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1、2m - 3m-2(2z=2+ (m + 3m 10)i例1當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí),復(fù)數(shù)m -25; (1)是實(shí)數(shù);虛數(shù);(3)是純虛數(shù)。廣 2m +3m -10 = 02解:(1) z為實(shí)數(shù),則虛部 m2+3m10 = 0,艮卩m - 25式解得m=2 m=2時(shí),z為實(shí)數(shù)(2)是f 2m + 3m -10 鼻 02(2) z為虛數(shù),則虛部 m2+3m10式0,即,m 一25工- 22m -3m-2=02m +3m100(3)z為純虛數(shù)1m = 解得2m2 - 25 = 01m -當(dāng)2時(shí),z為純虛數(shù)例3求同時(shí)滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)z:( 1)的實(shí)部和虛部都是整數(shù)。_ 2 2解:設(shè) z = a bi(a

2、,b R 且 a b - 0)z叫z是實(shí)數(shù),且。(2)zz 10 -a bi 10 a bi 則 za bi.10(a -bi)a2 b210二a(1-a由(1 )知b(1102)5(1-飛 2)ib2a2 b210 彳 10 * z1 : z6z是實(shí)數(shù),且z10、門(mén))=0a2 b2) 即 b = 0或 a2 b2=101 a(1 又10a2 b2當(dāng)b=0時(shí),1 a + 2x(D)z 勻x+ y解析:可對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)檢查,A項(xiàng),z z Z 2y,故 A錯(cuò),B 項(xiàng),z2 = x2 y2 + 2xyi,故 B(5)對(duì)任意復(fù)數(shù)z=x yi x,yR ,i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確錯(cuò),C項(xiàng),z-Z蘭2y,

3、故C錯(cuò),D項(xiàng)正確。本題主要考察了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及其幾何意義,屬中檔題A(D)第四象限(2010陜西文數(shù))2.復(fù)數(shù)z二丄在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于1+i(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限解析:本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義1。,所以點(diǎn)(1,1)位于第一象限1 i 2222 21+2i(2010遼寧理數(shù))(2)設(shè)a,b為實(shí)數(shù),若復(fù)數(shù) =1 i,則a +bi31(A) a , b(B) a = 3,b = 1221 3(C) a , b(D) a = 1,b = 32 2【答案】A【命題立意】本題考查了復(fù)數(shù)相等的概念及有關(guān)運(yùn)算,考查了同學(xué)們的計(jì)算能力。【解析】由 上也 =1+i可得1+2

4、i=(ab)+(a+b)i,所以 b = ,解得a bia b = 2-,故選A。2(2010江西理數(shù))1.已知(x+i )(1-i ) =y,則實(shí)數(shù)x, y分別為()A.x=-1 , y=1B. x=-1,y=2C. x=1 , y=1D. x=1,y=2【答案】D【解析】考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算??刹捎谜归_(kāi)計(jì)算的方法,得(x-i2) (1-x)i二y,沒(méi)有虛部,x=1,y=2.(2010 安徽文數(shù))(2)已知 i2 一1,則 i( 1 _、3i)=(A) ,3 -i(B).3 i (C) 一一3i (D)-.3 i2.B【解析】i(1V3i) =i +73,選 b.【方法總結(jié)】直接乘開(kāi),用 i2

5、 = -1代換即可(2010浙江文數(shù))5 i3.設(shè)i為虛數(shù)單位,則5 i1 +i(A)-2-3i(C)2-3i(B)-2+3i(D)2+3i解析:選C,本題主要考察了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算,屬容易題a +2i(2010山東文數(shù))(2)已知b i a, R,其中i為虛數(shù)單位,則a b =iA. -1B. 1 C. 2D. 3答案:B(2010北京文數(shù))在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) 6+5i,-2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為 A,B.若C為線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(A)4+8i (B)8+2i( C)2+4i(D)4+i答案:C23(2010四川理數(shù))(1) i是虛數(shù)單位,計(jì)算i + i + i =(A)

6、1(B) 1(C)(D) i解析:由復(fù)數(shù)性質(zhì)知:i2= 1故 i + i2+ i 3= i + ( 1) + ( i) = 1答案:A(2010天津文數(shù))(1)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)=1 -i(A)1+2i(B)2+4i(C)-1-2i (D)2-i【答案】A【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運(yùn)算,屬于容易題。2 進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算需要份子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù),同時(shí)將i改為-1.3 i (3 i)(1+i)2 4i ,1 2i1-i(1-i)(1+i)2【溫馨提示】近幾年天津卷每年都有一道關(guān)于復(fù)數(shù)基本運(yùn)算的小題,運(yùn)算時(shí)要細(xì)心,不要失分哦。(2010天津理數(shù))(1)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)

