多種思維方法解題

1、比的應用知識鏈接：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比，還可以用分數(shù)表示。比與分數(shù)，除法其實是一回事，但各有用處，所以比與分數(shù)能夠互相轉(zhuǎn)化。按比例分配的關(guān)鍵是根據(jù)題中所給的比轉(zhuǎn)化成求一個數(shù)的幾分之幾來做。例1、要配制混凝土1160噸，其中水泥和沙子的比是5:8，沙子和石子的比是1:2，問需要水泥、沙子、石子各多少噸？分析：已知水泥和沙子的比是5:8，沙子和石子的比是1:2，可得水泥、沙子和石子重量的比是5:8:16。把三部分的比轉(zhuǎn)化成部分占整體的幾分之幾用分數(shù)解答；或把水泥看做5份，沙子看做8份，石子看做16份，那么共有29份與1160噸對應，從而求出1份，再求5份、8份、16份。方法一：水泥的重量：1

2、160=200（噸）沙子的重量：1160=320（噸）石子的重量：1160=640（噸）方法二：1160（5+8+16）=40（噸）405=200（噸）408=320（噸）4016=640（噸）答：需要水泥、沙子、石子各200噸、320噸、640噸。練一練：1、甲、乙、丙三包糖共重360克，甲乙兩包的重量比是1:2，乙丙兩包的重量比是2:3，甲乙丙三包各重多少克？2、光明小學五年級共有學生140人，分成三個小組進行植樹活動，已知第一小組人數(shù)與第二小組人數(shù)的比是2:3，第三小組人數(shù)和第二小組人數(shù)的比是5: 4，這三個小組各有多少人？3、小學六年級的學生共參加了三類興趣活動，其中科技組和美術(shù)組的人

3、數(shù)比是5:4，美術(shù)組和數(shù)學組的人數(shù)比是3:2，已知科技組人數(shù)比美術(shù)組和數(shù)學組的總?cè)藬?shù)少15人，六年級共有多少人參加興趣活動？4、植樹節(jié)開展植樹活動，第一天與第二天植樹棵數(shù)的比是5:6，第二天與第三天植樹棵數(shù)的比是3:2，這3天平均每天植樹50棵，三天每天各植樹多少棵？5、圖書室取出一批書，按照一年級得1/2，二年級得1/3，三年級得1/7分配，正好是41本，各年級得多少本？例2、淘氣和笑笑原有郵票的比是7:5，如果淘氣給笑笑26張，淘氣和笑笑的郵票張數(shù)的比就是3:4，原來各有多少張？分析：這類題關(guān)鍵是找到不變化的量，雖然淘氣和笑笑的郵票都在變化，可是淘氣和笑笑的郵票總數(shù)不變。有淘氣和笑笑原有郵

4、票的比是7:5，可知原來淘氣的郵票數(shù)占兩人郵票總數(shù)的，由于淘氣給了笑笑26張，這是淘氣的郵票占兩人郵票總數(shù)的，淘氣給笑笑的26張相當于兩人郵票總數(shù)的（-）。兩人共有郵票數(shù)：26（-）=168（張）淘氣原有郵票數(shù)：168=98（張）笑笑原有郵票數(shù)：168-98=70（張）答：原來淘氣有98張，笑笑有70張。練一練：1、小明讀一本書，已讀的和未讀的頁數(shù)比是1:5。如果再讀30頁，這已讀和未讀的頁數(shù)比為3:5。這本書共有多少頁？2、甲乙兩包糖的重量比是4:1。從甲包取出130克放入乙包，甲乙兩包糖的重量比為7:5.原來甲包有多少克糖？3、有一種合金，銅與鋅的比是2:5，加入52克銅后，新合金中銅鋅的

5、比是2:3，原來的合金中銅、鋅各多少克？4、六二班原有女生人數(shù)與男生人數(shù)的比是2:3，新學期又轉(zhuǎn)來2個女生，這時女生和男生的人數(shù)比變?yōu)?:5，六年級現(xiàn)在共有多少人？比例知識鏈接：表示兩個比相等的式子叫做比例，比例反映了量與量之間的比例關(guān)系。使我們能以新的方法解決實際問題，同時有利于溝通、綜合各類知識。解答正反比例的關(guān)鍵是找出相關(guān)聯(lián)的量，判斷成什么比例，建立比例式。例1、一間教室，如果用邊長0.3米的方磚鋪地，需要800塊，如果改用邊長為0.4米方磚，需要多少塊？分析：用比例解決實際問題，關(guān)鍵是根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系判斷相關(guān)聯(lián)的兩個量是積一定，還是商一定，即判斷他們成什么比例。教室的面積一定，方磚

6、的面積和塊數(shù)成反比例。解：設需要X塊。0.40.4X= 0.30.38000.16X=72 X=720.16 X=450答：需要450塊。練一練：1、某專業(yè)戶收一批梨，每筐裝30千克，要70筐，如果每筐裝35千克，需要裝多少筐？2、桃源小學組織隊員到操場上做操，如果每行站15人，正好站16行，如果每行站24人，可以站多少行？3、一段公路，每天修300米，15天可以修完，如果每天多修50米，幾天可以修完？4、莉莉要買一些圣誕卡，由于圣誕卡減價20%，用同樣多的錢她可以多買6張，莉莉原來可以買多少張？例2、一輛汽車上午行了4小時，共行300千米，下午又以同樣的速度行了3小時，這一天共行多少千米？分

