挑戰(zhàn)滿分大題專練（八）—概率（3）-2021屆高三高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)

1、挑戰(zhàn)滿分大題專練（八）概率（3）1某市為了解游客對(duì)某景區(qū)的滿意程度，市文旅委隨機(jī)對(duì)景區(qū)的1000名游客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（滿分100分），這1000名游客的評(píng)分分別落在區(qū)間，內(nèi)，游客之間的評(píng)分情況相互獨(dú)立，得到統(tǒng)計(jì)結(jié)果如頻率分布直方圖所示，視頻率為概率（1）求頻率分布直方圖中的值，規(guī)定評(píng)分不低于80分為非常滿意，分為基本滿意，低于60分為不滿意，記游客非常滿意的概率為市文旅委對(duì)部分游客進(jìn)行了繼續(xù)去旅游的意愿調(diào)查，若“不再去旅游”記1分，“繼續(xù)去旅游”記2分，假設(shè)每位游客有繼續(xù)旅游意愿的概率均為，且這次調(diào)查得分恰為分的概率為，求；（2）用分層抽樣的方法，從這1000名游客中抽取5人，組成咨詢小組若從該

2、小組中抽取2人進(jìn)行咨詢記2人中非常滿意人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（1）由頻率分布直方圖可得，解得，游客滿意的概率，由題意可知調(diào)查的人數(shù)為2人或3人或4人，若調(diào)查的人數(shù)為2人，則，若調(diào)查的人數(shù)為3人，則，若調(diào)查的人數(shù)為4人，則（2）由（1）可得非常滿意有人，故的所有可能取值為0，1，2，所以的分布列為：012數(shù)學(xué)期望2“練好射擊本領(lǐng)，報(bào)效國(guó)家”，某警校大一新生進(jìn)行射擊打靶訓(xùn)練，甲、乙在相同的條件下輪流射擊每輪中，甲，乙各射擊一次，射中者得1分，未射中者得0分已知甲、乙每次射中的概率分別為，且各次射擊互不影響（1）經(jīng)過(guò)1輪射擊打靶，記甲、乙兩人的得分之和為，求的分布列；（2）試問(wèn)經(jīng)過(guò)第2輪還

3、是第3輪射擊打靶后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的可能性更高？并說(shuō)明理由解：（1）的可能取值為0，1，2，由題意可知，所以的分布列為：012（2）經(jīng)過(guò)2輪射擊后甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分有兩種情況：一是甲累計(jì)得2分，此時(shí)乙的累計(jì)得分低于2分，二是甲累計(jì)得1分，此時(shí)乙累計(jì)得0分，所以，經(jīng)過(guò)3輪射擊后甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分有三種情況：一是甲累計(jì)得3分，此時(shí)乙的累計(jì)得分低于3分，二是甲累計(jì)得2分，此時(shí)乙的累計(jì)得分低于2分，三是甲累計(jì)得1分，此時(shí)乙累計(jì)得0分，所以，因?yàn)椋越?jīng)過(guò)3輪射擊后甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的可能性更高3近年來(lái)，手機(jī)行業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)已經(jīng)進(jìn)入白熱化階段，各大品牌手機(jī)除了靠不斷

4、提高手機(jī)的性能和質(zhì)量來(lái)提升品牌競(jìng)爭(zhēng)力，在廣告投放方面的花費(fèi)也是逐年攀升，用“燒錢”來(lái)形容毫不為過(guò)小明對(duì)某品牌手機(jī)近5年的廣告費(fèi)投入（單位：億美元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體數(shù)據(jù)見表：年份代號(hào)12345廣告費(fèi)投入5.86.67.28.89.6并隨機(jī)調(diào)查了300名市民對(duì)該品牌手機(jī)的喜愛情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)見表：喜歡不喜歡50歲以下市民5050歲以上市民6040（1）求廣告費(fèi)投入與年份代號(hào)之間的線性回歸方程；（2）是否有的把握認(rèn)為市民的年齡與對(duì)該品牌手機(jī)的喜愛度具有相關(guān)性？（3）若以這300名市民的年齡與對(duì)該品牌手機(jī)的喜愛度的情況估計(jì)整體情況，則從這300名市民中隨機(jī)選取3人，記選到喜歡該品牌手機(jī)且50歲以上

5、的市民人數(shù)為求的分布列及數(shù)學(xué)期望附：回歸直線中，其中2.7063.8416.63510.8280.1000.0500.0100.001解：（1）由題意可知，所以，所以，故，所以廣告費(fèi)投入與年份代號(hào)之間的線性回歸方程為；（2）補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡總計(jì)50歲以下市民1505020050歲以上市民6040100總計(jì)21090300所以，故有的把握認(rèn)為市民的年齡與對(duì)該品牌手機(jī)的喜愛度具有相關(guān)性；（3）由題意可知，的可能取值為0，1，2，3，從這300名市民中隨機(jī)抽取1人，是喜歡該品牌手機(jī)且50歲以上的市民的概率為，所以，故的分布列為：0123因?yàn)椋?每年的3月12日是植樹節(jié)，某公司為了

6、動(dòng)員職工積極參加植樹造林，在植樹節(jié)期間開展植樹有獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)有甲、乙兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，每箱內(nèi)各有8個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，甲箱內(nèi)有3個(gè)紅球，5個(gè)黃球，乙箱內(nèi)有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球，1個(gè)黑球，摸獎(jiǎng)環(huán)節(jié)安排在植樹活動(dòng)結(jié)束后，每位植樹者植樹每滿25棵獲得一次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，植樹每滿40棵獲得一次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，摸獎(jiǎng)?wù)呙看蚊蓚€(gè)球后放回原箱，摸得兩個(gè)紅球獎(jiǎng)50元，兩球顏色不同獎(jiǎng)20元，摸得兩黃球則沒(méi)有獎(jiǎng)金，為體現(xiàn)公平性，植樹總數(shù)低于80棵的員工，只能選擇甲、乙兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱中的一個(gè)進(jìn)行摸獎(jiǎng)；植樹總數(shù)不低于80棵的員工，可自由搭配甲、乙兩箱內(nèi)的摸獎(jiǎng)次數(shù)（1）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，該公司此次植樹活動(dòng)共有200名員工參加，且植樹棵數(shù)近

