2019年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件 新人教A版選修2-1

1、2.4.22.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)拋物線的簡單幾何性質(zhì)課標要求課標要求: :1.1.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì), ,并能應用性質(zhì)解題并能應用性質(zhì)解題.2.2.理解直線與理解直線與拋物線的位置關(guān)系拋物線的位置關(guān)系. . 自主學習自主學習知識探究知識探究1.1.拋物線拋物線y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的簡單幾何性質(zhì)的簡單幾何性質(zhì)(1)(1)范圍范圍由由p0p0和方程和方程y y2 2=2px=2px可知可知, ,對于拋物線對于拋物線y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的點上的點M(x,y),x0,M(x,y),x0,所以所以這條拋物線在這條拋物

2、線在y y軸的右側(cè)軸的右側(cè), ,開口方向與開口方向與x x軸正向相同軸正向相同; ;當當x x的值增大時的值增大時,|y|,|y|也增也增大大, ,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸. .(2)(2)對稱性對稱性以以-y-y代替代替y,y,方程方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)不變不變, ,所以這條拋物線關(guān)于所以這條拋物線關(guān)于x x軸對稱軸對稱. .我們把拋我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸物線的對稱軸叫做拋物線的軸. .(3)(3)頂點頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點. .在方程在方程y y2 2

3、=2px(p0)=2px(p0)中中, ,當當y=0y=0時時,x=0,x=0,因此拋物線因此拋物線y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的頂點就是坐標原點的頂點就是坐標原點. .(4)(4)離心率離心率拋物線上的點拋物線上的點M M到焦點的距離和它到準線的距離之比到焦點的距離和它到準線的距離之比, ,叫做拋物線的離心率叫做拋物線的離心率, ,用用e e表示表示. .由拋物線的定義可知由拋物線的定義可知,e=1.,e=1.3.3.直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系: :相離、相切、相交相離、相切、相交. .(1)(1)直線的斜

4、率存在時直線的斜率存在時, ,設(shè)直線設(shè)直線y=kx+my=kx+m與拋物線與拋物線y y2 2=2px(p0)=2px(p0)相交于相交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )兩點兩點, ,將將y=kx+my=kx+m代入代入y y2 2=2px,=2px,消去消去y y并化簡并化簡, ,得得k k2 2x x2 2+2(mk-p)x+m+2(mk-p)x+m2 2=0.=0.當當k=0k=0時時, ,直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合, ,直線與拋物線只有一個公直線與拋物線只有一個公 共點共點. .當當k0k0

5、時時, ,判別式判別式00直線與拋物線相交直線與拋物線相交, ,有兩個公共點有兩個公共點; ;判別式判別式=0=0直線與拋直線與拋物線相切物線相切, ,有且只有一個公共點有且只有一個公共點; ;判別式判別式00).=2px(p0).顯然顯然, ,當當m0m0m0時時, ,直線與拋物直線與拋物線相交線相交, ,有兩個交點有兩個交點. .(2)(2)通徑在反映拋物線開口大小上的作用通徑在反映拋物線開口大小上的作用線段線段ABAB叫做拋物線的通徑叫做拋物線的通徑, ,長度為長度為2p,2p,這是常數(shù)這是常數(shù)2p2p的又一幾何意義的又一幾何意義, ,所以所以p p越越大大, ,通徑越大通徑越大, ,即

6、拋物線的開口越大即拋物線的開口越大; ;反之反之,p,p越小越小, ,通徑越小通徑越小, ,即拋物線的開口即拋物線的開口越小越小. .通徑是所有焦點弦中最短的弦通徑是所有焦點弦中最短的弦. .自我檢測自我檢測1.1.設(shè)拋物線的頂點在原點設(shè)拋物線的頂點在原點, ,準線方程為準線方程為x=-2,x=-2,則拋物線的方程是則拋物線的方程是( ( ) )(A)y(A)y2 2=-8x=-8x(B)y(B)y2 2=8x=8x(C)y(C)y2 2=-4x=-4x(D)y(D)y2 2=4x=4xB BB B3.3.已知直線已知直線y=kx-ky=kx-k及拋物線及拋物線y y2 2=2px(p0),=

7、2px(p0),則則( ( ) )(A)(A)直線與拋物線有一個公共點直線與拋物線有一個公共點 (B)(B)直線與拋物線有兩個公共點直線與拋物線有兩個公共點(C)(C)直線與拋物線有一個或兩個公共點直線與拋物線有一個或兩個公共點 (D)(D)直線與拋物線可能沒有公共點直線與拋物線可能沒有公共點C C4.4.過拋物線過拋物線y y2 2=4x=4x的焦點作直線交拋物線于的焦點作直線交拋物線于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )兩點兩點, ,若若x x1 1+x+x2 2 =6,=6,則則|AB|=|AB|=. . 答案答案: :8 85.5.過拋物線過拋

