全國理數(shù)第22課平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1、第22課平面向量基本定理及坐標(biāo)表示普查講22平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1. 平面向量基本定理及其應(yīng)用a. 基底的判斷（1）（2019匯編，5分）下面幾種說法中，正確的是.（填序號） 一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底； 零向量不可以作為基底中的向量； a =砂+邑（入卩 R）可以表示平面內(nèi)的所有向量; 若ei, e2是平面a內(nèi)不共線的兩個(gè)向量, 有向量的一組基底； e1, e2是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，若 同一向量在不同基底下的表示是相同的； 若e1,e2是平面a內(nèi)不共線的兩個(gè)向量,則2e2與4勺2&可作為表示平面a內(nèi)所fe1 + G2= 0，貝U 入=尸 0；則對于

2、平面a內(nèi)的任意向量a,使a= &+ e成立的實(shí)數(shù)對（人0有無窮多個(gè).解析：錯(cuò)誤：只要是不共線的一對向量就可以作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底，基 底的選取并不是唯一的；正確：零向量和任何向量都共線，與基底的定義不符；錯(cuò)誤：1根據(jù)平面向量基本定理可知，印代必須是不共線向量；錯(cuò)誤：因?yàn)閑1 2e2= 1（4e2 2e”,所以向量e1 2es, 4e2 2&是共線向量，不能作為表示平面a內(nèi)所有向量的一組基底；正確：因?yàn)閑1, e2為一組不共線向量，若&+血2= 0,即?e1=厚2,只有當(dāng) 入=尸0時(shí)，才能成立；錯(cuò)誤：基底不同，向量的表示也不同，當(dāng)基底確定后，向量的表示才是唯一的；錯(cuò)誤：根據(jù)平面向量基本

3、定理可知，實(shí)數(shù)對（入0應(yīng)該只有唯 對.b. 用已知基底表示向量（2018四川模擬，5分）在平行四邊形 ABCD中，F(xiàn)是CD邊的中點(diǎn)，AF與BD相交于E,則 AE= ( A )B.4AB+3AD44d.|Ab+3AD1 t 2 t A.3AB+ 3AD1 T 4 T C-AB+ AD55解析：如圖，：四邊形ABCD是平行四邊形,AB / CD,FD = AB =DEBE又T F是CD邊的（2018山東淄博模擬，5分）在厶ABC中，點(diǎn)M , N分別在AB, AC上，且AM = 2MB ,AN= 3AC，線段CM與BN相交于點(diǎn)P,且AB = a, Ac= b,則AP用a, b表示為（A ） 5-41

4、A. AP = 9 a+ 3 b-42B.AP = 9a +t 24C.AP = 9a + 3bt 43D.AP = 7a + 7b解析：如圖，I M , P, C 三點(diǎn)共線，.可設(shè) AP = xAM + (1 x)AC. / AM = 2MB , AM2 -t -t-t-t 2 -t-t 23AB.V AB = a, AC = b,. AP = xAB + (1 x)AC= xa + (1 x)b.v B, P, N 三點(diǎn)共線，.可t tt t 3 t tt3 t3t-2匸3x,設(shè) AP =於 B + (1；)AN. / AN= AC,： AP=4B+ (1 力 *AC =淪 +1(1 為

5、b.又T AP= |xa + （1 x）b,.由平面向量基本定理，得15 （1 入=1 x,解得 x= I，代入 AP= |xa + (1 x)b,得 AP= 4a + gb.故選A.C.選擇合適的基底表示向量（4）（經(jīng)典題，5分）如圖22-2所示，已知點(diǎn) G是厶ABC的重心，過G作直線與AB, AC1兩邊分別交于 M , N兩點(diǎn)，且AM = xAB, An= yAC，則乞的值為 -x+ y3解析：/ M , G , N 三點(diǎn)共線， AG= mAM + (1 m)AN.又AM = xAB, AN = yAC, AG = mxAB + (1 m)yAC. / G 是厶 ABC 的重心， AG =

6、 3(AB+ AC).又 AG= mxAB+ (1 m)yAC,1根據(jù)平面向量基本定理，得mx= （1 m）y = -,3易知m 0,1,丄3m，1y=1 1xy 3m 3 (1 m)x+ y=丄 +13m 3 (1 m)19m (1 m)13 (1 m)+ 3m 39m (1 m)2. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 a.向量坐標(biāo)的求法（2018廣東中山模擬,12 分)已知 A( 2, 4), B(3, 1), C( 3, 4).設(shè)AB = a, BC=b, CA = c,且 CM = 3c, CN = 2b.(I )求 3a + b 3c;答案：(6, 42)解：由已知得 a= AB = (3, 1)

