【公開課】拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）

1、2.4.22.4.2拋物線拋物線的簡(jiǎn)單幾的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)何性質(zhì)(2)(2)復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧解法解法4 4ABFA1B1KH同理同理1cospFB 221cos1cos22 2 8sinsin 45ppABp 1cospFA 2112222121234204.(),.:.:,ypx pFlA x yB xypx xy yp 例例拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦問問題題問問題題已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物線線于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)求求證證212221212221212222244:,()y ypyyxxppy yPx xP 解解 由由問問題題 的的解解法法知知: :211222

2、305,.):(ypx pFlA x yB xyAB已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物線線于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)求求證證例例拋拋物物以以為為直直線線的的焦焦徑徑的的圓圓點(diǎn)點(diǎn)弦弦與與問問題題問問題題準(zhǔn)準(zhǔn)線線相相切切111111222:, ,.ABMA B MA B MAABBAFBFABMM解解 設(shè)設(shè)的的中中點(diǎn)點(diǎn)為為過過分分別別作作準(zhǔn)準(zhǔn)線線的的垂垂線線垂垂足足分分別別為為則則結(jié)結(jié)論論得得證證211222011236,.:.():ypx pFlA x yB xyFAFBp已已知知過過拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交例例拋拋物物線線于于兩兩拋拋物物線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)弦弦

3、問問題題題題點(diǎn)點(diǎn)問問求求證證222222111111111222220411112:,cos,coscoscos,.:,(),()A BxR SlPEREFFRPAFAFAFAFPBFPFAFBplpyk xlkypxk pk xp kxpFAFBxx解解法法過過作作 軸軸的的垂垂線線 垂垂足足分分別別為為直直線線 的的傾傾斜斜角角為為同同理理解解法法若若直直線線 的的斜斜率率不不存存在在 結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立若若直直線線 的的斜斜率率存存 設(shè)設(shè)為為則則222pp2112211113720,.,.(,.):,ypx pFlA x yB xyA BA BAFBF已已知知過過拋拋物物線線的的焦

4、焦點(diǎn)點(diǎn) 的的直直線線 交交拋拋物物線線于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)過過分分別別作作準(zhǔn)準(zhǔn)例例拋拋物物線線的的焦焦線線的的垂垂點(diǎn)點(diǎn)弦弦問問題題問問題題線線 垂垂足足分分別別為為則則1111111111111190:,/ /,.AAAFAAFAFAAAOFAAFAFOAFOAFAB FOB FBAFBAFBF 解解同同理理 212(2).y yp212(1).4px x引伸引伸: 對(duì)于對(duì)于y2=2px(p0),過焦點(diǎn)過焦點(diǎn)F的弦為的弦為AB,且且 A(x1,y1),B(x2,y2), 則：則：OFxylB(x2,y2)A(x1,y1)122(4)2(sinABxxppAB為為直直線線的的傾傾斜斜角角）112(3).

5、AFBFp1(1)2pAFx212(5)4px x 212(6)y yp 12(3) ABxxp2(2)2pBFx(4)2 ()ABxABp 拋拋物物線線軸軸徑徑時(shí)時(shí)，的的通通1.過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交線相交,兩交點(diǎn)為兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則：則：提煉總結(jié)提煉總結(jié)(7)以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切相切. 以焦半徑以焦半徑|PF|為直徑的圓與為直徑的圓與y軸相切軸相切. 以以A1B1為直徑的圓與為直徑的圓與AB相切于相切于FA1OFxylB(x2,y2)A(x1,y1)B1問題引入問題引入你能

