非線性變換隨機過程的非線性變換n 非線性變化的分析方法非線性變化的分析方法非線性變換的直接分析法非線性變換的直接分析法非線性系統(tǒng)分析的變換法非線性系統(tǒng)分析的變換法非線性系統(tǒng)分析的級數(shù)展開法非線性系統(tǒng)分析的級數(shù)展開法Y=g(x

3、)X(t)Y(t)已知：已知：輸入的統(tǒng)計特性、系統(tǒng)的非線性變換函數(shù)輸入的統(tǒng)計特性、系統(tǒng)的非線性變換函數(shù) 求解：求解：輸出的統(tǒng)計特征。輸出的統(tǒng)計特征。方法：方法：直接根據(jù)定義求解。直接根據(jù)定義求解。 特點：特點：簡單、直觀。簡單、直觀。 非線性變換的直接分析法非線性變換的直接分析法1. 概率密度概率密度),(|),(txfJtyfXY( )yg x1122( , ) |(, ) |(, )YXXfy tJfx tJfx t11/Jdxdy22/Jdxdy單調(diào)單調(diào) ( )yg x不單調(diào)不單調(diào) 其中：其中： Y=g(x)X(t)Y(t)非線性變換的直接分析法非線性變換的直接分析法2. 均值和自相關(guān)函

4、數(shù)均值和自相關(guān)函數(shù)( ) ( )( )( , )XE Y tE g X tg x fx t dx121212121212( ) ( ) ( ) ( )( ) ()( , , )XE Y t Y tE g X tg X tg x g xfx x t t dx dx X(t)的一維概率密度的一維概率密度 X(t)的二維概率密度的二維概率密度 若輸入若輸入)(tX二階嚴(yán)平穩(wěn)二階嚴(yán)平穩(wěn))(xfX),(21xxfX則輸出則輸出廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)的。的。Y=g(x)X(t)Y(t)非線性變換的直接分析法非線性變換的直接分析法例例1：若若X(t)為零均值高斯平穩(wěn)過程，相關(guān)函數(shù)、功率譜為零均值高斯平穩(wěn)過程，相關(guān)

5、函數(shù)、功率譜密度已知，非線性系統(tǒng)傳輸特性為密度已知，非線性系統(tǒng)傳輸特性為(1) 求輸出過程求輸出過程Y(t)的一維概率密度；的一維概率密度； (2) 求求Y(t)的均值、方差、相關(guān)函數(shù)及功率譜密度；的均值、方差、相關(guān)函數(shù)及功率譜密度；2xy 非線性變換的直接分析法非線性變換的直接分析法例例2：假定全波線性檢波器的輸入為零均值平穩(wěn)正態(tài)隨假定全波線性檢波器的輸入為零均值平穩(wěn)正態(tài)隨機過程，其方差為機過程，其方差為 ，求輸出的一維概率密度和均值。，求輸出的一維概率密度和均值。20|0 xxyxxxy0非線性變換的直接分析法非線性變換的直接分析法| ( )|g xdx若非線性函數(shù)關(guān)系滿足若非線性函數(shù)關(guān)系

6、滿足( )( )j xFg x edx1( )( )2j xyg xFed若非線性函數(shù)不絕對可積，則轉(zhuǎn)移函數(shù)用拉氏變換。若非線性函數(shù)不絕對可積，則轉(zhuǎn)移函數(shù)用拉氏變換。( )( )sxF sg x edx1( )( )2jsxjyg xF s e dsj js非線性系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)非線性系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)1. 變換法的基本公式變換法的基本公式非線性系統(tǒng)分析的變換法非線性系統(tǒng)分析的變換法特征函數(shù)的定義特征函數(shù)的定義非線性系統(tǒng)分析的變換法非線性系統(tǒng)分析的變換法一維隨機變量的特征函數(shù)為( )j XXE e 121212( ,)j Xj XX XE e 二維隨機變量的特征函數(shù)為非線性系統(tǒng)分析的變換法非線性系統(tǒng)