7、 ( 2, 4) = (5, 5),b= BC= ( 3， 4)(3，一 1) = (一6，一 3),c= CA= ( 2 , 4) ( 3, 4) = (1, 8). (3 分)3a+ b 3c= 3(5 , 5) + ( 6, 3) 3(1, 8) = (15 6 3, 15 3 24)= (6 , 42). (5 分)(n )求滿足a= mb+ nc的實(shí)數(shù)m , n;解:/ a= mb+ nc,- (5 , 5) = m( 6, 3) + n(1, 8) = ( 6m+ n, 3m + 8n),-6m+ n=5,-m= 1 , 解得*(9分)3m+ 8n = 5 ,n= 1.答案：m=

8、1, n= 1（川）求與向量MN共線的單位向量.答案:解：/ CM = 3c= (3 , 24) , CN= 2b= (12 , 6),MN = CN CM = (9, - 18), |Mn|= .92+( 18) 2= 9 5.(10 分)與向量MN共線的單位向量為衛(wèi)丄=豳，2邁 或一衛(wèi)丄=(亜,塑(12分)|mn|I5|mN| I 55 丿b .向量共線的坐標(biāo)表示及運(yùn)算(6) (2018 全國川，5 分)已知向量 a = (1, 2), b= (2, 2), c= (1,為.若 c/ (2a + b)，則1入=.2解析：2a + b= 2(1, 2) + (2, 2) = (4, 2),因

9、為 c= (1, ?),且 c/ (2a+ b),所以 41X21=0，解得入=3. 坐標(biāo)法在平面向量中的應(yīng)用a .借助網(wǎng)格線建立平面直角坐標(biāo)系（7）（經(jīng)典題，5分）已知向量a, b, c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖22 7所示，若c=尬+r ”入 山（入 讓R），則一=_4解析：以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,則 a= (0, 0) (1, 1)= ( 1, 1), b= (6, 2), c= (5, 1) (6, 2)= ( 1, 3).T c=掃+ (!), ( 1 , 3) = X 1, 1)+ p(6 , 2),即(一1, 3)=(入 + 6 入 + 2 ,X+ 6

10、 != 1 ,，/+ 2 = 3 ,=2 ,解得1尸一2 一= 4.2.3Vb .借助已有的(或隱含的)垂直關(guān)系建立平面直角坐標(biāo)系(8) (2018福州模擬，5分)如圖22- 8所示，半徑為1的扇形AOB的圓心角為120 點(diǎn)C 在弧 AB 上，且/ COB= 30若OC = ?OA+ 2 QB，貝U H 尸12，入一尸0,V3 q 1,解得 ?d- q解析：根據(jù)題意，可得 OA丄OC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA, OC所在直線分別為x軸、y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則有A(1,0),C(0,1),B(cos120 , sin120 )，即B-1，呂弓， OA = (1, 0), OC = (

11、0, 1), Ob =-寺 于.由 OC = ?OA+ 2 QB,得(0, 1) = ?(1 , 0) + 2D. 2 .2, 22c. 以圓心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(9) (2018四川校級聯(lián)考，5分)在直角梯形 ABCD中，AB丄AD , AD / BC , AB= BC = 2AD=2, E, F分別為BC, CD的中點(diǎn)，以A為圓心，AD為半徑的半圓分別交 BA及其延長線 于點(diǎn)M , N,點(diǎn)P在MDN上運(yùn)動(如圖22-9).若AP=瓜！+ QF，其中 入 讓R，貝U 2入一5q 的取值范圍是(C )A . 2, 2C . 22, 2解析：由于AB丄AD，故以AB, AD所在直線分別為

12、x軸、y軸，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.AB = BC= 2AD = 2,E, A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 1), E(2, 1), F 1 ,號.點(diǎn) P 在m6n 上運(yùn)動，圓的半徑為 1, 設(shè) P(cos a, sin%)(0T Ap = ?AE+ 遲F, - (cos a,sin a)= ?(2, 1) + 卩-1, 3 =2 X i= cos a,3. 解得入 + q i = sin a,1 3X= sin a+ ccos a,481 2$in a qCos a,- 2 X 5 i= 2cos a 2sin a=2 . 2sin a+ 3j