7、析：汽車行駛的速度不變，行駛的路程和時間成正比例。解：設一天共行X千米。300：4=X：（4+3）4X=300（4+3）4X=2100 X=21004X=525答：這一天共行了525千米。練一練：1、生產(chǎn)一批零件，前6天生產(chǎn)了1800個。照這樣的速度，余下的3天就能完成，這批零件共有多少個？2、100千克大豆能榨豆油40千克，325千克大豆能榨豆油多少千克？3、在游樂場要用同樣的地磚鋪一塊休息區(qū)，鋪9平方米，要用314塊地磚，如果鋪36平方米，需要多少塊地磚？4、20克糖能配500克糖水，配制同樣濃度的糖水，30克糖需要水多少克？5、一個曬鹽場用100克海水可以曬出3克鹽，如果一塊鹽田一次放入

8、60000噸海水，可以曬出多少噸鹽？常用解題方法圖解法知識鏈接：圖解法是解答較復雜的應用題常見的方法，它的主要作用在于使問題的內(nèi)容具體化、形象化，幫助我們理解題意，明確數(shù)量關(guān)系。它常常與其他方法結(jié)合起來使用，從而達到正確解題的目的。例1 A、B、C、D、E五人參加象棋比賽，每兩個人之間都要賽一場。已知A賽了4場，B賽了3場、C賽了2場，D賽了1場，那么E賽了幾場？分別和誰賽的？分析： 由“A、B、C、D、E五人參加象棋比賽，每兩個人之間都要賽一場?！敝阂还惨?32110場，但具體怎么賽的并不清楚，所以我們可以畫圖幫助理解。如下圖： 解答 ：由圖知，E賽了2場，分別是和A、B賽的。例2某旅游

9、團參觀A、B、C、D四個城市。他們第一天參觀A市，以后每一天到另一個城市，最后一天回到A城市，他們有幾種不同的參觀方法？分析： 這是一道枚舉題。我們可以先把所有情況一一列舉出來。如下：，我們還可以畫如下圖幫助思考： 解答：一共有六種不同的參觀方法。練一練：1、A,B兩輛汽車同時從甲、乙兩站相對開出，第一次相遇距甲站32千米，相遇后兩車仍以原速度繼續(xù)前進，并且到達對方站后立即返回，兩車又在相距甲站64千米處相遇。甲、乙兩站相距多少千米？2、有兩條紙帶，一條長21厘米，一條長13厘米，把兩條紙帶都剪下同樣長的一段后，發(fā)現(xiàn)長紙帶剩下的是短紙帶剩下的長度的2倍，問剪下的一段有多長？3、工廠派車準時從工

10、廠到總工程師家接總工程師來廠上班。一天總工程師提前1小時步行去廠，結(jié)果在去工廠的路上，遇到工廠派來的車，因此比平時提早10分鐘到廠，求車子速度是總工程師步行的多少倍？常用解題方法假設法 知識鏈接： 假設法是在解題過程中一個條件先假設成有關(guān)的另一個條件，或用一種量轉(zhuǎn)換成另一種量，并進行適當?shù)恼{(diào)整，從而求出答案。假設法最常見的是用在“雞兔同籠”的問題上，如下：例1、雞兔同籠，共有頭158只，足468只。求雞兔各有多少只？分析 ： 假設籠里全是雞，則有足2158=316（只），和實際足數(shù)相比，少了468-316=152（只），將一只兔子換成一只雞，就會少算（4-2）只足，因為152（4-2）=76（

11、只）所以籠里共有兔子76只，那么雞的只數(shù)也就可以求了。解答 ： （468-2158）（4-2）=76（只）158-76=82（只），答：兔子有76只，雞有82只。例2、學校買來3元、4元和5元的電影票共400張，用去1560元，其中4元和5元的張數(shù)一樣多。每種票各買了多少張？分析 ： 由于4元和5元的張數(shù)一樣多，我們可以將它們合并為一種票。假設這400張票全是3元的，則一共用了3400=1200（元），與1560元相差1560-1200=360（元）,原因是把4元和5元都看成3元，要補足這360元，就要拿1張4元和1張5元的票換2張3元的票，這樣張數(shù)沒變，而票價加了4533=3(元)。所以4元

12、、5元的票各有3603=120（張），3元的票有400120120=160（張）。練一練：1、小青有2分和5分硬幣共20個，共70分，那么其中5分硬幣有幾個?2、某廠做盒子，原計劃做1200個，由于實際每小時做的是計劃的1.2倍，提前4小時完成了任務。原計劃幾小時完成任務？3、 蜘蛛有8條腿，蜻蜓有六條腿兩對翅膀，蟬有六條腿，一對翅膀，現(xiàn)在有這三種動物47只，共有腿324條，翅膀37對，問這三種動物各有幾只？常用解題方法倒推法知識鏈接： 解題時從最后結(jié)果出發(fā)，運用加與減、乘與除之間的互逆關(guān)系從后到前一步一步推算的方法叫做倒推法。當順著思考比較困難是，我們用倒推法反而易于解決問題。例1、食堂有煤

13、若干噸。第一次用了存煤的一半，第二次用了噸，第三次又用了剩下煤的一半又噸，結(jié)果還剩下噸。食堂原有煤多少噸？分析：一般思路我們這樣理解，設食堂原有煤噸，根據(jù)條件列出方程：-(-)-=，然后解出方程就可以了。但顯然這個方程比較繁瑣。這道題我們可以從后往前思考，剩下的噸是第二次剩下用去一半又噸后的量，所以求出第二次用后剩下（）（噸），（噸），這噸煤是第一次用后剩下的量，正好是全部煤的一半，所以總共有煤（噸）。解答（600+50）2+4502=3500（噸），答：（略）。例2、 修一條路，第一天修了這條路的12還多2千米，第二天修了余下的13少1千米，第三天修了余下的14還多1千米，這樣還剩下20千米

