利用最小二乘法曲線擬合

1、1 第第3章章 函數(shù)逼近函數(shù)逼近3.13.1曲線擬合的曲線擬合的最小二乘法最小二乘法23.1 曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 某種合成纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)有直接關(guān)系，某種合成纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)有直接關(guān)系，下表是實(shí)際測(cè)定的下表是實(shí)際測(cè)定的2424個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)拉伸倍數(shù)的記錄。拉伸倍數(shù)的記錄。 提示：將拉伸倍數(shù)作為提示：將拉伸倍數(shù)作為x, x, 強(qiáng)度作為強(qiáng)度作為y,y,在座標(biāo)在座標(biāo)紙上標(biāo)出各點(diǎn)，可以紙上標(biāo)出各點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)什么發(fā)現(xiàn)什么? ?3數(shù)據(jù)表格數(shù)據(jù)表格4數(shù)據(jù)圖數(shù)據(jù)圖5曲線擬合曲線擬合 已知的離散數(shù)據(jù)已知的離散數(shù)據(jù)yi=f(xi)

2、 (i=0,1,2, ,n)往往是往往是通過(guò)觀測(cè)而得到的，經(jīng)常帶有觀測(cè)誤差。通過(guò)觀測(cè)而得到的，經(jīng)常帶有觀測(cè)誤差。 曲線擬合：希望找到曲線擬合：希望找到條曲線，它既能反映條曲線，它既能反映結(jié)定數(shù)據(jù)的總體分布形式，又不致于出現(xiàn)局部較結(jié)定數(shù)據(jù)的總體分布形式，又不致于出現(xiàn)局部較大的波動(dòng)。這種逼近方式只要所構(gòu)造的逼近函大的波動(dòng)。這種逼近方式只要所構(gòu)造的逼近函數(shù)數(shù) (x)與被逼近函數(shù)與被逼近函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 a,b 上的偏差滿上的偏差滿足其種要求即可。足其種要求即可。6偏差偏差 設(shè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)設(shè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn) (xi,yi), (i=0,1,2, ,n),記記), 2 , 1 , 0()(niyxeii

3、i并稱并稱ei為為偏差偏差。7最小二乘法最小二乘法曲線擬合的最小二乘法：以使得曲線擬合的最小二乘法：以使得偏差的平方和偏差的平方和最小為標(biāo)準(zhǔn)最小為標(biāo)準(zhǔn)min)()(0202niiiiniiyxxweEmjjjxax0)()(8例題例題例例3.1 某合金成分某合金成分x與膨脹系數(shù)與膨脹系數(shù)y之間的關(guān)系有之間的關(guān)系有如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求膨脹系數(shù)如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求膨脹系數(shù)y與成分與成分x的擬合曲的擬合曲線線y=P(x)。i0123456x37383940414243y3.40 3.00 2.101.531.801.902.909例題例題解解 將數(shù)據(jù)標(biāo)在坐標(biāo)紙上，由散點(diǎn)圖可以將數(shù)據(jù)標(biāo)在坐標(biāo)紙上，由散點(diǎn)圖可以

4、推斷他們大致分布在一條拋物線上。為推斷他們大致分布在一條拋物線上。為此取此取22102)(xaxaaxp10例題例題2.9043431.9042421.8041411.5340402.1039933.0038383.4037372210221022102210221022102210aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa11例題例題2.901.901.801.532.103.003.40434314242141411404013939138381373712102222222aaa12例題例題得到的方程組稱為得到的方程組稱為矛盾方程組矛盾方程組。令。令22202122223.4013737

5、3.00138382.1013939,1.53140401.80141411.90142422.9014343aAwaba13例題例題得得bAw 上述方程組稱為上述方程組稱為矛盾方程組矛盾方程組。兩邊同乘以。兩邊同乘以bAAwATTTA即即14例題例題2 .263682 .66163.16181889964513601122845136011228280112282807210aaa解得解得163. 0,171.13,010.268210aaa于是所求擬合曲線為于是所求擬合曲線為22163. 0171.13010.268)(xxxp15線性矛盾方程組線性矛盾方程組方程個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)大于大于未知量

6、個(gè)數(shù)的方程組稱為矛盾方程未知量個(gè)數(shù)的方程組稱為矛盾方程組，一般形式為組，一般形式為nmnmnnmmbxaxaxabxaxaxa221111212111即即16線性矛盾方程組（續(xù)）線性矛盾方程組（續(xù)） Axb A是是 n m階的列滿秩矩陣階的列滿秩矩陣, x是是 m維維的列向量的列向量, b是是 n維的列向量維的列向量, min2222AxbeeeTAxbe剩余向量剩余向量（3.11）（3.12）17線性矛盾方程組（續(xù)）線性矛盾方程組（續(xù)）Ax)(bAx)(beeTT02)(Ax)(bAeeTTdxd0Ax)(bAT18線性矛盾方程組（續(xù)）線性矛盾方程組（續(xù)）0bAAxATT)13. 3( bA

