數(shù)列的概念與簡單表示法

1、a1 國際象棋起源于古印度，關于國際象棋國際象棋起源于古印度，關于國際象棋還有一個傳說。國王獎賞發(fā)明者，問他有什還有一個傳說。國王獎賞發(fā)明者，問他有什么要求，他答道：么要求，他答道：“在棋盤第一個格放在棋盤第一個格放1顆麥顆麥粒，在第二個格放粒，在第二個格放2顆麥粒，在第三個格放顆麥粒，在第三個格放4顆麥粒，在第四個格放顆麥粒，在第四個格放8顆麥粒。以此類推，顆麥粒。以此類推，每個格子放的麥粒數(shù)是前一個格子的每個格子放的麥粒數(shù)是前一個格子的2倍，直倍，直到到64個格子。國王覺得這太容易了，就欣然個格子。國王覺得這太容易了，就欣然答應了他的要求，答應了他的要求，你認為國王能滿足他的要你認為國王能

2、滿足他的要求嗎？求嗎？新課導入新課導入a2a34，5，6，7，8，9，10 從下往上鋼管的數(shù)目有什么規(guī)律？從下往上鋼管的數(shù)目有什么規(guī)律？鋼管的總數(shù)是多少？如果增加鋼管的層數(shù)，鋼管的總數(shù)是多少？如果增加鋼管的層數(shù)，有沒有更快捷的方法求出總數(shù)？有沒有更快捷的方法求出總數(shù)？1-2-3-4-5-6-7-a415, 5, 16, 16, 28,32從從1984到到2004年金牌數(shù)年金牌數(shù) 奧奧 運運 之之 光光a5 在本章我們將學在本章我們將學習數(shù)列的知識，學完習數(shù)列的知識，學完后解決這類問題那是后解決這類問題那是小菜一碟，我們拭目小菜一碟，我們拭目以待以待。a62.1 2.1 數(shù)列的概念與簡單數(shù)列的概

3、念與簡單表示法表示法a7 教學目標教學目標 （1 1）理解數(shù)列的概念及數(shù)列的表示方）理解數(shù)列的概念及數(shù)列的表示方法（列表法、圖象法、通項公式法）法（列表法、圖象法、通項公式法）, ,能用能用函數(shù)的觀點認識數(shù)列函數(shù)的觀點認識數(shù)列; ; （2 2）了解數(shù)列的通項公式和遞推公式）了解數(shù)列的通項公式和遞推公式的意義的意義, ,會根據(jù)數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的會根據(jù)數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的任意一項任意一項 ; ; （3 3）知道遞推公式是給出數(shù)列的一種）知道遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n n項項. .a8 （1 1）培養(yǎng)觀察能力，推理能力，發(fā)

4、展）培養(yǎng)觀察能力，推理能力，發(fā)展有條理地邏輯能力；有條理地邏輯能力； （2 2）經歷探索數(shù)列的遞推公式的的過）經歷探索數(shù)列的遞推公式的的過程，體會利用遞推公式獲得數(shù)列每一項的程，體會利用遞推公式獲得數(shù)列每一項的過程過程a9（1 1）經歷和體驗數(shù)學活動的過程以及數(shù)學）經歷和體驗數(shù)學活動的過程以及數(shù)學在現(xiàn)實生活中的應用，樹立學好數(shù)學的信心；在現(xiàn)實生活中的應用，樹立學好數(shù)學的信心；（2 2）讓學生在民主、和諧的氛圍中感受）讓學生在民主、和諧的氛圍中感受學習的樂趣；學習的樂趣；（3 3）在探索求數(shù)列通項公式及其運用的）在探索求數(shù)列通項公式及其運用的過程中，培養(yǎng)一定的邏輯關系過程中，培養(yǎng)一定的邏輯關系.