7、分析的變換法特征函數(shù)的逆轉(zhuǎn)公式特征函數(shù)的逆轉(zhuǎn)公式1( )( )d2j xXXfxe 1 12 2121212111221( ,)( ,)d d4jxjxX XX Xfx xe 一維隨機變量二維隨機變量121212( ) () ( ) () ( )( ) ()( , )YXRE Y tY tE h X th X th x h xfx xdx dx 1 12 212121221( , )( , )4jxjxXXfx xed d 由概率密度與特征函數(shù)關(guān)系：由概率密度與特征函數(shù)關(guān)系：非線性系統(tǒng)分析的變換法非線性系統(tǒng)分析的變換法輸出的自相關(guān)函數(shù)：輸出的自相關(guān)函數(shù)：1 1221 1221212121221

8、211221221212122141414 jxjxYXjxjxXXR ( )h( x )h( x )(, )edddx dx(, )h( x )edxh( x )edx dd(, )F()F()dd如果用拉普拉斯變換表示，則為如果用拉普拉斯變換表示，則為12121221( )( )()( , )(2)YXDDRF sF ss sds dsj 非線性系統(tǒng)分析的變換法非線性系統(tǒng)分析的變換法普賴斯（普賴斯（Price）運用特征函數(shù)法，在輸入隨機過）運用特征函數(shù)法，在輸入隨機過程是高斯分布的特定條件下，將輸入端的相關(guān)函數(shù)程是高斯分布的特定條件下，將輸入端的相關(guān)函數(shù)和輸出端的相關(guān)函數(shù)聯(lián)系起來，稱為普賴

9、斯定理。和輸出端的相關(guān)函數(shù)聯(lián)系起來，稱為普賴斯定理。 12121221( )( )()( , )(2)YXDDRF sF ss sds dsj 12121221( )(, ) () ()4YXRFFdd 2. Price Price定理定理非線性系統(tǒng)分析的變換法非線性系統(tǒng)分析的變換法假定輸入為零均值平穩(wěn)正態(tài)隨機過程，輸出過程為假定輸入為零均值平穩(wěn)正態(tài)隨機過程，輸出過程為Y(t)=hX(t)，則輸出，則輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)滿足如下關(guān)系：的自相關(guān)函數(shù)滿足如下關(guān)系： ( )( )( )121212( )( )( )12( )()()( , )( )()()kkkYXkXkkdRhx hxfx x

10、dx dxdRE hX hX 2. Price Price定理定理1X( )X tt ： 在在 時刻對應(yīng)的隨機變量時刻對應(yīng)的隨機變量2X( )X tt： 在在 時刻對應(yīng)的隨機變量時刻對應(yīng)的隨機變量非線性系統(tǒng)分析的變換法非線性系統(tǒng)分析的變換法例例4 4：假定假定全波線性檢波器的輸入為零均值平穩(wěn)正態(tài)隨機過全波線性檢波器的輸入為零均值平穩(wěn)正態(tài)隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)已知，求輸出過程的自相關(guān)函數(shù)。程，其自相關(guān)函數(shù)已知，求輸出過程的自相關(guān)函數(shù)。0|0 xxzxxx 12( )() ()( )ZXd X td X tdRE h X h XEdRdX tdX t 1010d X tXXdX t 10 10P

11、X tX tP X tX t非線性系統(tǒng)分析的變換法非線性系統(tǒng)分析的變換法2012( ).yg xaa xa x1( )!kkkd h xakdx前提條件：前提條件： 可以在可以在 處用臺勞級數(shù)展開處用臺勞級數(shù)展開( )yg x0 x 2121200 112 , ( ) ( )( ) ( )YR t tE Y t Y tE aa a X t X t20122( )( )( )nnY taa X ta Xt10111( )( )( )nnY taa X ta Xt相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)：01 ( )( )( )nnE Y tE aa X ta Xt均值：均值：非線性系統(tǒng)分析的級數(shù)展開法非線性系統(tǒng)分析的級數(shù)展開法2012( ).yh xaa xa x1( )!kkkd h xakdx前提條件：前提條件： 可以在