7、一1 +2i(A)1 + i (B)5+ 5i (C)-5-5i (D)-1 i【答案】A【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運(yùn)算,屬于容易題。進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算需要份子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù),同時(shí)將i2改為-1.-1 3i (-1+3i ) (1-2i)5 5i1 i1 2i (1 2i)(1 2i)5【溫馨提示】 近幾年天津卷每年都有一道關(guān)于復(fù)數(shù)基本運(yùn)算的小題,運(yùn)算時(shí)要細(xì)心,不要失分哦。(2010 廣東理數(shù))2.若復(fù)數(shù) Z1=1+i , Z2=3- i,貝U Z1 Z2=()A. 4+2 iB. 2+iC. 2+2 i D.32. A . z1 z2 -(1 i) (3 i) =

8、1 3 1 1 (31)i =4 2i一1+i 4(2010福建文數(shù))4. i是虛數(shù)單位,(-)4等于()1-iA. iB. -iC. 1D. -1【答案】C【解析】 21 i 4(1 i) 4 .4()=i =1 ,故選 C.1-i2【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,考查同學(xué)們的計(jì)算能力.3 + 2i(2010全國(guó)卷1理數(shù))復(fù)數(shù)2 - 3i(A) i (B)-i (C)12-13 i (D) 12+13 i(A) i(B) -i(C)12-13z(D) 12+13i分析;本小題主要考杳復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算解:+= (3 + 2i)i =.(注:本題也可用分母實(shí)數(shù)化處理j做選上2-3i(23訓(xùn)3

9、+ 2ia + 2ia 十 2i(2010山東理數(shù))(2) 已知=b+i(a,b)=b+i ( a,b R),其中i為虛數(shù)單ii位,則a+b=(A)-1(B)1 (C)2(D)3【答案】Ba+2i【解析】由 =b+i得a+2i=bi-1 ,所以由復(fù)數(shù)相等的意義知a=-1,b=2 ,所以a+b= 1,故選iB.【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)相等的意義、復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬保分題。1. (2010安徽理數(shù))1、i是虛數(shù)單位,F(xiàn)=3 3iA、丄一 2B、丄占1 -3. CiD、4 124 122 62 61.B【解析】i一i(3-3i) 3i 3,丄3j,選b.412【解析1】一丁 3 +3i3 9-12【

10、規(guī)律總結(jié)】i為分式形式的復(fù)數(shù)問(wèn)題,化簡(jiǎn)時(shí)通常分子與分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù). -3i,然后利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,結(jié)合i2 =1得結(jié)論.2. (2010福建理數(shù))氏 對(duì)于夏數(shù)譏Qd若嵬會(huì)$=砥,“1具葡性質(zhì) 快J任,則當(dāng)a=l* b=1 時(shí).b+c+d #cI=b%A.1 B J CXDi【答寬】Bf解析】由題魚(yú) 可取尸l.bd“W.4“所LUb+c+(l-H+-i = -1選乳【曲題豊圖】本X1(K$A#S礎(chǔ)知識(shí)*(2010湖北理數(shù))1.若i為虛數(shù)單位,圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)Z,則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是1+iA. E B.F C.G D.H1. 【答案】D【解析】觀察圖形可知z=3i,貝yZ 二U=

11、2_i ,即對(duì)應(yīng)點(diǎn) 1+i 1+iH (2, - 1),故 D 正確.導(dǎo)數(shù)一導(dǎo)數(shù)的概念(一) 導(dǎo)數(shù)的定義1導(dǎo)數(shù)的原始定義:設(shè)函數(shù)y二f(x)在X=Xo處附近有定義,如果 X 0時(shí),號(hào)與Ux 的比二(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即 無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù),我們把這個(gè)極限值叫ZAx一、/f (x0 + 也x) - f (x0)做函數(shù)y = f(x)在xt Xo處的導(dǎo)數(shù),記作y xy0 ,即f(X。)=他瓦2導(dǎo)函數(shù)的定義:如果函數(shù) y二f (x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù),此時(shí)對(duì)于每一個(gè)x (a,b),都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f /(x),從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)f lx),稱這個(gè)函數(shù)fix)為函