14、沒有修完，求這條路的長度。分析： 因為“第三天修了余下的14還多1千米”，所以（20+1）正好是第二天余下的（1-14），即21（1-14）=28(千米)；因為“第二天修了余下的13少1千米”，那么剩下（28-1）（1-13）=40.5（千米）；又因為“第一天修了這條路的12還多2千米”，那么（40.5+2）正好是全長的一半，由此可以求出全長了。解答（20+1）（1-14）-1（1-13）+212=85(千米)，答：（略）。練一練：1、甲乙丙分一些蘋果。甲分到全部的13又8個，乙分到甲分完后剩下的13又8個，丙分到甲乙兩人分后剩下的13又8個，正好分完，原來一共有多少蘋果？2、三個人吃一些桃子

15、。甲先吃了13，乙吃了剩下的13，丙吃了甲乙吃剩下的14，最后還剩下6只桃子。那么原來一共有多少只桃子？3、工地運來兩車水泥，第一次用去一半又半噸，第二次用去余下的一半又半噸，第三次用去最后剩下的一半又半噸。正好用完。這兩車水泥一共有多少噸？4、一個籃子里有一些雞蛋，小明從中拿出一半又放進去一個，第二次又從中拿出一半又放進去一個，第三次又從中拿出一半又放進去一個，此時還剩下2個雞蛋，原來這個籃子中有多少個雞蛋？5、一個籃子里有一些蘋果，張大爺從中拿出一半又半個，第二次又拿出余下的一半又半個，第三次又拿出第二次余下的一半又半個，第四次又拿出第三次余下的一半又半個。這時蘋果都拿完了。原來這個籃子中

16、有多少個蘋果？常用解題方法-對應法知識鏈接： 對應的思想方法是解題時經(jīng)常用到的一種思考方法，所謂“對應”就是在兩類事物之間建立某種聯(lián)系，以實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化。如：在分數(shù)、百分數(shù)應用題中的“量”和“率”要對應。例1甲、乙兩車速度比是3：4，兩車分別從兩地相向而行，在離中點6千米處相遇，求兩地相距多少千米？思路點撥：由“甲、乙兩車速度比是3：4”可知相同時間內(nèi)所行路程的比是3：4，所以相遇時甲乙所行路程比也是3：4，甲行了全程的334，乙行了全程的434，兩者相差434334，正好對應著6612（千米）。找到分率與具體數(shù)量之間的對應關(guān)系，就可求出兩地的距離了。解答 （66）（434334）84（

17、千米）答 ： 兩地相距84千米。例2 有兩只桶裝油44千克，若第一桶里倒出15，第二桶里倒進2.8千克，則兩桶內(nèi)的油相等。原來每只桶里裝油多少千克？思路點撥 把第一桶油看作單位“1”，若第一桶油倒出15，第二桶里倒進2.8千克，則兩桶內(nèi)的油相等。也就是第二桶里倒進2.8千克后，那么第二桶油相當于第一桶的（115），那么（442.8）對應著1（115）。這樣用除法就可以求出第一桶內(nèi)裝有多少千克油了。解答 （442.8）【1（115）】26（千克），442618（千克），答：第一桶原有油26千克，第二桶原有油18千克.例3 小明看一本書，第一天看的頁數(shù)比總頁數(shù)的18多16頁，第二天看的頁數(shù)比總頁數(shù)

18、的16少2頁，還余下88頁。這本書共有多少頁？思路點撥 18，16都是對“總頁數(shù)”來講的，所求的數(shù)量是“總頁數(shù)”被看作“1”，而（11816）的對應數(shù)量是（88216）頁。解答 （88216）（11816）144（頁）答：這本書共有144頁。練一練：1、 一個兩層的書架上，上層放的書是下層的3倍，如果把上層的書搬60本到下層，則兩層的書相等。原來上下層的書各有多少本? 2、一本書，已經(jīng)看了130頁，剩下的準備8天內(nèi)看完，如果每天看的頁數(shù)相等，3天看的頁數(shù)恰好是全書的522 .這本書共有多少頁?3、 小紅看一本書，看了3天，剩下66頁。如果用這樣的速度看4天，就剩下全書的25.這本書有多少頁？4

19、 、班長清點手榴彈發(fā)現(xiàn)，如果每人分5顆還剩下18顆，如果有兩人各分4顆，其余各分6顆，就恰好分完。這個班有多少名戰(zhàn)士？5、學校分配學生宿舍，若每個房間住6人，則有34人沒有床位，若每個房間住8人，則空4個房間。問學生宿舍有多少間？6 、四位同學去種小樹，第一位同學種的樹是其他同學種樹總數(shù)的一半，第二位同學種的樹是其他同學種樹總數(shù)的13，第三位同學種的樹是其他同學種樹總數(shù)的14，則第四位同學剛好種了13棵，問四位同學共種了多少棵樹？常用解題方法綜合分析法知識鏈接：綜合法是從問題的條件出發(fā)，推導出結(jié)果；分析法是從問題到條件的分析方法。解題時，應尋找條件與問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到簡潔的方法，解題時要