13、5 .T 0 1 - - 1 - - - 1 - - AE = 2(AO+ AD) = 2(AO+ AO + OD)= 2(2AO+ OD).1 f 1 f 1 f 1 又.AO= 2AC= 2a, OD = ?BD = qb.1 1 1 12 x 2a+2 b = 2 a+ 4 b.2 13a+尹f 4 f 4 1 AF=4AE= 41a+ 故選B.3. (2018珠海二模,5分)已知點(diǎn)DABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 AD = 3AB+ 4AC,若點(diǎn)E為直線BC上一點(diǎn)，且ED = AE，貝U入的值為(C )解析：點(diǎn)E為直線BC上一點(diǎn)，設(shè)BE= xBC, AE = AB+ BE = AB + xB

14、C / ED = ?Al, Ad = Ae + Ed = (1 + ?)Ae = (1 + ?)(Ab+xBC),即 Ad =(1 + ?)Ab +(1+ 為xBC.t BC = AC AB, AD = (1 + 為AB + (1 + 為x(AC AB) = (1+ 為(1 x)AB + (1 + 為xAC.又 Ad = 3Ab+ 4Ac,由平面向量基本定理，得P ( 1幻=3,1( 1+ X) x= 4,解得匸6.故選C.4. (2018湖南二模,5分)如圖22- 11,正方形ABCD中，M , N分別是BC, CD的中點(diǎn),若Ac = AM +踴，則圖 22 - 118B.8C.6解析：以A

15、B, AD所在直線分別為x軸、y軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖 所示.設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 2,貝U A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2). v M , N 分別是BC, CD的中點(diǎn)， M(2, 1), N(1 , 2), AC = (2, 2), AM = (2 , 1) , BN= ( 1 , 2).v AC = ?AM + 啟 (2, 2) = ?(2, 1) + K 1, 2)，即(2, 2)= (2 仏 ArF 2 (j),2尸5故選D.5. (2018唐山二模，5分)平行四邊形 ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，若AB = AM + QB,

16、 貝 y 入 + j=1.解析：(法一：基底法)如圖，設(shè) Ab= a, Ad = b. V M 為 BC 中點(diǎn)， AM =切忌 + AC) = (AB+ AB + AD)=g(2AB1 -1+ AD)= AB + ?AD = a+ 尹v DB = AB AD = a b,又 v AB= AAM+ JB ,入 a + b + p a b) = (?d- pa + 2 入P入 +尸1,1 ?d p= 1.2 p= 0,（法二：等和線法）如圖，過點(diǎn) A作AN / DB ,交CB的延長線于點(diǎn) N./ AN / DB , AD / NB ,四邊形 ANBD 為平行四邊形， DB = AN,. AB= ?

17、AM+ pAN. M , B, N三點(diǎn)共線,5 分）在直角梯形 ABCD 中，AB 丄 AD , DC/ AB , AD = DC = 1,AB= 2, E, F分別為AB, BC的中點(diǎn)，以 A為圓心，6. （2018廣東珠海聯(lián)考,AD為半徑的圓弧 DE的中點(diǎn)為P（如圖22 12所示）.若AP =疋D + pAF，其中 入 吐R,則入=(B )圖 22 - 12B.4C. ,23解析：示的平面直角坐標(biāo)系.則 A(0, 0), B(2, 0), C(1,因?yàn)锳B丄AD，所以以A為原點(diǎn)，AB, AD所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所 E, F 分別為 AB, BC 的中點(diǎn)， E(1 , 0), F

18、 |,打點(diǎn)P為弧DE的中點(diǎn)，/ PAE= 45又 AP= 1 , PED = (- 1,1) , AF = 2 , 2 ./ AP = ?ED + maF , 舟,2=卅 |m,解得孑 F-1 , 1) + 卩 3 *, 1 , V,11 二入話；故選B.2 4 尸2 ,的取值范圍為97. （2018浙江嘉興模擬，4分）如圖22- 13 ,已知矩形 OABC中，OA = 2 , OC = 1 , D在OA的延長線上，且 AD = 1,若點(diǎn)P在厶BCD中（包括邊界），且OP= ODC + 23OA ,貝V a+ |p圖 22 - 13解析：(法一)以0為原點(diǎn)，以0D , OC所在直線分別為x軸、