7、AxATT該式稱為方程組該式稱為方程組Axb 的法方程。因此，求解的法方程。因此，求解n階矛盾階矛盾方程組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化求解方程組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化求解m階線性方程組階線性方程組的問(wèn)題。的問(wèn)題。19例題例題例例3.2 對(duì)例對(duì)例3.2中的數(shù)據(jù)，試求形如中的數(shù)據(jù)，試求形如xaxaax10cos5sin)(210的擬合函數(shù)。的擬合函數(shù)。解：按題意，得矛盾方程組，解：按題意，得矛盾方程組，6 ,2 , 1 , 0)10cos()5sin(210iyxaxaaiii20例題例題2.901.901.801.532.103.003.4043)10cos(43)5sin(142)10cos(42)5sin(141)10c

8、os(41)5sin(140)10cos(40)5sin(139)10cos(39)5sin(138)10cos(38)5sin(137)10cos(37)5sin(1210aaa21例題例題寫成矩陣形式，為寫成矩陣形式，為yAw其中其中 266211200111xxxxxxA310yyyy210aaaw22例題例題其法方程為其法方程為即即yAAwATT9064.126980. 16300.168090. 40 . 06957. 50 . 03090. 40 . 06957. 50 . 07210aaa23例題例題23解出解出581. 3,394. 0,289. 5210aaa因此所求的擬合函

9、數(shù)為因此所求的擬合函數(shù)為xxx10cos581. 35sin394. 0289. 5)(24例題例題例例3.3 已知觀測(cè)數(shù)據(jù)已知觀測(cè)數(shù)據(jù)(1，-5)，(2，0)，(4，5)，(5，6)，試用最小二乘法求形如試用最小二乘法求形如上的經(jīng)驗(yàn)公式上的經(jīng)驗(yàn)公式。xbaxx)(25例題例題25解：記解：記按題意，得矛盾方程組，按題意，得矛盾方程組，寫成矩陣形式，為寫成矩陣形式，為; 6, 5; 5, 4; 0, 2; 5, 133221100yxyxyxyx)3 , 2 , 1 , 0( iyxbaxiii26例題例題寫成矩陣形式，為寫成矩陣形式，為yAw其中其中 33221100/1/1/1/1xxxx

10、xxxxA3210yyyyybaw27例題例題其法方程為其法方程為即即yAAwATT27其法方程為其法方程為即即解得解得 于是所求擬合曲線為于是所求擬合曲線為55. 2453525. 14446ba432976311. 6537650114. 1baxxy/432976. 6537650. 128已知觀測(cè)數(shù)據(jù)已知觀測(cè)數(shù)據(jù)(1，5)，(2，21)，(3，46)，試用最小二乘法求形如，試用最小二乘法求形如上的經(jīng)驗(yàn)公式上的經(jīng)驗(yàn)公式。非線性最小二乘擬合非線性最小二乘擬合baxy 29非線性最小二乘擬合非線性最小二乘擬合bbbaaa34622115得到的是非線性方程組，求解通常得到的是非線性方程組，求解

11、通常比較困難。比較困難。30非線性最小二乘擬合非線性最小二乘擬合baxy 兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得bzAwxzaAywxbay,lg,lg,lglglglg則得則得令令（1）31非線性最小二乘擬合非線性最小二乘擬合兩邊取自然對(duì)數(shù)，得兩邊取自然對(duì)數(shù)，得令令則得則得bxaey bxay lnlnbzAwxzaAyw,ln,ln（2）32非線性最小二乘擬合（續(xù)）非線性最小二乘擬合（續(xù)）（3）xaby 兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得BzAwxzbBaAywbxay,lg,lg,lglglglg則得則得令令33非線性最小二乘擬合（續(xù)）非線性最小二乘擬合（續(xù)）baxy1令令則得則得,/1xzywbazw

12、（4 4）34非線性最小二乘擬合（續(xù)）非線性最小二乘擬合（續(xù)）（5）baxxy,/1,/1xzyw令令則得則得bzaw35例題例題例例3.4 給定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)給定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) x1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 y5.10 5.79 6.53 7.45 8.46試求形如試求形如bxaey 的擬合函數(shù)。的擬合函數(shù)。36例題例題解解 對(duì)擬合函數(shù)的兩邊取自然對(duì)數(shù)，即對(duì)擬合函數(shù)的兩邊取自然對(duì)數(shù)，即bxay lnln令令則上式則上式 成為關(guān)于成為關(guān)于A，b的線性函數(shù)的線性函數(shù),ln,lnxzaAywbzAw37例題例題根據(jù)數(shù)據(jù)根據(jù)數(shù)據(jù)(x , y) 算出對(duì)應(yīng)的算出對(duì)應(yīng)的(z , w) , 得下表得下表 z1.001.251.501.752.00 w1.6292 1.7561 1.8764 2.0082 2.1353建立法方程建立法方程4239.144052. 9875.115 . 75 . 75bA