6、說出直線你能說出直線與拋物線位置關(guān)系嗎？與拋物線位置關(guān)系嗎？ 思考思考1 1：判斷直線：判斷直線 y = 6y = 6與拋物線與拋物線 y y2 2 =4x=4x的的位置關(guān)系及求交點(diǎn)坐標(biāo)？位置關(guān)系及求交點(diǎn)坐標(biāo)？相交相交(9,6)問題問題: :直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)都有一個(gè)交點(diǎn)嗎？直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)都有一個(gè)交點(diǎn)嗎？注意注意, ,當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)有一個(gè)交點(diǎn) xyO :,12lyk x 解 由題意 設(shè)直線 的方程為2124yk xyx 由方程組 2 2消消去去x x得得,ky -4y+4 2k+1 =0 1,ky -4y+4 2k+1 =

7、0 1 1 當(dāng)k =0時(shí),由方程 1 得y =1214 ,.4xx將代入得y =1y1,14l這時(shí)直線 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) 22k0116 21kk 當(dāng)時(shí)，方程的判別式為2(2)0210,112kkk 當(dāng)時(shí)即解得 2(1)當(dāng)=0時(shí),即2k +k-1=0，1解得k =-1,或k =21于是當(dāng)k =-1,或k =時(shí),方程 1 只有一個(gè)解,從而2方程組只有一個(gè)解.此時(shí)直線l與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)。1綜上所述：當(dāng)-1k 且k0時(shí)，直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；21 當(dāng)k =-1或k =或k =0時(shí)，直線和拋物線有一個(gè)交點(diǎn)；21 當(dāng)k 時(shí)，直線和拋物線沒有交點(diǎn)。2 1于是當(dāng)-1k時(shí),方程 1 有兩個(gè)解,從而2

8、方程組有兩個(gè)解.此時(shí)直線l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)。2(3)0210,112kkk 當(dāng)時(shí),即解得k或 1 1于于是是當(dāng)當(dāng)k -1k k 時(shí)時(shí), ,方方程程 1 1 沒沒有有解解, ,從從而而2 2方方程程組組沒沒有有解解. .此此時(shí)時(shí)直直線線l l與與拋拋物物線線沒沒有有交交點(diǎn)點(diǎn)?？偨Y(jié)、判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一）總結(jié)、判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一）把直線方程代入拋物線方程把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直線與拋物線的直線與拋物線的對(duì)稱軸平行（重合）對(duì)稱軸平行（重合）相交（一個(gè)交點(diǎn)）相交（一個(gè)交點(diǎn)） 計(jì)計(jì) 算算 判判 別別

9、 式式0=00=00相交相交相切相切相離相離(2條條)（4條）條）13422yx變式一：把變式一：把拋物線拋物線換成橢圓換成橢圓 結(jié)果如何？結(jié)果如何？（3條）條） 21p(0,2)y4x過點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條？15422yx變式二：把變式二：把拋物線拋物線換成雙曲線換成雙曲線 結(jié)果結(jié)果 如何？如何？練習(xí)：練習(xí)：2 求過定點(diǎn)求過定點(diǎn)P（0，1）且與拋物線）且與拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程.2xy2由由 得得 0 x2xy20 x0y故直線故直線 x=0與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).解解: (1)若直線斜率不存在若直線斜率不存在,則過點(diǎn)

10、則過點(diǎn)P的直線方程是的直線方程是 x=0.1kxy2xy221由方程組由方程組 消去消去 y 得得 (2)若直線斜率存在若直線斜率存在,設(shè)為設(shè)為k,則過則過P點(diǎn)的直線方程是點(diǎn)的直線方程是011)x2(kxk22當(dāng)當(dāng) k=0時(shí)，時(shí)，x= ,y=1. 故直線故直線 y=1 與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn) .y=kx+1,xyO當(dāng)當(dāng)k00時(shí)，若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則時(shí)，若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則.21k0,4k1)4(k22此時(shí)直線方程為此時(shí)直線方程為1.x21y綜上所述，所求直線方程是綜上所述，所求直線方程是 x=0 或或 y=1 或或1.x21y例例5、已知拋物線、已知拋