12、數(shù)y二f (x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。(二) 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義:1導(dǎo)數(shù)的幾何意義:f/(X0) 是 曲線y = f (x)上點(diǎn)(x0, f (x0)處的切線的斜率+因此,如果y = f (x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),則曲線y = f(x)在點(diǎn)(X0,f(x)處的切線方程為y - f (x) = f / (x)(x - X0)*2導(dǎo)數(shù)的物理意義:導(dǎo)數(shù)是物體變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度,也叫做瞬時(shí)變化率。(三) 概念部分題型:1利用定義求函數(shù) y二f(x)的導(dǎo)數(shù)主要有三個(gè)步驟:(1) 求函數(shù)的改變量 y = f (x : x) - f (x)*_y f (x : -x) - f (x)(2) 求平均變化率l

13、xlx取極限,得導(dǎo)數(shù)y/ = f (x) = l.im:y .2利用導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義解題主要有兩種:求切線方程和瞬時(shí)速度,考試重點(diǎn)為求切線方程。導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(一) 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. C =0n *nd2. (x )nxxx3. (e )e4. (ax)二ax|na15. (In x)x(log ax)J log a e xx I n a7. (sinx) =cosx8. (cosx) =-sinx(二) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算1和差:(u-v)二 U -V2積: (uv) = U V UV3商:(,U) , U V - UV VV2三)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1 運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則為:fg(x)卜

14、f (g) g (x)2. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的方法和步驟:求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定要抓住“中間變量”這一關(guān)鍵環(huán)節(jié),然后應(yīng)用法則,由外向里一層層求導(dǎo),注意不要漏層。求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟:(1) 分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,選好中間變量(2) 運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),注意分清每次是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求 導(dǎo)數(shù)(3) 根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并把中間變量換成 自變量的函數(shù) 三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及求解單調(diào)區(qū)間。1導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系:若f (x)0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是增函數(shù),f (x)0的解集與定義域的 交集的對(duì)

15、應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間;若(x)0在(a, b)上恒成立,則f(x)在(a, b)上是減函數(shù),f (x)0,則f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù),對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間;f (x)f(x 0)就說(shuō)f(x 0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值,記作 y極小值=f(x 0), X0是極小值點(diǎn)(3) 函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間a,b 上連續(xù)的函數(shù)f (x)在a,b上必有最大值與 最小值,分別對(duì)應(yīng)該區(qū)間上的函數(shù)值的最大值和最小值。2極值的性質(zhì):(1) 極值是一個(gè)局部概念由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小+并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小(2) 函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間

16、上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè).(3) 極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系+即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值。(4) 函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)”而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點(diǎn)3判別f(xo)是極大、極小值的方法:若X。滿足f (Xo) =0,且在Xo的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào),則 X。是f (x)的極值點(diǎn), f(Xo)是極值,并且如果f(X)在Xo兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”,則Xo是f (X)的極大值點(diǎn),f(Xo)是極大值;如果f(X)在Xo兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”,則Xo是f(X)的極小值點(diǎn),f(Xo) 是極小值,4. 求函數(shù)

17、f(x)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f (x) 求方程f (x)=O的根+用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 O的點(diǎn),順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間,并列成表格檢查f (x)在方程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值;如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù),則f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值.5. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:求f (x)在(a,b)內(nèi)的極值;將f (x)的各極值與f (a)、f (b)比較得出函數(shù)f (x)在a,b上的最值.(三) 利用導(dǎo)數(shù)求解證明不等式:主要方法為將不等式 t(x) _ g(x)左右兩邊的多項(xiàng)

18、式移到一邊,構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)f(x) =t(x) -g(x),通過(guò)對(duì)f (x)求導(dǎo),根據(jù)(x)的大小和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),結(jié)合已知條件進(jìn)行求解或證明。四 定積分與微積分基本原理(理科考查,文科不考查)(一)曲邊梯形面積與定積分1、定積分定義:設(shè)函數(shù) f (x)在a,b上有界(通常指有最大值和最小值 ),在a與b之間任 意插入n -1個(gè)分點(diǎn),a =怡:x, : X2 : III : xn: xn = b , 將區(qū)間!a,bl 分成 n 個(gè) 小 區(qū) 間【X4,Xi】(i =1,2,|,n ),記每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為“Xi = x Xi斗(i =1,2,川,n),在X 4X上任取一點(diǎn)Z i,作函數(shù)值f (q )與小區(qū)間長(zhǎng)度収的乘積f (G )AX(i=12|H,n ), 并求和 s = 7 f .:xi1nf(x)dx“忙f( i):Xi記入=max .-;Xi ; i =d,2,|,n

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