8、物線y y2 2=4x=4x的頂點的頂點O O作互相垂直的兩弦作互相垂直的兩弦OM,ON,OM,ON,則則M M的橫坐標的橫坐標x x1 1與與N N的橫的橫坐標坐標x x2 2之積為之積為. . 答案答案: :1616題型一題型一拋物線簡單幾何性質(zhì)的應用拋物線簡單幾何性質(zhì)的應用 課堂探究課堂探究【例例1 1】 已知拋物線已知拋物線y y2 2=8x,=8x,(1)(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準線、對稱軸、變量求出該拋物線的頂點、焦點、準線、對稱軸、變量x x的范圍的范圍; ;解解: :(1)(1)拋物線拋物線y y2 2=8x=8x的頂點、焦點、準線、對稱軸、變量的頂點、焦點、準線、對稱

9、軸、變量x x的范圍分別為的范圍分別為(0,0),(2,0),x=-2,x(0,0),(2,0),x=-2,x軸軸,x0.,x0.(2)(2)以坐標原點以坐標原點O O為頂點為頂點, ,作拋物線的內(nèi)接等腰三角形作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,OAB,|OA|=|OB|,若焦點若焦點F F是是OABOAB的重心的重心, ,求求OABOAB的周長的周長. .易錯警示易錯警示 拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì)( (對稱性、范圍等對稱性、范圍等) )在解決拋物線問題時在解決拋物線問題時, ,有有著廣泛的應用著廣泛的應用, ,但在解題過程中又容易忽視這些隱含條件但在解題過程中又容易忽

10、視這些隱含條件, ,如拋物線的對如拋物線的對稱性、準線與對稱軸垂直等稱性、準線與對稱軸垂直等, ,解題時應注意挖掘并充分利用這些隱含條件解題時應注意挖掘并充分利用這些隱含條件. .(2)(2)已知拋物線已知拋物線C C的頂點在原點的頂點在原點, ,焦點焦點F F在在x x軸正半軸上軸正半軸上, ,設(shè)設(shè)A,BA,B是拋物線是拋物線C C上的兩個動點上的兩個動點(AB(AB不垂直于不垂直于x x軸軸),),且且|AF|+|BF|=8,|AF|+|BF|=8,線段線段ABAB的垂直平分線恒經(jīng)過定點的垂直平分線恒經(jīng)過定點Q(6,0),Q(6,0),求此拋物求此拋物線方程線方程. .題型二題型二直線與拋

11、物線的位置關(guān)系直線與拋物線的位置關(guān)系【例例2 2】 已知直線已知直線l:y=k(x+1)l:y=k(x+1)與拋物線與拋物線C:yC:y2 2=4x.=4x.問問:k:k為何值時為何值時, ,直線直線l l與拋與拋物線物線C C有兩個交點有兩個交點, ,一個交點一個交點, ,無交點無交點? ?若直線與拋物線有一個交點若直線與拋物線有一個交點, ,則則k k2 2=0=0或或k k2 200時時,=0.,=0.解得解得k=0k=0或或k=k=1.1.所以當所以當k=0k=0或或k=k=1 1時時, ,直線直線l l和拋物線和拋物線C C有一個交點有一個交點. .若直線與拋物線無交點若直線與拋物線

12、無交點, ,則則k k2 200且且0.1k1或或k-1.k1k1或或k-1k-1時時, ,直線直線l l和拋物線和拋物線C C無交點無交點. .題后反思題后反思 研究直線和拋物線的位置關(guān)系時研究直線和拋物線的位置關(guān)系時, ,由于消元后所得的方程中含由于消元后所得的方程中含參數(shù)參數(shù), ,因此要注意分二次項系數(shù)為因此要注意分二次項系數(shù)為0 0和不為和不為0 0兩種情況討論兩種情況討論. .(2)(2)過點過點(-3,2)(-3,2)的直線與拋物線的直線與拋物線y y2 2=4x=4x只有一個公共點只有一個公共點, ,求此直線方程求此直線方程. .拋物線的焦點弦問題拋物線的焦點弦問題題型三題型三【

13、例例3 3】 已知直線已知直線l l經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y y2 2=6x=6x的焦點的焦點F,F,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A,BA,B兩點兩點. .若直線若直線l l的傾斜角為的傾斜角為6060, ,求求|AB|AB|的值的值. .變式探究變式探究: :若本例中若本例中“直線直線l l的傾斜角為的傾斜角為6060”改為改為“|AB|=9|AB|=9”, ,求線段求線段ABAB的中的中點點M M到準線的距離到準線的距離. .方法技巧方法技巧 求圓錐曲線的弦長時求圓錐曲線的弦長時, ,為簡化計算常常借助根與系數(shù)的關(guān)系為簡化計算常常借助根與系數(shù)的關(guān)系, ,這樣可以避免分別求這樣可以避免分別求x x1 1,x,x2 2( (或或y y1 1,y,y2 2) )的麻煩的麻煩, ,如果是利用弦長求參數(shù)的問如果是利用弦長求參數(shù)的問題題, ,只需要列出參數(shù)的方程或不等式即可求解只需要列出參數(shù)的方程或不等式即可求解, ,而而x x1 1,x,x2 2( (或或y y1 1,y,y2 2) )一般是求一般是求不出來的不出來的. .(3)(3)以以ABAB為直徑的圓與拋物線的準線相切為直徑的圓與拋物線的準線