20、根據(jù)題目的具體情況，靈活地運用多種方法思考。例1某商場2007年底統(tǒng)計顯示，電腦每月銷售量平均增長20%，12月份銷售了120臺。按此速度下去，預計2008年3月份比1月份多銷售多少臺？分析：由“2007年12月的銷售量120臺”和“每月銷售量平均增長20%”，可以求出2008年1月份的銷售量，由2008年1月份的銷售量和“每月銷售量平均增長20%”可以求出2月份的銷售量，同樣可以求出3月份的銷售量，最后用2008年3月份的銷售量減去1月份的銷售量即可求解。解答 2008年1月份的銷售量：120(120%)=144(臺)，2008年2月份銷售量：144(120%)=1728（臺）；08年3月份

21、的銷售量；1728(120%)=20736(臺)，207.36-144=63.36（臺）。答：預計2008年3月份比1月份多銷售63.36臺。例2一輛火車的速度為121千米每小時，現(xiàn)有一塊每4小時慢2分鐘的表。若用這塊表計時，這輛火車的速度是多少？分析： 思路分析：要求“這輛火車的速度是多少”，必須用火車標準時間每小時121千米除以標準時間1小時相當于該表的小時數(shù)；而要求標準時間1小時相當于該表的小時數(shù)，必須先求出該表每小時比標準時間要慢的小時數(shù)。解答 121（1+264）=120（千米），答:如用這塊表計時，這輛火車的速度是120千米每時 。例3一位少年短跑選手，順風跑90米用了10秒鐘.在

22、同樣的風速下，逆風跑70米，也用了10秒鐘.問：在無風的時候，他跑100米要用多少秒？分析：順風跑的速度等于無風時速度與風速之和，逆風跑時的速度等于他們的差。由“順風跑90米用了10秒鐘”，可求出順風時的速度，根據(jù)“逆風跑70米，也用了10秒鐘.”可求出逆風跑的速度，再根據(jù)和差原理求出無風時的速度。解答： 90109（米） 70107（米） （ 97）28（米），100812.5（秒）答：無風時，他跑100米要用12.5秒。練一練：1. 分析法實質(zhì)上是根據(jù)問題找條件，說說要求出下面的問題必須知道哪些條件？（1） 一共用了多少元？（2） 這五個人平均身高是多少米？2. 一位少年短跑選手，順風跑9

23、0米用了9秒鐘.在同樣的風速下，逆風跑80米，用了10秒鐘.問：在無風的時候，他跑135米要用多少秒？3.一輛車以100千米每小時的速度，從甲地開往乙地，又用60千米每小時從乙地開往甲地，求這輛汽車往返的平均速度。4、祖父、兒子、孫子三人的年齡加在一起正好是100歲，祖父的年數(shù)正好是孫子的月數(shù)，兒子過的星期數(shù)正好等于孫子過的天數(shù)，問：祖父、兒子、孫子各多少歲？5. 龜兔賽跑，全程5.2千米。兔子每小時跑20千米，烏龜每小時跑3千米。烏龜不停地跑，但兔子邊跑邊玩，他先跑1分鐘后玩15分鐘，再跑2分鐘后玩15分鐘，再跑3分鐘后玩15分鐘那么先到達終點的比后到達終點的快多少分鐘？根據(jù)容斥原理解決稍復

24、雜的百分數(shù)應用題例 五年級同學訂閱中國少年報和作文輔導報這兩種報紙。訂閱報紙的人數(shù)占年級總?cè)藬?shù)的40%。訂閱中國少年報的人數(shù)占訂閱人數(shù)的40%，訂閱作文輔導報的人數(shù)占訂閱人數(shù)的，兩種報紙都 訂閱的有15人。五年級共有多少人？ 分析 把訂閱報紙的人數(shù)看作單位 “1”，訂閱中國少年報的人數(shù)占訂閱人數(shù)的40%，訂閱作文輔導報的人數(shù)占訂閱人數(shù)的（即75%），訂閱兩種報紙的人數(shù)和所占的百分率為40%+=115%，超過“l(fā)”，是因為有15人被統(tǒng)計了兩次。即15人相當于訂閱人數(shù)（單位“1”）的40%+ l，先求出訂閱報紙的人數(shù)，再求五年級的總?cè)藬?shù)。 解答 15（40%+l） =1515% =l00(人) 1

25、0040%=250(人) 答：五年級共有250人。方法提示客斥原理：如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么A類、B類元素個數(shù)的總和=屬于A類元素的個數(shù)+屬于B類元素的個數(shù)即是A類又是B類元素的個數(shù)?？偨Y(jié)應用客斥原理解題，就是先把各種情況都包含進來，加在一起，再“排除”重復的部分，即減去重復的數(shù)。巧用路程比解決行程問題 例 甲、乙、丙三人進行200米賽跑（他們的速度保持不變），甲到終點時，乙還差20米，丙離終點還有25米，問乙到終點時，丙還差幾米。分析 在時間一定的情況下，路程比等于速度比。乙、丙速度不變，那么速度比不變，路程比也不變。設乙跑20米的時間，丙跑X米，根據(jù)“路程比等于速度比”可列出比例

26、(200-20)：（200-25）=20：X，求出X的結(jié)果，然后用丙距離終點的路程25米減去X米就可求出丙距終點還差幾米。解答 解：設乙跑20米的時間，丙跑X米。(200 - 20 )：(200 - 25) =20：X (200 - 20)X =(200 - 25)20 180X=3500 X=19 25-19=5（米）答：乙到終點時，丙還差5米。提示 在時間一定的情況下，路程比等于速度比。重點提示直接求丙還差的距離難度較高，可先求出乙跑完20米后丙跑的距離，使問題簡化。用等積變形法解決稍復雜的體積問題 例 將一個底面半徑為20厘米、高為27厘米的圓錐形鋁材和一個底面半徑為30厘米、高為20厘