7、似服從正態(tài)分布，請(qǐng)估計(jì)植樹的棵數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；（2）某位植樹者獲得一次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，設(shè)中獎(jiǎng)金額為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列；（3）某人植樹90棵，有三種摸獎(jiǎng)方法，方法一：甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)三次；方法二：乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)兩次；方法三：甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)兩次，乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)一次請(qǐng)問(wèn)：這位植樹者選哪種方法所得獎(jiǎng)金的期望值最大附：若，則，解：（1）由題意知，所以，估計(jì)植樹的棵樹在在區(qū)間，內(nèi)的人數(shù)是68人（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，20，50，則，所以的分布列為：02050（3）方法一：甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)三次，由（2）得，所以，即方法一所得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望是方法二：乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)兩次，在乙箱中摸獎(jiǎng)一次，

8、設(shè)中獎(jiǎng)金額為隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的所有可能取值為0，20，50，則，所以的分布列為：02050所以，所以，即方法二所得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望是方法三：甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)兩次，乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)一次，即方法三所得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望是，因?yàn)椋赃x方法三所得獎(jiǎng)金的期望值最大5某種高危傳染疾病在全球范圍內(nèi)蔓延，被感染者的潛伏期約為14天，期間有很大的概率傳染給他人，一旦發(fā)病，對(duì)感染者身體機(jī)能的損害很大某市為了防止該傳染疾病繼續(xù)擴(kuò)散，疾病預(yù)防控制中心決定對(duì)全市人口進(jìn)行血液檢測(cè)以篩選出被感染者由于檢測(cè)試劑十分昂貴且數(shù)量有限，需采用混樣檢測(cè)的方式進(jìn)行篩查，即將多份樣本混合為一個(gè)樣本池進(jìn)行檢測(cè)已知感染者的檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，未被感染者則為

9、陰性，另外檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的血樣與檢測(cè)結(jié)果為陰性的血樣混合后檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，同一檢測(cè)結(jié)果的血樣混合后結(jié)果不發(fā)生改變?cè)趯?shí)際檢測(cè)中，若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則說(shuō)明樣本池中沒(méi)有感染者，不需再檢測(cè)；若為陽(yáng)性，則對(duì)樣本池中每一份樣本進(jìn)行逐一篩查（1）假設(shè)每個(gè)樣本檢測(cè)為陽(yáng)性的概率為，且每個(gè)樣本的檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立若將10個(gè)樣本混為一個(gè)樣本池，每個(gè)樣本平均需要消耗多少次檢測(cè)？（2）據(jù)柳葉刀發(fā)表的研究結(jié)果顯示，通過(guò)混樣檢測(cè)方法進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，在保證靈敏度和準(zhǔn)確性的前提下，一個(gè)樣本池允許最多混合30個(gè)樣本，且混合樣本數(shù)越少，準(zhǔn)確性越高已知某市總?cè)丝诩s有1100萬(wàn)人，該市的單日檢測(cè)能力為10萬(wàn)樣本天，預(yù)計(jì)該市每個(gè)樣本檢測(cè)為陽(yáng)性

10、的概率若該市提出“十天大會(huì)戰(zhàn)”（即在十天內(nèi)對(duì)全市所有人口進(jìn)行疾病篩查），請(qǐng)問(wèn)，在確保10天能全部檢測(cè)完該市所有人口血液樣本的前提下，一個(gè)樣本池至少要混合多少個(gè)樣本？（參考公式：，遠(yuǎn)小于解：（1）設(shè)含有10個(gè)樣本的樣本池所需的檢驗(yàn)次數(shù)為，則可以取得值為1，11，且，（1分）于是其分布列為：111（2分）于是，這個(gè)樣本池所需要的檢驗(yàn)次數(shù)的期望為：，（3分）故平均每個(gè)樣本需要的檢測(cè)次數(shù)為（4分）（2）設(shè)含有個(gè)樣本的樣本池所需的檢驗(yàn)次數(shù)為，則其分布列為：1（5分）于是，這個(gè)樣本池所需要的檢驗(yàn)次數(shù)的期望為：，（6分）故平均每個(gè)樣本需要的檢測(cè)次數(shù)為（7分）根據(jù)題意，只要，即：，（8分）注意到：，（9分）于

11、是只要，即：（10分）由于在遞減，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（11分）又，故每個(gè)樣本池至少需要13個(gè)樣本，才能完成檢測(cè)（12分）62020年疫情期間，某公司為了切實(shí)保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查為此需要抽驗(yàn)480人的血樣進(jìn)行化驗(yàn)，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案方案：將每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要驗(yàn)480次方案：按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果每個(gè)人的血均為陰性，則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性，這個(gè)人的血就只需檢驗(yàn)一次（這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次）；否則，若呈陽(yáng)性，則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn)這樣，該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為，且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立（1）設(shè)方案中，某組個(gè)人中每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為，求的分布列；（2）設(shè)試比較方案中，分別取2，3，4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）解：（1）設(shè)每個(gè)人的血呈陰性反應(yīng)的概率為，則所以個(gè)人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為，呈陽(yáng)性反應(yīng)的概