淺水方程推導(dǎo)

1、1. 淺水方程推導(dǎo)將三維的基本方程沿水深積分平均，即可得到沿水深平均的平面二維流動基本方程。定義水深為， 、為基準(zhǔn)面下液面水位和河床高程定義沿水深平均流速為：引用萊布尼茲公式自由表面及底部運(yùn)動學(xué)條件以x方向?yàn)槔S流動的運(yùn)動方程沿水深平均為非恒定項(xiàng)積分推薦精選對流項(xiàng)積分首先將時均流速分解為，式中為垂線平均流速，為時均流速與垂線平均流速的差值。式中，是由于流速沿垂線分布不均勻而引入的修正系數(shù)，類似于水力學(xué)中的動量修正系數(shù)，其數(shù)值一般在1.021.05，可以近似取1.0，因此類似，可以得到上幾式相加，并利用底部及自由表面運(yùn)動學(xué)條件可得推薦精選壓力項(xiàng)積分（萊布尼茨公式）將代入上式后化簡得：擴(kuò)散項(xiàng)積分

2、上式右邊后兩項(xiàng)分別為由底部創(chuàng)面阻力和表面風(fēng)阻力引起的阻力項(xiàng)。式中，為無因次風(fēng)應(yīng)力系數(shù)；為空氣密度；為風(fēng)速；為風(fēng)向與x方向的夾角。最后運(yùn)動方程寫成張量形式為2. 差分格式的穩(wěn)定性與收斂性兩種誤差舍入誤差：=有限精度的計算機(jī)上的解差分方程的精確解（穩(wěn)定性）離散誤差=偏微分方程的精確解差分方程的精確解（收斂性）（1） 穩(wěn)定性分析推薦精選誤差也滿足差分方程。求解穩(wěn)定，則要求 Von Neumann（馮.諾依曼）穩(wěn)定性分析將某一時刻分布在網(wǎng)格點(diǎn)上的誤差按Fourier級數(shù)展開，然后考察下一時刻各網(wǎng)格點(diǎn)上誤差的Fourier分量是衰減還是增長，以判斷差分方程是否穩(wěn)定。用一維熱傳導(dǎo)方程作為模型方程差分顯式格

3、式：假設(shè)誤差隨時間按指數(shù)函數(shù)的方式增長或衰減，即隨時間按指數(shù)函數(shù)變化。將其代入差分方程得： 稱為放大因子解不等式，即，得： （2） 收斂性分析推薦精選收斂性是指當(dāng)網(wǎng)格點(diǎn)空間趨于零時，差分方程的解無限接近于偏微分方程的解?？梢宰C明，當(dāng)網(wǎng)格變細(xì)，并且時，有限差分方程的解收斂于給定的擴(kuò)散方程的精確解。由于收斂性問題的討論在理論上證明較為困難（微分方程較復(fù)雜時），關(guān)于收斂性問題比穩(wěn)定性問題復(fù)雜得多，所以在此給出更具實(shí)用意義的定理，Lax等價定理，即，對于一個與線性偏微分方程相容的適定的初值問題的差分格式，穩(wěn)定性是差分方程解收斂于微分方程的充分必要條件。也就是說對一適定的線性初值問題，相容性加穩(wěn)定性等價于收斂性3. 多維問題的常用差分格式以二維擴(kuò)散方程為例（1）交替方向隱式格式(ADI)基本思想是將差分計算分成兩步：第一步在一個方向是隱式的，而在另一個方向上是顯式的；第二步則是兩個方向交換一下，即在第一個方向上為顯式，而在第二個方向上為隱式。由于只在一個方向上隱式，求解時形成的方程組是三對角方程組，所以求解大為簡化。（2）時間分裂格式基本思想是將多維問題分解為幾個一維問題。推薦精選由taylor展開