27、米的圓柱形鋁材熔鑄成一個底面半徑為15厘米的圓柱形鋁材，求這個圓柱形鋁材的高。分析 把兩個物體熔鑄成一個物體，雖然形狀發(fā)生了改變，但總體積不變，所以可先求出兩個物體的體積和，再除以新圓柱的底面積，就求出這個新圓柱形鋁材的高。 方法提示 在計算時，如果最后可以約掉，可暫時不參與運算，中間的結(jié)果用含有的式子表示。 解答 V=h= 20 27=3600（） V=h=3020= 18000（） (3600+18000)(15) =96(厘米) 答：這個圓柱形鋁材的高為96厘米。 提示 這是一道“等積變形”題，變化前的圓錐和圓柱的體積和等于變化后的圓柱的體積，掌握這一等量關(guān)系才能正確解答問題。用等量代換

28、法解決體積問題 例 如下圖所示，一個高為15厘米，容積為300毫升的圓柱形容器里裝滿了水。當把一個長5厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體鉛塊放入水中時，容器中有一部分水溢出，當把鉛塊取出后，容器中的水有多高？分析 思路一 溢出的水的體積等于鉛塊的體積，求出溢出的水在容器中的高度，用容器中原有水的高度減去溢出的水在容器中的高度，就是取出鉛塊后容器中水的高度。思路二 把長方體鉛塊放入水中，溢出水后容器中水的體積與鉛塊的體積和正好是300，由此可列出等量關(guān)系式V+V=300。水的底面積可用30015求出，設容器中水的高度為x厘米，可列方程求解。解答 方法一 300毫升=300容器的底面積：30015=

29、20（）鉛塊的體積：543 =60（）溢出的水在容器中的高度：6020=3（厘米）取出鉛塊后容器中水的高度：15-3=12（厘米）方法二 解:設容器中的水有x厘米高。543+(30015) x =300 60+20x=300 x=12 答：容器中的水有12厘米高。提示解此類題的關(guān)鍵是確定體積相等的物體，從體積相等中推算出另一個物體的高或底面積，以及其他變化的量。用對應法解決行程問題例 下面是甲、乙兩輛摩托車的行程圖。(1)甲車半小時可以行駛多少千米？(2)照這樣的速度，乙車5小時可以行駛多少千米？分析 先確定圖象上的時間，然后找出與時間對應的路程；用路程除以對應的時間，求出速度；再根據(jù)要求分別

30、求出甲車半小時和乙車5小時行駛的路程。解答 (1)60=45（千米時）452=22.5（千米）(2) 60=36（千米時）365=180（千米） 答：甲車半小時可以行駛22.5千米，乙車5小時可以行駛180千米。提示 用圖象中的路程除以對應的時間是解答此題的關(guān)鍵。用分類討論法解決儲蓄問題 例 陳陽有2000元，打算存人銀行兩年?，F(xiàn)有兩種儲蓄方法：第一種是直接存兩年，年利率是3.75%；第二種是先存一年，年利率是3. 00%，第一年到期時再把本金和利息合在一起，再存一年。選擇哪種儲蓄方法得到的利息多一些？ 分析 先把兩種儲蓄方法所得的利息算出來，再進行比較。根據(jù)“利息=本金利率存期”計算。存款利

31、率要和存款時間相對應。 解答 第一種儲蓄方法：20003. 75%2=150（元） 第二種儲蓄方法：20003. 00%1=60（元） (2000+60)3.00%1=61.8（元） 60+61. 8=121.8（元） 150121.8 答：選擇第一種儲蓄方法得到的利息多一些。 總結(jié) 在累計存期相同的情況下，一次性存款比其他存款方式所獲得的利息要多一些。用分析法解決“塞空洞”問題 例2 將下面的物體作為塞子，既能塞住甲圖中的空洞，又能塞住乙圖中的空洞的是( )。分析 此題重點要考慮立體圖形的截面能否與空洞形狀相吻合，研究的是面與面之間的關(guān)系。因為B圖從上往下看（俯視圖）是圓，從正面看（主視圖）

32、或從側(cè)面看（左、右視圖）是三角形，所以B圖符合條件。 解答 B 提示 從不同的角度觀察物體，所看到的物體的形狀一般是不同的。用觀察法解決有關(guān)圓錐的問題 下圖是一個圓錐形學具，在透明的玻璃方桌上從哪個角度觀察這個學具，可以得到下面的圖、圖和圖？分析 從三個方向觀察，列表如下： 解答 從底面觀察，可以得到圖；從側(cè)面觀察，可以得到圖；從上面觀察，可以得到圖。 總結(jié) 從側(cè)面、上面和底面觀察圓錐，所看到的圖形各不相同。用逆推法解決鴿巢問題 例 把25個玻璃球最多放進幾個盒子里，才能保證至少有一個盒子里有5個玻璃球？ 分析 把盒子數(shù)看成鴿巢數(shù)，要使其中一個鴿巢里至少有5個玻璃球，則玻璃球的個數(shù)至少要比鴿巢