19、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，貝U 0(0，0)，A(2, 0)，B(2，1)，C(0，1)，D(3, 0),設(shè) P(x, y),. OP= (x, y), OC =(0, 1), OA = (2, 0) OP =aOC+1 POA, (x ,y) =a0 ,1) + 2 直2 ,0) = (3 ,a，二x=3 y = a,33- a+ 23x+y.39由圖可知，z= 2X + y在D點(diǎn)處取得最大值2，在C點(diǎn)處取得最小值1, a+ 3 B的取值范圍為1, I . 1- 1 -（法二）如圖，在OA上截取0E,使得0E= 3OA,連接CE,則0P= OC + - pOA= OC +3 f2 30E

20、.過點(diǎn)P作CE的平行線I.點(diǎn)O和直線I在直線CE的異側(cè)，3系數(shù)和為正數(shù)，且I離CE越遠(yuǎn)，a+尹越大.一3當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至點(diǎn)C時(shí)，a+ 3 3= 1,此時(shí)為最小值；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至點(diǎn)D時(shí)，a+ 2 3= ODE=2=號，此時(shí)為最大值.33 a+ 2 3的取值范圍為課后提分練22平面向量基本定理及坐標(biāo)表示A組（鞏固提升）1. (2018日照模擬，5分)已知向量a = (1, 2), b= (-3, 2)，若ka + b與a 3b平行，1則k的值為 -._3解析：因?yàn)?a = (1, 2), b= ( 3, 2),所以 ka+ b= (k 3, 2k+ 2), a 3b= (10, 4) 由1ka+ b與

21、a 3b平行，得一4 (k 3) 10 (2k+ 2)= 0,解得 k= 3.2. （2018河南鄭州期末，5分）已知向量a, b, c都不平行，且 入a+型+乃c= 0（乃，D, R）,則（C ）A .dd沁一定全為0B 入，A ,k中至少有一個(gè)為0C.k,k,k全不為0或全為0 D . k,k,k的值只有一組解析：在厶ABC中，設(shè)AB= a, BC = b, CA= c,貝U a, b, c都不平行，且 a+ b+ c= 0, 排除A , B;且有2a+ 2b+ 2c= 0,排除D.故選C.3. (2018 福州期末，5 分)已知 a= (1, 2), b= ( 1, 1), c= 2a

22、b,則 |c|= ( B )A. ,26 B. 3 .2 C. 10 D. .6解析：/ a= (1, 2), b= ( 1, 1),. c= 2a b= (3, 3) ,. |c|= 9 + 9= 3 2，故選 B.4. （2018南昌模擬，5分）在厶ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn) E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AD上，且AF = 2DF，設(shè)AB=a, BC = b,則 EF =(D )2 12 11 11 1A. 3a 6bB.3 a 2 b% a -少D.-6 b解析：如圖，EF = AF Al.點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，f 2 f 1 fAF = 2DF , EF = 3AD AC,又點(diǎn)D是BC的

23、中點(diǎn)， AD=Jab+ac， EF = | ab+推殊=ab aC.f f ff 1 f 1 f f1 f 1 fAC = AB+ BC,： EF = 3AB 6(AB+ BC)= gAB BC.TAB = a, BC= b,： EF = Ja 1 b.故選 D.6 65. （2018揭西模擬，5分）已知四邊形ABCD為正方形，BP = 3CP , AP與CD交于點(diǎn)E,若PE = mPC+ nPD,貝U m n= ( D )21解析：（法一）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系./ EC / AB,3CP,.一 =一 =-， AB= CD = 3CE.BP AB 3設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 3,則

24、 P 3, 2 , C(3, 0), D(0, 0), E(2, 0), PE= 1 , j ,PC= P，2)陽=l- 3，2 .) PE = mPC + nPD, 1, I = m 0, | + n 3, | = 3n, |m+|n ,2-1 一 3n,呼，1即333 解得 彳- m n= 3故選D.3 = 3m+ 3n,.n = 3,3(法二)如圖，由法一可知， AB = CD = 3CE , DE : CE= 2 ： 1 , PE= 3北 + *PD.3 3又 PE= mPC + nPD，根據(jù)平面向量基本定理，得2m= 3,1- m n = 故選 D.若B, O, D三點(diǎn)共線，則t的值