5、 . a10 重點：數(shù)列的概念及數(shù)列的通項公式，重點：數(shù)列的概念及數(shù)列的通項公式，數(shù)列遞推公式的概念數(shù)列遞推公式的概念. .教學重難點教學重難點 難點：各項的特點找出規(guī)律寫出前難點：各項的特點找出規(guī)律寫出前n n項項的通項公式的通項公式. .根據(jù)遞推關系求通項公式根據(jù)遞推關系求通項公式. .a11 數(shù)列是初等數(shù)學和高等數(shù)學的一個數(shù)列是初等數(shù)學和高等數(shù)學的一個銜接點歷來是高考考察的重點，突出考銜接點歷來是高考考察的重點，突出考察考生的思維能力、邏輯推理能力及解察考生的思維能力、邏輯推理能力及解決問題的能力決問題的能力. .有關數(shù)列的試題經常在數(shù)有關數(shù)列的試題經常在數(shù)列知識、函數(shù)知識和不等式等知識

6、網絡列知識、函數(shù)知識和不等式等知識網絡的交匯點命題。學習中應注意應用的交匯點命題。學習中應注意應用“聯(lián)聯(lián)系系”的思想、從特殊到一般的思想方法，的思想、從特殊到一般的思想方法，也要掌握常用方法也要掌握常用方法a12 請觀察請觀察: :(1) 2, 3, 4, 5, 6,(2) 1，3， 32 ，33，34，(3) 0, 10, 20, 30, , 1000(5) -1, 1, -1, 1, -1, (4) .,21,32,43,54(6) 66, 56, 34, 21, 11a13 向上面的例子中，按一定次序排列的向上面的例子中，按一定次序排列的一列數(shù)叫一列數(shù)叫數(shù)列數(shù)列. . 數(shù)列中的每一個數(shù)叫

7、做這個數(shù)列的數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項項. .各項依次叫做這個數(shù)列的各項依次叫做這個數(shù)列的第第1 1項項，第第2 2項項，第第n n項項， 數(shù)列的一般形式可以寫成數(shù)列的一般形式可以寫成 a1，a2，an， 其中其中a an n是數(shù)列的第是數(shù)列的第n n項。簡記為項。簡記為an.a14數(shù)列的分類數(shù)列的分類(1)(1)按項分類：可以分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列按項分類：可以分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列. .有窮數(shù)列有窮數(shù)列: :項數(shù)有限的數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列無窮數(shù)列: :項數(shù)無限的數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列a15(2)(2)按按 的增減性分類：的增減性分類：n na a遞減數(shù)列遞減數(shù)列: :從第從第2 2

8、項起，每一項都小于它的前項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列. .擺動數(shù)列擺動數(shù)列; ;如果從第如果從第2 2項起，有些項大于它項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項，這樣的前一項，有些項小于它的前一項，這樣的數(shù)列叫擺動數(shù)列的數(shù)列叫擺動數(shù)列. .常數(shù)列常數(shù)列: :如果它的每一項都相等，這個數(shù)列如果它的每一項都相等，這個數(shù)列叫做常數(shù)列叫做常數(shù)列. .遞增數(shù)列遞增數(shù)列: :從第從第2 2項起，每一項都不小于它的項起，每一項都不小于它的 前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列. . a16 上述上述6個數(shù)列中的項與序號的關系有沒有規(guī)個數(shù)列中的項與序

9、號的關系有沒有規(guī)律？如何總結這些規(guī)律？律？如何總結這些規(guī)律？ 數(shù)列中的每一個數(shù)都對應著一個序號，反過數(shù)列中的每一個數(shù)都對應著一個序號，反過來，每個序號也都對應著一個數(shù)來，每個序號也都對應著一個數(shù).如數(shù)列（如數(shù)列（1）序號序號 1 2 3 4 5 項項 2 3 4 5 6 如果已知一個數(shù)列的通項公式，那么依次用如果已知一個數(shù)列的通項公式，那么依次用1，2，3，.代替公式中的代替公式中的n，就可以求出這個數(shù)列，就可以求出這個數(shù)列的各項的各項.a17 從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集定義域為正整數(shù)集N（或它的有限子集（或它的有限子集1，2，n）的函