33、數(shù)的(5-1)倍多1個，而(25-1)(5-1)6，所以最多放進6個盒子里，才能保證至少有一個盒子里有5個玻璃球。 解答 最多放進6個盒子里，才能保證至少有一個盒子里有5個玻璃球。 總結(jié) (分放的物體總數(shù)-1)(其中一個鴿巢里至少有的物體個數(shù)-1)ab(ba)，則a就是所求的鴿巢數(shù)。用設數(shù)法解決生活中的實際問題 例 “十一”黃金周期間，A，B兩家旅行社推出“家庭游”優(yōu)惠活動，兩家旅行社原來的標價相同，優(yōu)惠辦法如下： A旅行社：成人全價，兒童五折； B旅行社：成人、兒童一律八五折。 (1)童童和爸爸、媽媽一家三口去旅游，選擇哪家旅行社比較便宜？ (2)樂樂一家三口、貝貝一家四口共7人（5個大人、

34、2個小孩）去旅游，選擇哪家旅行社比較便宜？ 分析 要想知道選擇哪家旅行社比較便宜，應看在哪家旅行社花錢少。兩家旅行社原來的標價相同，在計算時可以先設兩家旅行社原來的標價為a元或除0以外的任意一個數(shù)，分別計算出旅行社優(yōu)惠后應花的錢數(shù)，再比較大小。 解答 設兩家旅行社原來的標價為a元。 (1)童童一家： A旅行社：2a+50%a=2. 5a B旅行社：a85%3=2. 55a 2.5a5. 95a 答：童童一家選擇A旅行社比較便宜，樂樂、貝貝兩家選擇B旅行社比較便宜。 提示 解決此類問題時，對于沒有給出的總量，可以設一個數(shù)來代替。用設數(shù)法判斷兩個量是否成正比例 例 圓的面積和半徑成正比例嗎？分析

35、解答此題可以設圓的半徑為一個數(shù)，然后求出圓的面積與半徑的比值，如果這個比值是一個不變的數(shù)，這兩個量就成正比例，否則就不成正比例。解答 圓的面積和半徑不成正比例。提示 判斷與固有關(guān)的兩個量是否成正比例，可以用設數(shù)法來解答。用設數(shù)法探究速度比與時間比之間的關(guān)系 甲、乙兩人同時從學校步行到少年宮，如果兩人的速度比是2：3，那么甲、乙兩人從學校到少年官的速度比與時間比有什么關(guān)系？分析 題中沒有給出學校和少年宮之間的路程，可以把這個路程假設為一個具體的數(shù)，然后通過計算發(fā)現(xiàn)速度比與時間比之間的關(guān)系。 假設學校和少年宮之間的路程為120。 甲走完全程的時間：1202=60; 乙走完全程的時間：1203=40

36、; 甲、乙兩人走完全程的時間比：60：40=3：2。發(fā)現(xiàn)：走同一段路程，速度比等于時間比的反比。解答 甲、乙兩人從學校到少年官的速度比等于時間比的反比?？偨Y(jié) 如果兩個人走同一段路程，則速度比等于時間比的反比；如果兩個人行走的時間相同，則速度比等于路程比。用圖示法解決復雜的有關(guān)圓錐體積的問題 例 一個底面直徑是12 cm的圓錐形木塊，把它分成形狀、大小完全相同的兩個木塊后，表面積比原來增加了120 cm2，這個圓錐形木塊的體積是多少？ 分析 把圓錐形木塊分成形狀、大小完全相同的兩塊后，多了兩個以底面直徑為底邊、以圓錐的高為高的等腰三角形的面。先求出一個三角形的面積，再根據(jù)公式h=2Sd求出圓錐形

37、木塊的高。已知圓錐形木塊的底面直徑和高，可求出它的體積。 解答 1202=60( cm2) 圓錐形木塊的高：60212=10(cm) 圓錐形木塊的體積：3. 14（）210 =3. 143610 =376. 8(cm3) 答：這個圓錐形木塊的體積是376.8 cm3。 提示 當把一個圓錐分成形狀、大小完全相同的兩份時，多出兩個等腰三角形的面，三角形的底和高分別是圓錐的底面直徑和高。用圖示法解決稍復雜的有關(guān)圓柱表面積的問題 例 工人師傅要在一個零件（如下圖）的表面涂一層防銹材料。這個零件是由兩個圓柱構(gòu)成的，小圓柱的直徑是4 cm，高是2 cm；大圓柱的直徑是6 cm，高是5 cm。這個零件上涂防

38、銹材料的面積是多少？分析 求涂防銹材料的面積就是求這個零件的表面積。從上面看這個零件，看到的形狀如左下圖所示；從下面看這個零件，看到的形狀如右下圖所示。 由此可知這個零件上下兩個底面的面積相等。這個零件的表面積可以看作是“大圓柱的底面積的2倍+兩個圓柱的側(cè)面積之和”。解答 3. 14(62)z2+3. 1442+3. 1465 =56. 52+25. 12+94.2 =175. 84(cm2) 答：這個零件上涂防銹材料的面積是175. 84cm2。提示 利用圖示法，發(fā)現(xiàn)零件上下兩個底面的面積相等是解答本題的關(guān)鍵。用圖示法解決有關(guān)圓柱體積的問題如下圖所示，王老師用紙板做了一個學具，你能計算出它的

39、體積嗎？分析 這是一個不規(guī)則的立體圖形，不能用公式直接計算。可以把兩個完全一樣的學具拼成一個圓柱，這樣用圓柱的體積除以2就能求出學具的體積。如下圖： 解答 3. 14(162) 2(24+26)2 =3. 1464502 =5024(cm3) 答：它的體積是5024 cm3。 提示 解答此題的關(guān)鍵是把兩個完全相同的不規(guī)則立體圖形拼成一個圓柱，然后用圓柱的體積除以2就是所求的問題。用推理法解決求圓柱形物體表面積的實際問題 例 一個長方形的塑料板，利用圖中的陰影部分剛好能做成一個圓柱形的帶蓋水桶（接頭處忽略不計）。求這個水桶的表面積。分析 求水桶的表面積就要知道水桶的底面半徑（或直徑）和高。觀圖可

