人教版高中數(shù)學(xué)《平面向量》教材分析

1、第五章平面向量教材分析一、平面向量在教材中的地位和作用1、 地位（1）改變傳統(tǒng)教材結(jié)構(gòu)在幾十年來(lái)的國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育改革中，向量進(jìn)入中學(xué)是一個(gè)重要的特征。平面向量的集中講授，在我國(guó)高中數(shù)學(xué)教材中是首次，其目的之一是系統(tǒng)地學(xué)習(xí)向量知識(shí)，目的之二是以向量知識(shí)作為工具，改變傳統(tǒng)的綜合幾何、平面三角等內(nèi)容的講法。向量、向量的加法與減法在傳統(tǒng)教材的復(fù)數(shù)中講授，線段的定比分點(diǎn)、平面兩點(diǎn)間的距離、平移在傳統(tǒng)教材在解析幾何中講授，正弦定理、余弦定理在傳統(tǒng)教材的三角中講授，新教材把這些內(nèi)容糅合到一章。用向量的觀點(diǎn)來(lái)處理，大大地改變了傳統(tǒng)教材的編排體系。按照新教材的編排體系，平面向量作為工具性內(nèi)容在安排上盡量提前。由

2、于介紹向量的數(shù)量積要用到有關(guān)三角知識(shí)，因此將平面向量安排在緊隨三角函數(shù)之后作為第五章。又由于講斜三角形解法可以用到平面向量，新教材又作了將斜三角形解法移入平面向量這一章的調(diào)整。需要指出的是，在平面向量這章還運(yùn)用向量方法解決了解析幾何入門的有關(guān)知識(shí)，為學(xué)習(xí)解析幾何做好了準(zhǔn)備。同時(shí)，在后續(xù)的第七章直線與圓的部分向量知識(shí)立刻就能應(yīng)用，在學(xué)習(xí)立體幾何之后安排空間向量，讓向量的應(yīng)用得到完善和深化。這樣的安排是科學(xué)的、合理的。（2）改變傳統(tǒng)教材內(nèi)容用向量的觀點(diǎn)來(lái)處理，由于向量具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介。因此，向量的引入不僅使高中數(shù)學(xué)教材采取混

3、編體系成為一件別無(wú)選擇的事，而且使它在研究其它許多問(wèn)題時(shí)獲得了廣泛的應(yīng)用。新高中數(shù)學(xué)課程為了有利于精簡(jiǎn)教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)效益，有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容的相互聯(lián)系與知識(shí)的綜合運(yùn)用，將代數(shù)、幾何等內(nèi)容綜合編排。向量的引入，使高中數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容的聯(lián)系加強(qiáng)了；使高中教學(xué)內(nèi)容與大學(xué)內(nèi)容銜接更加緊密。 2、作用（1）工具性和方法性向量帶有基礎(chǔ)知識(shí)的特點(diǎn)，是一種工具性和方法性知識(shí)。向量有一套優(yōu)秀的運(yùn)算系統(tǒng)，由于它提供的向量法、坐標(biāo)法，使其成為研究高中數(shù)學(xué)的重要方法。縱觀平面向量這一章，如果除去應(yīng)用性知識(shí)，純屬向量知識(shí)約占10課時(shí)，教材上大量的篇幅是突出向量的應(yīng)用，突出向量的工具性和方法性。例如用向量方法推出

4、線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、平面上兩點(diǎn)間距離公式、平移公式、正弦定理、余弦定理，而且與物理學(xué)中力學(xué)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)相互呼應(yīng)。在后續(xù)的解析幾何、立體幾何、復(fù)數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，向量仍將繼續(xù)發(fā)揮其重要作用。僅花費(fèi)10課時(shí)的代價(jià)換來(lái)這么大的效益是十分合算的。向量有一套優(yōu)良的運(yùn)算系統(tǒng)，幾何中有關(guān)長(zhǎng)度、角度的計(jì)算，平行、垂直的判定與證明，很多場(chǎng)合下都可以化歸為向量的運(yùn)算來(lái)完成，教材中正弦定理、余弦定理的證明、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的導(dǎo)出，就是這方面典型的例子。這些體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化歸和數(shù)形結(jié)合的思想。向量“形”、“數(shù)”兼?zhèn)?，是?shù)形結(jié)合的橋梁。在引進(jìn)向量知識(shí)時(shí)，教材充分運(yùn)用幾何圖形直觀的特點(diǎn)，而在解決幾何問(wèn)題時(shí)，又注意充分運(yùn)用

