有限元 7-學(xué)生提問及解答2012秋

1、P-1土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法學(xué)生問題及解答P-2土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)構(gòu)造。軸對(duì)稱問題，各項(xiàng)應(yīng)變的含義。在描述板的內(nèi)力方程時(shí)，微元體只表示出正應(yīng)力合成了彎矩，剪應(yīng)力合成了扭矩，為什么沒有剪應(yīng)力合成剪力？拿懸臂板和懸臂梁作對(duì)比，為什么微元體側(cè)面的剪力不見了？在梁里面，彎矩和剪力是成對(duì)出現(xiàn)的，為什么板里面剪力和彎矩不成對(duì)出現(xiàn)？第4章 薄板問去問題。教材和講義中，轉(zhuǎn)角的方向有不對(duì)的地方，轉(zhuǎn)角是撓度對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)，根據(jù)右手螺旋法則，有些地方轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定不對(duì)？P-3土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法5. 在第4章計(jì)算例題部分，算內(nèi)力時(shí)，那個(gè)S矩陣究竟是幾乘幾

2、階？P-4土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法1關(guān)于三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)構(gòu)造，為關(guān)于三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)構(gòu)造，為什么不宜取如下位移函數(shù)？什么不宜取如下位移函數(shù)？26542321),(),(xyyxvvyxyxuu(2)26543221),(),(yxyxvvyxyxuu(3)26542321),(),(yyyxvvxxyxuu(1)P-5土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法學(xué)生的疑問： 三角形有3個(gè)頂點(diǎn)，有6個(gè)已知位移分量，則可以確定以上位移函數(shù)的6個(gè)待定系數(shù)，或者說只要待定系數(shù)是6個(gè)，都可以求出，那位移函數(shù)就可以求出來。也就是說，不管假設(shè)位移函數(shù)是x、y的幾次多項(xiàng)式，都能求出位移函數(shù)。

3、位移函數(shù)是坐標(biāo)x,y的函數(shù)，不是結(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)，因?yàn)榻Y(jié)點(diǎn)位移ui,uj,um,vi,vj,vm是位移在某個(gè)點(diǎn)的值，不是變量。 對(duì)于位移的協(xié)調(diào)性問題，在相鄰單元公共邊，只要兩個(gè)結(jié)點(diǎn)位移確定了，就可以根據(jù)位移函數(shù)計(jì)算出邊界上各個(gè)點(diǎn)的位移值，那相鄰單元公共邊的位移肯定是一樣，為什么會(huì)不協(xié)調(diào)呢？P-6土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法 在有限元里面，假設(shè)的位移函數(shù)是用來表達(dá)單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。位移函數(shù)是坐標(biāo)x,y的函數(shù)，同時(shí)也是節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)。不能說結(jié)點(diǎn)位移ui,uj,um,vi,vj,vm是位移在某個(gè)點(diǎn)的具體值，不是變量。相對(duì)于位移函數(shù)來說，它們當(dāng)然是變量，因?yàn)槲灰坪瘮?shù)要表達(dá)單元內(nèi)部任

4、意點(diǎn)的位移和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，相對(duì)于位移函數(shù)來說，節(jié)點(diǎn)位移是自變量。 對(duì)于三結(jié)點(diǎn)三角形單元，任何假設(shè)的位移函數(shù)，只要待定系數(shù)是6個(gè)，肯定能解出6個(gè)待定系數(shù)，但是假定的位移函數(shù)是否合理，還要考慮位移模式的收斂性條件：完備性和連續(xù)性P-7土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法(1) 完備性要求，即位移模式必須包含剛體位移和常應(yīng)變。26542321),(),(yyyxvvxxyxuu26542321),(),(xyyxvvyxyxuu(2)(1)(1)(2)沒有包含剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移00( , )( , )u x yuyv x yvx00如(1)，在單元內(nèi)同一條豎直線上，u位移都相同，不能表達(dá)單元的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。如(

5、2)，當(dāng)發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在同一條豎直線上，u位移是y的二次函數(shù)，不是直線，不符合剛體位移的要求。剛體位移P-8土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法 對(duì)于常應(yīng)變問題，位移函數(shù)（1）（2）中沒有剪應(yīng)變的常應(yīng)變項(xiàng)，（3）中沒有正應(yīng)變的常應(yīng)變項(xiàng)。26542321),(),(xyyxvvyxyxuu(2)26542321),(),(yyyxvvxxyxuu(1)26543221),(),(yxyxvvyxyxuu(3)0 xvyuxyxyxvyuxy6322yyvxxuyx6222P-9土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法(2) 連續(xù)性要求：對(duì)于位移函數(shù)是線性的情況，即單元中的一條直線變形后仍為直線，而相鄰單元

6、在兩個(gè)公共節(jié)點(diǎn)上的位移又應(yīng)是相等的，所以位移協(xié)調(diào)。 檢查位移函數(shù)(1)，對(duì)于圖示的兩個(gè)直角三角形單元，當(dāng)節(jié)點(diǎn)3發(fā)生水平位移到3，根據(jù)位移函數(shù)，單元(1)和(2)在公共邊23上的水平位移u是個(gè)常數(shù)，根本沒法描述發(fā)生圖示位移的情況，則23邊上的水平位移究竟是多少？不能確定，或者說解不出來，那么如何滿足相鄰單元(1)和(2)在公共邊23上的位移協(xié)調(diào)呢？存在矛盾。(1)26542321),(),(yyyxvvxxyxuuP-10土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法2.軸對(duì)稱問題，各項(xiàng)應(yīng)變的含義？（在講義2.7八結(jié)點(diǎn)曲線四邊形等參元，介紹單剛時(shí)，列出了軸對(duì)稱問題的應(yīng)變） 在軸對(duì)稱問題中，通常采用圓柱坐標(biāo) (