40、得，長方形陰影的長（即水桶的底面周長）為3. 14d，寬（即水桶的高）為2d，整個長方形塑料板的長為d+3. 14d=16. 56(dm)，據(jù)此先求出水桶的底面直徑和高，再求表面積。解答 水桶的底面直徑：16. 56(1+3.14)=4(dm) 水桶的高：42=8( dm) 水桶的表面積：3. 14（）22+3. 1448=125. 6(dm2) 答：這個水桶的表面積是125.6 dm2。 提示 圓柱的底面周長是直徑的倍，即圓柱側(cè)面展開圖的長是圓柱底面直徑的倍。用推理法解決有關(guān)比的問題 例 育紅小學正在舉行秋季運動會，六(1)班1號隊員和2號隊員都參加了200米賽跑。當1號隊員到達終點時，2號

41、隊員還差20米。如果兩人的速度不變，要使1號隊員和2號隊員同時到達終點，1號隊員的起跑線要比原來后移多少米？分析 1號隊員和2號隊員所跑的路程比：200：（200-20） 兩人所用時間相同1號隊員所跑的路程：1號隊員的速度=2號隊員所跑的路程：2號隊員的速度交換比例的內(nèi)項，得出兩人所跑的路程比等于兩人的速度比，兩人各自的速度不變，因此兩人所跑的路程比也不變，即1號隊員起跑線后移之后所跑的路程：2號隊員所跑的路程=200：(200-20)。解答 解：設1號隊員的起跑線要比原來后移x米。(200+x):200=200:(200 - 20)(200 +x)180=200200 x=22 答：1號隊員

42、的起跑線要比原來后移22米。總結(jié) 當時間一定時，速度和路程成正比例，速度比是多少，路程比也是多少，即速度比等于路程比。用推理法解決有關(guān)圓柱形物體表面積的實際問題 例 一塊長方形的塑料板，利用圖中的陰影部分剛好能做成一個圓柱形的帶蓋水桶（接頭處忽略不計）。求這個水桶的表面積。分析 求水桶的表面積要知道底面的半徑（或直徑）和高。觀圖可得長方形陰影的長（即水桶的底面周長）為3.14d，寬（即水桶的高）為2d。大長方形的長為d+3.14d=16.56（分米），先求出水桶的底面直徑和高，再求表面積。解答 水桶的底面直徑：16.56(1+3.14）=4（分米） 水桶的高：42=8（分米） 水桶的表面積：3

43、.142+3.1448=125.6（）答：這個水桶的表面積是125.6。提示 圓柱的底面周長是直徑的倍，即圓柱側(cè)面展開圖的長是圓柱底面直徑的倍。用正比例關(guān)系解決實際問題 例 下面是甲、乙兩輛摩托車的行程圖。(1)甲車0.5時行駛多少千米？(2)乙車5時行駛多少千米？分析 先確定圖像上的某一時刻，然后找出與這一時刻對應的路程，用路程除以時間，求出速度，最后根據(jù)要求分別求出甲車0.5時和乙車5時行駛的路程。解答 (1)3時20分一2時=1時20分=時60=45（千米） 450.5 =22.5（千米） 答：甲車0.5時行駛22.5千米。 (2)3時40分一2時=1時40分=時 60=36（千米） 3

44、65 =180（千米） 答：乙車5時行駛180千米。 提示 用圖中的路程除以對應的時間是解答此題的關(guān)鍵。用抓不變量的方法解決物體形變問題 例 一個圓錐形麥堆的底面半徑是2米，高是3米，如果把這堆小麥裝入一個圓柱形糧囤里，只占糧囤容積的。糧囤的底面積是7，糧囤的高是多少米？分析 小麥的體積就是圓錐的體積，把小麥裝入糧囤，小麥的體積不變，由它的體積是圓柱形糧囤容積的可知，用小麥的體積除以，可以求出圓柱形糧囤的容積，再用圓柱形糧囤的容積除以圓柱形糧囤的底面積，就求出圓柱形糧囤的高。 解答 3. 14237 =3. 1443 =3. 14（米） 答：糧囤的高是3. 14米。提示 由體積不變可知，圓錐形

45、麥堆的體積就是圓柱形糧囤體積的，用除法求出圓柱形糧囤的容積，再求圓柱形糧囤的高。用抓不變量的方法解決求商品價格問題 例 甲、乙兩種商品的價格比是5:3，如果它們的價格分別下降15元，其價格比則變?yōu)?:3。這兩種商品的原價各是多少元？分析 兩種商品都降價15元，降價后的價格差不變，價格差所對應的份數(shù)也應該相同。原價格的份數(shù)差是5-3=2；現(xiàn)價格的份數(shù)差是7-3=4。使5:3和7:3的價格差的份數(shù)相等，原價格的比=5:3=10:6，價格差的份數(shù)現(xiàn)在都是4。兩種商品的價格都下降10-7=3（份），3份對應的是15元，先求出1份的價格，再求原價。 解答 5:3=10:6 15（10-7）=5（元）或1