11、物線C：y24x，設(shè)直線與拋物線兩交點(diǎn)為，設(shè)直線與拋物線兩交點(diǎn)為A、B，且線段，且線段AB中點(diǎn)為中點(diǎn)為M（2，1），求直線），求直線l的方程的方程.2yy4,xx),y,B(x),y,A(x ,0k2)-k(x1-yll21212211則坐標(biāo)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)）（的方程為斜率一定存在，故可設(shè)解：由題意可知，直線）（得消而由1 08k-44y-kyx )2(14xy22xky22k4yy 21k由韋達(dá)定理可得01128k)-k(44161）的判別式此時(shí)，方程（03-y-x22),-2(x1-y即的方程為所以直線l3：例例5、已知拋物線、已知拋物線C：y24x，設(shè)直線與拋物線兩交點(diǎn)為，設(shè)直線與拋

12、物線兩交點(diǎn)為A、B，且線段，且線段AB中點(diǎn)為中點(diǎn)為M（2，1），求直線），求直線l的方程的方程.2yy4,xx ,xx)y,B(x),y,A(xl2121212211則）（斜率一定存在，故可設(shè)直線解法二：由題意可知，2444y212121222121yyxxyyxyx由2kAB即03-y-x22),-2(x1-y即的方程為此時(shí)直線l0 06-2y-yx 03-y-x24xy22得消由03-y-x22),-2(x1-y即的方程為所以直線l說明：說明：中點(diǎn)弦問題中點(diǎn)弦問題的解決方法：的解決方法：聯(lián)立直線方程與曲線方程，用韋達(dá)定理聯(lián)立直線方程與曲線方程，用韋達(dá)定理點(diǎn)差法點(diǎn)差法3：2 2例例8 8 已

13、已知知拋拋物物線線x =2y,x =2y,過過點(diǎn)點(diǎn)Q(0,2)Q(0,2)作作一一直直線線交交拋拋物物線線于于A A、B B兩兩點(diǎn)點(diǎn)，試試求求弦弦ABAB中中點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡方方程程. .解法解法1 1：),(),(),(2211yxyxyxMBAMAB、點(diǎn)的坐標(biāo)為、，并設(shè)的中點(diǎn)為設(shè)弦根據(jù)題意，有22222211xyxy)()(2212121xxxxyy得,2,2121xxxxx且又. 2,22xyxyxk即有聯(lián)立得2222xyyx0, 042則x. 22xyAB的中點(diǎn)的軌跡方程為弦yxoQ. .4：改為改為Q（0，-2）？）？解法2：2)2 , 0( kxyABQ的方程為的任意一條弦設(shè)過04

14、22222kxxyxkxy，得聯(lián)立可得的橫坐標(biāo)，由韋達(dá)定理、兩個(gè)端點(diǎn)分別是弦、根此一元二次方程的兩個(gè)BAABxx11kxx221.,),(xkkxyxMAB即則有的中點(diǎn)設(shè). 22 xy代入直線方程整理得01642k故式有兩個(gè)不同的實(shí)根，又因?yàn)? 22xyAB的中點(diǎn)的軌跡方程為弦.,RxRk則有即4：2例4 設(shè)P是拋物線y = x 上的點(diǎn),若P點(diǎn)到直線2x-y-4=0的距離最小,求P點(diǎn)的坐標(biāo).200:,Px x解 設(shè) 點(diǎn)坐標(biāo)為2002002452455xxxx由點(diǎn)到直線的距離公式得d=205135x3 550min3 5:1,5xd由上式可知 當(dāng)時(shí)1,1 .P 點(diǎn)坐標(biāo)為練習(xí)練習(xí)5yox:,240,xyPP解 如圖 平移至過點(diǎn) 與拋物線相切 則點(diǎn) 到直線的距離最短.20.Pxym過點(diǎn) 的直線方程為220 xymyx由得220,xxm440,1;mm 得22101,1xyyx 解方程組得P5：),0 , 8(322得焦點(diǎn)坐標(biāo)為由解：xy ，、設(shè)),(),(2211yxCyxB),0 , 8(),8 , 2(三角形重心是