10、數(shù)自變量從小到大一次取值）的函數(shù)自變量從小到大一次取值時對應的一列函數(shù)值，且數(shù)列的通項公式也時對應的一列函數(shù)值，且數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的解析式就是相應函數(shù)的解析式.數(shù)列可以用圖像來表示：（見下頁）數(shù)列可以用圖像來表示：（見下頁） a18anOn1 2 3 4 5 6 710987654321數(shù)列圖象是一些點an=n+1的圖象的圖象a19 如果數(shù)列如果數(shù)列 an 中的第中的第n項項an與與n之間的關系可以用之間的關系可以用一個公式來表示，則稱此公一個公式來表示，則稱此公式為數(shù)列的式為數(shù)列的通項公式通項公式.1 1n nn nn nS SS Sa a1 1n nn nn nS SS Sa

11、a也滿足也滿足時時，才是數(shù)列的通項公式才是數(shù)列的通項公式. .注意注意：只有當只有當a a1 1a20注意注意:有些數(shù)列的通項公式并不唯一，有些數(shù)列的通項公式并不唯一，如數(shù)列如數(shù)列(5)并不是所有的數(shù)列都有通項公式并不是所有的數(shù)列都有通項公式，如數(shù)列，如數(shù)列(6)a21 數(shù)列通項公式數(shù)列通項公式an=2n-1（n 64),只要依次用只要依次用n=1，2，3，4， 64代替公式中的代替公式中的n，就可以，就可以求出各項，也就是說，求出各項，也就是說， a1=1, a2=2=2a1 a3 =4=2a2 a64=263=2a63即：即：a1=1, an=2an-1(2n 64)遞推公式a22 向上面

12、那樣，如果已知數(shù)列向上面那樣，如果已知數(shù)列an的第的第一項（或前幾項），且任一項一項（或前幾項），且任一項 a an n與它的與它的前一項前一項a an-1n-1（或前幾項）間的關系可以用（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的個數(shù)列的遞推公式遞推公式.遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.a23題型題型1 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式列的一個通項公式 解決本類問題關鍵是觀察歸納解決本類問題關鍵是觀察歸納各項與對應的項數(shù)之間的聯(lián)系同各項與對應的項數(shù)之間的聯(lián)系同時時.要善于利

13、用我們熟知的一些基本要善于利用我們熟知的一些基本數(shù)列，建立合理的聯(lián)想，轉化而達數(shù)列，建立合理的聯(lián)想，轉化而達到問題的解決到問題的解決a24例例1 觀察下面數(shù)列的特點，用適當觀察下面數(shù)列的特點，用適當?shù)臄?shù)填空，并寫出每個數(shù)列的一個的數(shù)填空，并寫出每個數(shù)列的一個通項公式通項公式：（1） （）（）,43,32,127,125.31（2）1，2，4，8，（），（），32a25答案答案（1）括號內填）括號內填 ，通項公式為，通項公式為:an=2112n10 （2）括號內填）括號內填 16 ，通項公式為，通項公式為:an=2n-1分析分析 （1）根據(jù)觀察：分母的最小公倍數(shù)為）根據(jù)觀察：分母的最小公倍數(shù)為1

14、2，把各項都改成以把各項都改成以12為分母的分數(shù)為分母的分數(shù). （2）一看都是）一看都是2的倍數(shù)，則要分析是的倍數(shù)，則要分析是2的幾的幾次冪次冪.a26例例2(1) 3，8，15，24， -1, 3, -6, 10, 1, 0, 0, 0,(2)6，66，666，6666， 寫出下面數(shù)列的通項公式，是它們寫出下面數(shù)列的通項公式，是它們的前四項分別是下列各數(shù)：的前四項分別是下列各數(shù)：a27例例2 2解析解析: : (1) 注意觀察各項與對應序號的關系，可注意觀察各項與對應序號的關系，可以發(fā)現(xiàn)：以發(fā)現(xiàn)： 3=13， 8=24， 15=35， 24=46 所以所以an=n(n+2)。 本小題也可以與