46、5(6-3)=5（元） 甲種商品原價：510=50（元）乙種商品原價：56=30（元） 答：甲種商品原價是50元，乙種商品原價是30元。提示此類題中兩種商品降價前后的價格差不變，可以根據(jù)價格下降的份數(shù)先求出1份的價格，再求原價。用抓不變量法解決實際問題 例 比例尺為1：50000的一幅地圖，現(xiàn)在改用的比例尺重新繪制，原地圖中4.8 cm的距離，在新地圖中應該畫多少厘米？分析 不管比例尺怎么變化，其實際距離是不變的。根據(jù)原地圖中的比例尺先求出原地圖中4.8 cm表示的實際距離，再根據(jù)新地圖中的比例尺求出這個實際距離在新地圖中的圖上距離。解答 4.85000=240000(cm) 24000020

47、00 =12(cm) 答：在新地圖中應該畫12 cm。 提示 此題的解題關(guān)鍵是求實際距離，在求實際距離時不必將厘米化成千米，以免下一步計算時再次換算單位。用轉(zhuǎn)化法解決稍復雜的體積問題 例 有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是3分米，其中裝有一些飲料，正放時飲料高度為20厘米，倒放時空余部分的高度為5厘米（見下圖）。問瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料多少立方分米。分析 正放和倒放，飲料體積不變，而瓶子的容積一定，所以空余部分體積相同，由于底面積不變，飲料瓶的容積就相當于高為(20+5)厘米的圓柱形容器的容積，可知飲料占瓶子容積的=這樣就可以求出飲料的體積。解答 20+5=25（厘米） 3=2.4（分米）

48、答：瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料2.4分米。提示 解答此類問題要注意把不規(guī)則形體轉(zhuǎn)化成規(guī)則形體，這樣便于計算體積或容積。重點提示 瓶子正放時，空余部分為不規(guī)則形體；倒放時，空余部分轉(zhuǎn)化成體積相等的圓柱。用轉(zhuǎn)化法解決有關(guān)瓶子容積的問題 例 有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是480 mL?，F(xiàn)在瓶中裝有一些飲料。瓶子正放時飲料的高度為20 cm，倒放時空余部分的高度為4 cm(如右圖)。瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料多少毫升？ 分析 瓶子正放和倒放時的容積與飲料的體積不變，所以瓶子空余部分的容積相等。因此，飲料瓶的容積就相當于一個高為( 20+4) cm的圓柱形容器的容積，由此可以推知飲料的體積占瓶子容積的，即480

49、mL的。 解答 20+4=24(cm) 480=400(mL) 答：瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料400 mL。 提示 確定瓶中飲料的體積占瓶子容積的幾分之幾是解答此題的關(guān)鍵。用綜合法求圓柱形容器中液體的高 例 甲、乙兩個圓柱形容器，底面積之比為4:3甲容器中水深7 cm，乙容器中水深3 cm，再往兩個容器中注入同樣多的水，直到水深相等，甲容器的水面應上升多少厘米？ 分析 因為甲、乙兩個容器的底面積之比為4:3，所以往兩個容器中注入同樣多的水，水面上升的高度比為3:4，也就是說乙容器中水面上升的高度比甲容器中水面上升的高度多，但結(jié)果水深相等，說明原來甲、乙兩個容器中水深相差的4 cm就是甲容器中水面上升高度的。

50、解答 (7-3)=12(cm) 答：甲容器的水面應上升12 cm。提示 找出水面上升的高度比是底面積之比的反比是解答此題的關(guān)鍵。 運用拆分法解決復雜的分數(shù)計算問題例 計算：分析 把題中每個加數(shù)分別擴大到原來的2（分母中兩個因數(shù)的差）倍，各加數(shù)分別變?yōu)?。而?，因此將題中每個加數(shù)都擴大到原來的2倍，再拆分成兩個數(shù)的差進行簡便計算，最后把所得的結(jié)果再縮小到它的，從而得出原題的結(jié)果。解答 總結(jié)形如：的分數(shù)可以拆分成的形式。運用方程法和倒推法解決稍復雜的分數(shù)除法問題例 一本故事書，明明第一天看了全書的，第二天看了余下的，還剩60頁沒有看。這本故事書一共有多少頁？方法一 方程法。分析 題中的單位“1”，

51、即全書的總頁數(shù)是所求問題，可以列方程來解答。根據(jù)等量關(guān)系“全書的總頁數(shù)（1一）（1一）=60”列出方程。解答 解：設這本故事書一共有x頁。 方法二 倒推法。分析 解答時要根據(jù)已知條件倒過來分析，先求第二個單位“l(fā)”，即第一天看后余下的頁數(shù)，再求第一個單位“1”，即全書的總頁數(shù)。第一步：先求第二個單位“l(fā)”，即第一天看后余下的頁數(shù)。 觀察上面的線段圖發(fā)現(xiàn)，60頁對應的是第一天看后余下頁數(shù)的（1一），求第一天看后余下的頁數(shù)應該用除法計算，即60（1一）= 180（頁）。 第二步：再求第一個單位“l(fā)”，即全書的總頁數(shù)。 觀察上面的線段圖發(fā)現(xiàn)，180頁對應的是全書總頁數(shù)的（1一），求全書的總頁數(shù)應該用除法計算，即180（1一）。 解答60（1一）=180（頁） 180（1一）=240（頁） 答：這本故事書一共有240頁。 提示用方法一解答本題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系；用方法二解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件倒過來分析。運用分段計算法解決納稅問題例 2011年9月1日，個人所得稅起征標準上調(diào)至3500元。下面是個人所得稅稅率表。銷售部李經(jīng)理今年5月份的工資總額是8245元，按規(guī)定，李經(jīng)理這個月納稅后能得到多少元工資？分析 根據(jù)題