7、r,z) ，以對(duì)稱軸作為z軸，所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都與無關(guān)，只是r和z的函數(shù)。任意點(diǎn)的位移只有兩個(gè)方向的分量，即沿r方向的徑向位移u和沿z方向的軸向位移w。由于軸對(duì)稱，方向的環(huán)向?yàn)榱?。因此軸對(duì)稱問題是二維問題 如果彈性體的幾何形狀、約束條件及荷載都對(duì)稱于某一軸，例如z軸，則所有的位移、應(yīng)變及應(yīng)力也對(duì)稱于此軸。這種問題稱為軸對(duì)稱應(yīng)力問題。P-11土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法 由于對(duì)稱，只須取出一個(gè)截面進(jìn)行分析，但在計(jì)算中應(yīng)注意到所采用的單元是圓環(huán)。 zurwzwrururzzrrz 位移向量u,wrurrur22)(2P-12土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法3. 在描述板的內(nèi)力方程時(shí)，微元體

8、只表示出正應(yīng)力合成了彎矩，剪應(yīng)力合成了扭矩，為什么沒有剪應(yīng)力合成剪力？拿懸臂板和懸臂梁作對(duì)比，為什么微元體側(cè)面的剪力不見了？在梁里面，彎矩和剪力是成對(duì)出現(xiàn)的，為什么板里面剪力和彎矩不成對(duì)出現(xiàn)？ 仔細(xì)考慮此問題，需要對(duì)薄板彎曲問題的基本假定描述做進(jìn)一步細(xì)化，并修改一些表達(dá)?；炯俣ǎ?、略去垂直于中面的法向應(yīng)力。(z=0, 可以忽略z , 在薄板中面的任一根法線上，薄板全厚度內(nèi)的所有各點(diǎn)都具有相同的位移，即以中面上沿z方向的撓度w代表板的撓度。)P-13土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法、變形前垂直中面的任意直線，變形后仍保持為垂直中面的直線。（法向假定，忽略了沿z軸的剪應(yīng)力zx和zy所對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變

9、，即zx=0 , zy=0。但是在考察薄板微分單元的平衡時(shí)zx和zy是必須的。這種應(yīng)力和變形之間的矛盾在應(yīng)用彈性力學(xué)中是經(jīng)常出現(xiàn)的，如在桿件彎曲理論中也存在類似的情況，對(duì)于一般的梁，忽略剪切變形對(duì)撓度的影響，但是截面的剪應(yīng)力是不能忽略的。）、板彎曲時(shí)，中面不產(chǎn)生應(yīng)力。(中面中性層假定，在中面上，x=y=xy=0) P-14土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法 z平面的應(yīng)變分量和曲、扭率基本假定，由于 , 故板內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變與平面問題相同，剩下 0zyzxz0 xxyy0zyzxz原講義內(nèi)力方程（內(nèi)力內(nèi)力方程（內(nèi)力撓度關(guān)系）撓度關(guān)系） 對(duì)于薄板彎曲問題，由垂直板面的荷載引起的剪應(yīng)力一般較小，常常忽略

10、不計(jì)。但是在很大的集中荷載作用下，需要考慮沖切問題。P-15土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法4. 第4章 薄板問去問題。教材和講義中，轉(zhuǎn)角的方向有不對(duì)的地方，轉(zhuǎn)角是撓度對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)，根據(jù)右手螺旋法則，有些地方轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定不對(duì)？A點(diǎn)撓度為w, 則沿x方向傾角(繞y軸)沿y方向傾角(繞x軸) ywxxwy這里轉(zhuǎn)角的方向按右手螺旋法則確定正負(fù)號(hào)時(shí)，以逆時(shí)針為正。P-16土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法另外，也可以嘗試假設(shè)撓度是x或y的一次多項(xiàng)式，則一次式的對(duì)x或y求導(dǎo)就是轉(zhuǎn)角，也符合圖示對(duì)應(yīng)的正負(fù)號(hào)。對(duì)于 ，它要反映在xoz平面這條邊的轉(zhuǎn)角，x軸朝右，此時(shí)用右手螺旋法則時(shí)，大拇指要對(duì)著觀察者。對(duì)于 ，它要反映在yoz平面這條邊的轉(zhuǎn)角，從右往左看過去，y軸要朝右，此時(shí)用右手螺旋法則時(shí)，也要大拇指要對(duì)著觀察者。xwyywxP-17土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法5. 在第4章計(jì)算例題部分，算內(nèi)力時(shí)，那個(gè)S矩陣究竟是幾乘幾階？根據(jù)內(nèi)力計(jì)算公式， eedSdBDF 4321SSSSS 則s的階數(shù)是3*12階，而結(jié)點(diǎn)位移de是12*1階的向量，相乘之后得到F是3*1階的向量，而在算例中得到的內(nèi)力是12*1階的向量，如何解釋這個(gè)矛盾，S究竟是幾階的矩陣？解釋：表達(dá)單元的內(nèi)力方程 eedSdBDF時(shí)， 時(shí)，單元