15、數(shù)列本小題也可以與數(shù)列4，9，16， 25，(n+1)2比較，得出：比較，得出： an=(n+2)2-1=n(n+2).a28 (2) (2)各項的公共特點是負正相間。觀察各各項的公共特點是負正相間。觀察各項絕對值與對應序號關系，初看找不到規(guī)律，項絕對值與對應序號關系，初看找不到規(guī)律，可將各項絕對值試遲疑序號：可將各項絕對值試遲疑序號：11= 1 =,2223=2336= 2 =,24410=25所以：所以： nan=,21n于是于是an=(-1)n 21)n(na29 數(shù)列分子是數(shù)列分子是1，0重復變化，可看成是數(shù)重復變化，可看成是數(shù)列列1，-1，1，-1對應項和的對應項和的 組成的新數(shù)組成

16、的新數(shù)列，分母是自然數(shù)列的各項，故所給數(shù)列的列，分母是自然數(shù)列的各項，故所給數(shù)列的通項公式是通項公式是 (3) (3)所給數(shù)列可改寫為所給數(shù)列可改寫為 ,11,20,31,40,51,602n1)(1nan =a30 (4) 將題設數(shù)列與數(shù)列將題設數(shù)列與數(shù)列9，99，999，9999，99999， an=10n-1總結評述總結評述 已知一個數(shù)列的前幾項，寫出這個數(shù)列的已知一個數(shù)列的前幾項，寫出這個數(shù)列的一個通項公式時，將這個數(shù)列向我們熟悉的數(shù)一個通項公式時，將這個數(shù)列向我們熟悉的數(shù)列劃歸，是一種重要的思路列劃歸，是一種重要的思路.相比較，可得相比較，可得an= (10n-1)32a31常見數(shù)列

17、的通項公式：常見數(shù)列的通項公式：（1）-1，1，-1，1，-1，1，an= (-1)n（2）1，2，3，4，5， ，an= n（3) 2 ，4，6，8，10 ，an= 2n（4）1 ，3，5，7，9 ，an= 2n-1（5）1，4，9，16，25 ，an= n2 (6) 9，99，999，9999 ，an= 10n-1a32 此題型大致分兩類。一類是根據(jù)此題型大致分兩類。一類是根據(jù)前幾項的特點歸納猜想出的表達式。前幾項的特點歸納猜想出的表達式。然后用數(shù)學歸納法證明：另一類是將然后用數(shù)學歸納法證明：另一類是將已知遞推關系式，用代數(shù)的一些變形已知遞推關系式，用代數(shù)的一些變形技巧整理變形。然后采用累

18、加法、累技巧整理變形。然后采用累加法、累乘法、迭代法、換元法、或轉化基本乘法、迭代法、換元法、或轉化基本數(shù)列數(shù)列( (等差或差比等差或差比) )方法求算通項方法求算通項題型題型2 已知數(shù)列的遞推關系求數(shù)已知數(shù)列的遞推關系求數(shù)列的通項列的通項a33例例3 已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足下列條件，寫出它滿足下列條件，寫出它的前的前5項，并歸納出數(shù)列的一個通項公式。項，并歸納出數(shù)列的一個通項公式。a1=0，an+1=an+(2n-1)解解: a1=0，an+1=an+(2n-1) a2=a1+(21-1)=1 a3=a2+(22-1)=4a4=a3+(23-1)=9 a5=a4+(24-1)=16數(shù)列數(shù)列

19、an為：為：0，1，4，9，16，an=(n-1)2a34例例4 已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足a1=2，a2=5，a4=23，且，且an+1=Xan+Y,求實數(shù)求實數(shù)X、Y的值的值.分析：分析：通過地推公式求出通過地推公式求出a2，a4，解方，解方程組，即求出未知數(shù)程組，即求出未知數(shù)X、Y.解：解： 由已知可得由已知可得a2=Xa1+Y 即：即：5=2X+Ya3=Xa2+Y=5X+Ya4=Xa3+Y=X(5X+Y)+Y 即：即：23=5a2+Xa+Ya35聯(lián)立聯(lián)立 、得方程組得方程組2X+Y=55a2+Xa+Y=23解之得：解之得：X=2Y=1 或或X= -3Y=11a36 1 1、數(shù)列的概念