5、向量法與坐標(biāo)法，處處滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。（2）溝通代數(shù)與幾何向量是除函數(shù)外的另一條主線，使幾何代數(shù)化、符號(hào)化、形式化。向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角的工具。新教材引進(jìn)向量，充分體現(xiàn)了新課程理念。由于它的引入，使幾何與代數(shù)變得更加緊密，一維二維和三維過(guò)度更加順暢；有效克服了繁瑣和技巧導(dǎo)致的“雙基異化”。它是知識(shí)、是方法、是思想。（3）突出新教材的理念注重應(yīng)用向量的概念是從生活實(shí)踐中抽象出來(lái)的，反過(guò)來(lái)又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)中有關(guān)問(wèn)題的重要工具。教材中十分注重理論和實(shí)際的結(jié)合，更加注重應(yīng)用。用例如從速度、位移、力、加速度等引進(jìn)向量的概念，從力做功引入向量的數(shù)

6、量積。關(guān)于向量應(yīng)用的實(shí)例課本上比比皆是，涉及到力、速度的分解與合成，各種測(cè)量問(wèn)題，工程技術(shù)中的曲柄連桿機(jī)構(gòu)問(wèn)題等等。課本上還安排了有關(guān)實(shí)習(xí)作業(yè)。值得一提的是，教材在本章結(jié)束時(shí)安排了一個(gè)研究性課題向量在物理中的應(yīng)用，要求將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即把物理量之間的關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)模型，然后再通過(guò)對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型的研究來(lái)解釋日常生活中相關(guān)的物理現(xiàn)象，這已經(jīng)不是將數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單地套用到實(shí)際問(wèn)題中，而是充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)涵和它的深刻性，并能有力地培養(yǎng)同學(xué)們的應(yīng)用能力和探索能力。二、主要內(nèi)容及知識(shí)體系向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來(lái)的，反過(guò)來(lái)，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，

7、向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，通過(guò)向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過(guò)向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問(wèn)題。 向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用。因此，本章在介紹向量概念時(shí)，重點(diǎn)說(shuō)明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運(yùn)算法則，包括加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則等。之后，又將向量與坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，把關(guān)于向量的代數(shù)運(yùn)算與數(shù)量(向量的坐標(biāo))的代數(shù)運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，這就為研究和解決有關(guān)幾何問(wèn)題又提供了兩種方法向量法和坐標(biāo)法。 本章共分兩部分。第一部分是“向量及其運(yùn)算”；內(nèi)容包括向量的概念、向量

8、的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；線段的定比分點(diǎn)、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平移等。 第二部分是“解斜三角形”；這一部分可以看成是向量知識(shí)的應(yīng)用，內(nèi)容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形應(yīng)用舉例和實(shí)習(xí)作業(yè)等。 正弦定理、余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間關(guān)系的兩個(gè)重要定理，教科書(shū)通過(guò)向量的數(shù)量積把三角形的邊與角聯(lián)系起來(lái)，推導(dǎo)出了這兩個(gè)定理，并運(yùn)用這兩個(gè)定理初步解決了測(cè)量、工業(yè)、幾何等方面的實(shí)際問(wèn)題，特別在這部分一中，還安排了一個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)，從而使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決的能力。 為擴(kuò)

9、大學(xué)生的知識(shí)面，本章中還安排了兩個(gè)閱讀材料，即“向量的三種類型”和“人們?cè)缙谠鯓訙y(cè)量地球的半徑”。 本章重點(diǎn)：向量的概念，向量的幾何表示和坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積，線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平移公式，解斜三角形等。本章的難點(diǎn)：向量的概念，向量運(yùn)算法則、平面向量基本定理的理解和運(yùn)用、解斜三角形等。本章的主要內(nèi)容：向量的概念，運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，線段的定比分點(diǎn)，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的應(yīng)用。知識(shí)體系如下圖所示： 三、向量在高考中的地位1、 高考必考內(nèi)容每年高考都有不同程度的試題，04年廣東試題占20%。隨著使用新教材的深入，必將成為一個(gè)考試的亮點(diǎn)或熱點(diǎn)。分析

10、05年高考試題，對(duì)向量的考查開(kāi)始橫向發(fā)展，突出其工具性和方法性特征。2、命題變化趨勢(shì)2000年考查向量基本概念，定比分點(diǎn)公式。2001年考查向量坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積。2002年考查向量坐標(biāo)運(yùn)算，基本出現(xiàn)向量與數(shù)列的綜合。2003年考查向量與平面幾何的綜合，向量與解析幾何的綜合。2004年考查向量夾角計(jì)算，求向量的長(zhǎng)度。2005年考查向量的基本運(yùn)算及應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。幾年的命題體現(xiàn)了平面向量考查的三個(gè)層次第一層次：主要考查平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，以及基本運(yùn)算技能，數(shù)乘要求考查掌握平面向量的和、差、數(shù)乘和內(nèi)積的運(yùn)算法則。理解其直觀的幾何意義，并能正確地進(jìn)行運(yùn)算。（2000年考題）