25、為（A ）1A.3B.4c.2 解析：/AD = tAC,a OD OA = t(OC OA),. OD= tOC + (1 t)OA. / 20A + OB+ OC = 0, BO = 20A + OC. B, O, D 三點(diǎn)共線， BO = XDD , BO = 2OA+ OC =開tOC + (1 t)OA = 2(1 一 t) OA+ 入OC.2= X (1 t) ,1根據(jù)平面向量基本定理，得解得t =1故選A.11= X,37. （2018江西六校聯(lián)考，5分）在直角 ABC中，AC= BC, D在AB邊上，且滿足 CD =tCA + (1 t)CB，若/ ACD = 30 貝V t

26、的值為(C )A.,3 12D.3+ 12.3 1 ，丁 . - CD =,Ca= (1, 0), Cb= (0, 1)./ CD = tCA + (1 t)CB= (t , 1 t) , ,違一1 = (t , 1 t) , t = 3一嚴(yán)故選 C.解析：（法一）由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)AC = BC = 1,貝U C(0 , 0), A(1, 0) , B(0 , 1),易求得直線AB的方程為x + y= 1,直線CD的方程為y=x.聯(lián)立兩直線方程,解得 x= 3 23 , y= ； 1,二d（法二）如圖，： ABC為直角三角形，AC= BC，/ ACD = 30ADC =

27、105設(shè) AC= BC = 2,貝U AB= AC2+ BC2= 2.AD在厶ADC中，由正弦定理，得ADACsin/ ACD sin / ADCCAB = Z CBA = 45 即AD21 sin 105 2解得 AD = 2S =西1, BD = AB AD = 3 3,CB. t = 3 2.故選 C.8. （2018廣東陽江市模擬，5分）已知a, b, c分別是點(diǎn) M ABC 的重心.若 aMA + bMB + -3cMC = 0，貝U C = （ D ）3ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊,na. 4nb.2解析：點(diǎn) M 為厶 ABC 的重心， MA + MB + MC = 0, /

28、 MA = - MB IMC.v aMA + bMB+ 扌CMC = 0, a（ MB MC）+ bMB + 于cMC = 0，即（b a）MB +C = o.t Mb ,b a= 0，a2 + b2 c2設(shè)a = 1,則b= 1, c= 3,利用余弦定理可得 cosC =a = 0.MC不共線，2abAQ1，: 0Cn, C=于故選 D.9. （2018安徽六安一中月考，5分）在矩形ABCD中，AB= 1, AD = ,3, P為矩形內(nèi)一點(diǎn), 且AP =寧，若AP = AB+ pAD（入卩 R），則+ 3卩的最大值為（C ）a.|_6c.2,6 + 3,2D. 4解析：（法一）過點(diǎn)P分別作設(shè)

29、/ FAE = 9, 0 9n 則 AE= APcos9= cos9, AF = PE = APsin 9=sin 99+,J3.AE - 3 AF Tsin 9 1 .-AB = 1, AD = 3 , = cos 9 = - sin 97 AB 29 AD 羽 29 AP = AE+ AF = -cos(AB + *sin (AD.亠 =2 cos 9，36入+ 治尸為(cos 9+ sin 9) = sin(j= qsin 9n . n “ n 3 n .2.- 92，- 4 9+ 4T，萬 AP =於B +(AD = 4B+3pAE(入AF取得最小值時(shí)， H J3卩=AP取得最大值.A

30、FAP 3入 +3 尸af.：ap=- ,- 當(dāng)當(dāng)AF丄BE時(shí)，AF取得最小值. AB = AE= 1 , AF =于.此時(shí)10. (2018福建模擬，12分)在直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn) A(1, 1) , B(2 , 3) , C(3 , 2), 點(diǎn)P(x , y)在厶ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上，且OP= mAB+ nAC(m , n R).(1)若 m= n = 3,求 |OP|；答案：|OP|=2 2解：/ m= n = 2 , Ab= (1, 2) , Ac= (2 , 1) , (2 分) - OP = I Ab + 3 ac= (2 , 2) , (4 分)- |OP|=22+ 22= 2.2.(5 分)用x, y表示m n,并求m n的最大值.答案：m n= yx,最大值為1解：/ 0 , y0.- - - - - - - 11 11又AM = mAB, AN= nAC,. AO = xmAB + ynAC,. xm