20、、數(shù)列的概念 數(shù)列是按照一定次序構成的一列數(shù)，其中數(shù)數(shù)列是按照一定次序構成的一列數(shù)，其中數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列的靈魂列中數(shù)的有序性是數(shù)列的靈魂.2 2、數(shù)列的通項公式、數(shù)列的通項公式 并非每一個數(shù)列都可以寫出通項公式；有些并非每一個數(shù)列都可以寫出通項公式；有些數(shù)列的通項公式也并非是唯一的數(shù)列的通項公式也并非是唯一的.課堂小結課堂小結 如果數(shù)列如果數(shù)列 an 中的第中的第n項項an與與n之間的關系可之間的關系可以用一個公式來表示，則稱此公式為數(shù)列的通項以用一個公式來表示，則稱此公式為數(shù)列的通項公式公式.a373 3、數(shù)列的分類、數(shù)列的分類按項分類：按項分類：有窮數(shù)列：項數(shù)有限有窮數(shù)列：項數(shù)有限無

21、窮數(shù)列：項數(shù)無限無窮數(shù)列：項數(shù)無限按按 的增減性分類：的增減性分類：na遞增數(shù)列：遞增數(shù)列：遞減數(shù)列：遞減數(shù)列：擺動數(shù)列：擺動數(shù)列：常數(shù)數(shù)列：常數(shù)數(shù)列：a38如何求數(shù)列如何求數(shù)列an的的通項公式通項公式an的最大的最大值？值？探索延拓創(chuàng)新一探索延拓創(chuàng)新一a39思路一思路一思路二思路二 數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，我們可以數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，我們可以利用函數(shù)求最值的方法去求解數(shù)列中的利用函數(shù)求最值的方法去求解數(shù)列中的最值問題最值問題.利用數(shù)列的單調性求解利用數(shù)列的單調性求解. 判斷數(shù)列的單調性往往只需要比較相判斷數(shù)列的單調性往往只需要比較相鄰兩項鄰兩項an和和an+1的大小。這一點源于函數(shù)的的大小。

22、這一點源于函數(shù)的單調性而有充分利用了數(shù)列的特殊性單調性而有充分利用了數(shù)列的特殊性.a40思路三思路三利用利用an最大的一個必要條件最大的一個必要條件 首先求得滿足條件的首先求得滿足條件的n的取值范圍，然的取值范圍，然后找出此范圍內的正整數(shù)的值，最后比較它后找出此范圍內的正整數(shù)的值，最后比較它們對應項的大小，其中最大的一項就是們對應項的大小，其中最大的一項就是an的的最大值最大值.anan-1anan+1求解求解.a41數(shù)列的通項公式數(shù)列的通項公式an與前與前n項和公項和公式式sn探索延拓創(chuàng)新二探索延拓創(chuàng)新二a42an =S1 ， n=1Sn-Sn-1 ， n 2an 與前與前n項和項和Sn之間

23、的關系式為：之間的關系式為：值得注意的是，值得注意的是， 由前由前n項和項和sn求通項公式求通項公式an=f(n)時，要時，要n=1與與n 2兩種情況分別進行運算，然后驗兩種情況分別進行運算，然后驗證兩種情況可否用統(tǒng)一式子表示。若不能，證兩種情況可否用統(tǒng)一式子表示。若不能，就用分段函數(shù)表示就用分段函數(shù)表示.a43探索延拓創(chuàng)新三探索延拓創(chuàng)新三斐波那契數(shù)列指的是這樣一個斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列數(shù)列： 1、1、2、3、5、8、13、21、 “斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列”的發(fā)明者，是的發(fā)明者，是意大利意大利數(shù)學家數(shù)學家列昂納多列昂納多斐波那契斐波那契（Leonardo Leonardo Fibon

24、acciFibonacci，生于公元，生于公元11701170年，卒于年，卒于12401240年，年，籍貫大概是籍貫大概是比薩比薩）. . a44 有趣的是：這樣一個完全是有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)自然數(shù)的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表達的達的. . 這個數(shù)列從第三項開始，每一項都這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和等于前兩項之和. .它的它的通項公式通項公式為：為：(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n（又（又叫叫“比內公式比內公式”，是用無理數(shù)表示有理，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例數(shù)的一個范例. .）（）（5表示根號表示根號5）a45隨堂練習隨堂練習 一、根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一一、根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列