11、第二層次：主要考查平面向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算。第三層次：和其它數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合在一起，如同曲線、數(shù)列三角等知識(shí)相結(jié)合，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。四、幾點(diǎn)建議(1) 把握好本章教學(xué)的要求由于這一章是新內(nèi)容，因此教學(xué)時(shí)，一定要把握好教學(xué)要求，按大綱的規(guī)定，我們把這一章知識(shí)點(diǎn)歸類如下: 應(yīng)了解的內(nèi)容：共線向量的概念，平面向量的基本定理，用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題。 應(yīng)理解的內(nèi)容：向量的概念，兩個(gè)向量共線的充要條件，平面向量坐標(biāo)的概念。 應(yīng)掌握的內(nèi)容：向量的幾何表示，向量的加法與減法，實(shí)數(shù)與向量的積，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及幾何意

12、義，向量垂直的條件，平移公式。 會(huì)運(yùn)用的內(nèi)容：線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，正弦定理，余弦定理，斜三角形的計(jì)算問(wèn)題，及通過(guò)解三角形應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 教學(xué)時(shí)，一定要突出重點(diǎn)、抓住關(guān)鍵、解決難點(diǎn)，以保證這一章的教學(xué)順利。 （2）重視本章的教學(xué)，充分認(rèn)識(shí)它的重要性由于這一章是為以后學(xué)習(xí)解析幾何和立體幾何作準(zhǔn)備的，所以教學(xué)時(shí)，一定要讓學(xué)生學(xué)好這一章的知識(shí)。而對(duì)于基本技能和能力，要遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，選擇合適的教學(xué)方法，有目的、有計(jì)劃、分階段地進(jìn)行訓(xùn)練和培養(yǎng)。要隨著學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解的不斷加深，逐步提高對(duì)基本技能和能力的要求，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取新知識(shí)和正確運(yùn)用數(shù)

13、學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的能力。 （3）重視向量的工具性和方法性特征平面向量由于具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中有廣泛的應(yīng)用。這一章教科書(shū)注意突出向量的工具性和方法性，很多公式都用向量來(lái)推導(dǎo)，如線段的定比分點(diǎn)公式、平面兩點(diǎn)間距離公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等。 （4）注意處理好新舊思維矛盾學(xué)習(xí)向量運(yùn)算與學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算有類似之處：從學(xué)習(xí)順序上看，都是先定義運(yùn)算，再研究運(yùn)算性質(zhì)；從學(xué)習(xí)內(nèi)容來(lái)看，向量運(yùn)算具有與數(shù)的運(yùn)算類似的良好性質(zhì)。當(dāng)引入向量后，運(yùn)算對(duì)象擴(kuò)充了，不僅僅是數(shù)的運(yùn)算了，向量運(yùn)算是建立在新的運(yùn)算法則上，向量

14、的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算不盡相同，向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用，它有一套自己的運(yùn)算法則。但很多學(xué)生往往完全照搬數(shù)的運(yùn)算法則，而不注意向量運(yùn)算法則的特點(diǎn)，因此常常出錯(cuò)。 在教學(xué)中要注意新舊知識(shí)之間的矛盾沖突，及時(shí)讓學(xué)生加以辨別、總結(jié)，利于正確理解向量的實(shí)質(zhì)。例如向量的加法與向量模的加法的區(qū)別，向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)積的區(qū)別，在坐標(biāo)表示中兩個(gè)向量共線與垂直的充要條件的區(qū)別等等。(5)注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透 在這一章中，從引言開(kāi)始，就注意結(jié)合具體內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思想方法。例如，從帆船在大海中航行時(shí)的位移，滲透數(shù)學(xué)建模的思想。通過(guò)介紹相等向量及有關(guān)作圖的訓(xùn)練，滲透平移變換的

15、思想。 由于向量具有兩個(gè)明顯特點(diǎn)“形”的特點(diǎn)和“數(shù)”的特點(diǎn)，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標(biāo)實(shí)際是把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來(lái)，進(jìn)而可把曲線與方程聯(lián)系起來(lái)，這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問(wèn)題，同時(shí)也可以用幾何的觀點(diǎn)處理某些代數(shù)問(wèn)題，因此這部分知識(shí)還滲透了數(shù)形結(jié)合的解析幾何思想。 附：聚焦2005年高考數(shù)學(xué)平面向量的“交匯性”向量是新課程新增內(nèi)容，具體代數(shù)與幾何形式的雙重身份，它有著極其豐富的實(shí)際背景，用向量證明幾何中有關(guān)平行、共線和垂直的命題，用向量計(jì)算角度和距離，用向量表示點(diǎn)的軌跡，以及用向量處理三角恒等變形，證明不等式，求解函數(shù)的最值，較之傳統(tǒng)方法更為簡(jiǎn)捷。作為中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)新的知識(shí)“交匯點(diǎn)”

16、，向量與三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、不等式的綜合題成為各類考試中考查的一個(gè)新熱點(diǎn)。本文將該部分2005年高考試題作一歸納總結(jié)，供參考。1、平面向量與函數(shù)的交匯例1（2005年上海市高考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的圖象與軸分別相交于點(diǎn)a、b，（分別是與軸正半軸同方向的單位向量），函數(shù)。（1） 求的值；（2）當(dāng)滿足時(shí)，求函數(shù)的最小值。分析：向量的方向向量實(shí)際上它是繼直線的斜率、傾斜角以后的第三個(gè)表示直線方向的等重要概念。要學(xué)會(huì)并善于運(yùn)用它來(lái)求解.解：（1）由已知得 于是 （2）由 即 由于，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1，即x=1時(shí)成立，時(shí)的最小值是3.例2（2005年湖北省高考數(shù)學(xué)試題）已知向量在區(qū)間（1，1

17、）上是增函數(shù)，求t的取值范圍.分析：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及運(yùn)用基本函數(shù)的性質(zhì)分析和解決問(wèn)題的能力.解：依定義開(kāi)口向上的拋物線，故要使在區(qū)間（1，1）上恒成立.評(píng)注：利用向量的數(shù)量積可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)形式，即而運(yùn)用代數(shù)方法高次求導(dǎo)法、二次判別式法、配方法、均值不等式法求解.2、平面向量與不等式的交匯例3（2005年浙江省高考試題）已知向量，|1，對(duì)任意tr，恒有|t|，則（ ） (a) (b) () (c) () (d) ()()解：對(duì)任意tr，恒有|t|，故兩邊平方得：又上式對(duì)任意tr，恒成立，即有：故當(dāng)時(shí)，上式成立，本題應(yīng)選c。例4(20

18、05年江西省高考試題)在oab中，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)oab的面積達(dá)最大值時(shí)，（ d ）a b c d解： 由三角形面積公解式：又 應(yīng)選（d）.3、向量與三角的交匯向量與三角的交匯就是當(dāng)今高考命題的一個(gè)熱點(diǎn). 它常常包括向量與三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值與證明的交匯、向量與解三角形的交匯、向量與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的交匯等幾個(gè)方面.例5（2005年山東省高考試題）已知向量和，且求的值.解: =由已知,得又 評(píng)注：本題是以向量的模為背景，結(jié)合三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值等有關(guān)知識(shí)進(jìn)行考查。例6（2005年天津市高考試題）在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)a (0，1)和點(diǎn)b (3，4)，若點(diǎn)c在aob的平分線上且| | =

19、2，則 _。解：設(shè)，則的終邊在第2象限，即且，又由 ，得所以：，得：.4、向量與解析幾何的交匯以解幾為知識(shí)為載體，以向量為工具，以考查圓錐曲線性質(zhì)和向量有關(guān)公式、性質(zhì)及應(yīng)用為目標(biāo)的平面向量與解析幾何的交匯試題是近幾年高考試題的一個(gè)熱點(diǎn).例7（2005年全國(guó)卷文科試題）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)f的直線交橢圓于a、b兩點(diǎn)，與共線。（）求離心率（）設(shè)m為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。（i）略解：離心率e=.（ii）證明：（1）知，所以橢圓可化為設(shè)，由已知得 在橢圓上，即由（1）知 又，代入得 故為定值，定值為1.例8（2005年福建省高考試題）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線c的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為 （1）求雙曲線c的方程； （2）若直線與雙曲線c恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)a和b，且（其中o為原點(diǎn)）.求k的取值范圍.分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，可以設(shè)法得到關(guān)于的不等式，通過(guò)解不等式求出的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔⒈硎緸榱硪粋€(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出的范圍。解：（）略解：雙曲線c的方程為（）將 由直線l與雙曲線交于不同的兩