各類方程組的解法

1、次方程一、一元步驟：系數化整、去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化1。1、系數化整：分子分母帶有小數或分數的系數化成整數，方法是分子分母同時乘一個數 使得系數變成整數；2、去分母：將包含的分母去掉，方法是等式兩邊同時乘所有分母的最小公倍數；3、去括號：根據去括號法那么將括號去掉；4、移項：過等號要變號，將含未知數的放等號左邊，常數放等號右邊；5、合并同類項：根據合并同類項法那么將同類項合并：6、系數化 1：將未知數的系數化成 1，方法是等式兩邊同時除以未知數的系數。注：不一定嚴格按照步驟，例如移項的同時可以合并同類項， aA=ba、b 是數，A是含未知數的一次二項式型方程可以先將括號前的系

2、數化成1第5步系數為1時省略 1且第 6 步不需要寫。二、二元一次方程組一個二元一次方程有無數個解，它表示平面內一條直線，直線上每個點的坐標都是方程 的解。由兩個二元一次方程聯立成的二元一次方程組代表空間內兩條直線，其公共點坐標就是 方程組的解。當然，假設兩直線平行那么方程組無解，假設兩直線重合那么方程組有無數個解當方程組形式復雜時先根據一元一次方程的解法化簡成一般形式，然后求解。1、代入消元法：將任意一個方程變形成“ y=t x的式子或者“ x=t y的式子的形式，代入另一個 方程，變成一個一元一次方程；解一元一次方程；將解代入任意一個原方程解出另一個未知數的值，并寫出解。2、加減消元法：方

3、程兩邊同時乘一個適宜的數使得有同一個未知數的系數的絕對值相等假設已有系數的絕對值相等那么這一步跳過；兩個方程左右加或減變成一元一次方程系數相等用減，系數互為相反數用加；解一元一次方程；將解代入任意一個方程解出另一個未知數的值，并寫出解。3、圖像解法：根據圖像與方程的關系，在同一個平面直角坐標系中畫出兩個方程代表的直線，找出公 共點的橫坐標與縱坐標不推薦此方法，因為當解為分數時看不出，這只能表示一種關 系。*當 x、y 系數不成比例時有唯一解，當 x、y 系數成比例且比值不等于常數的比值時無解， 當 x、y 的系數與常數都成比例時有無數個解。三、三元一次方程組與多元一次方程組一個三元一次方程有無

4、數個解，它表示一個平面。兩個三元一次方程聯立的三元一次方程組仍有無數個解，它表示兩個平面的公共直線交線。三個三元一次方程聯立的三元一次方程組表示三個平面的公共點坐標，一般情況下有唯 一解，也有無解、無數個解的情況，具體根據平面的位置關系與交線的位置關系。解法：消元，變成二元一次方程組，解之，將兩個未知數的值帶入任意一個三元一次方 程，寫出解。注意每個三元一次方程都要用到。特殊情況：三個都是二元一次方程，共有三個未知數，可將任意兩個方程的公共未知數消掉，與 第三個聯立；兩個三元，一個二元，可將兩個三元一次方程中在二元一次方程里沒出現的未知數消 掉，并聯立；一個三元，兩個二元，如果兩個二元里面只有

5、一個公共未知數，那么可將三元與任意一 個二元里面在另一個二元中沒出現的未知數消掉；如果兩個二元里面有兩個公共未知數, 那么用三元的與兩個二元的都放一起消元。有兩個三元的可以消元成一元一次方程，那么先消成一元一次方程，解之，并將解代入 第三個方程與其他任意一個方程聯立成二元一次方程組。多元一次也同樣方法消元。m個n元一次方程聯立成的方程組，當 m n時一般無解，除非多的方程都符合解。四、絕對值方程說明，這里的大寫字母都是含未知數的式子，小寫字母都是數。1、|A|=aa0時，A=a或A=-a，解兩個方程；當a=0時，A=0,解一個方程;時無解。2、|A|=|B|去絕對值，A=B或A=-B。3、|A

6、|+或-|B|=a用零點分段法將等號左邊的絕對值去掉需要分類討論。4、|A|B|=a 或|A|/|B|=a根據 |A|B|=|AB|, |A|/|B|=|A/B|來轉化成第 1 類。五、分式方程1、去分母，即等式兩邊同時乘所有分母的最小公倍式，是式子，化成整式方程； 2、解整式方程；0那么3、驗根每個分式方程都不可少，將所求得的根分別代入同時乘的式子，假設不為 根保存，假設為 0 那么某個根為增根，所有實數根里不存在這個根。六、一元二次方程方程復雜時需要通過解一元一次方程的方法來化簡，化成一般式，等號右邊是0，等號左邊是二次多項式，需要降冪排列。1、直接開平方法該方法只適用于可化成xA2=a

7、即沒有一次項或x+hA2=a形式的。 通過因式分解化簡成上述形式；直接開平方，當a0時化成兩個一元一次方程，當a=0時化成一個一元一次方程注意是等根不是一個根，當a0時無實數根；分別解一元一次方程，寫出二次方程的解。2、配方法該方法適用于所有方程。將常數項移到等號右邊；將二次項系數化成 1；等號兩邊同時加上一次項系數一半的平方； 左邊因式分解，變成平方的形式;直接開平方并寫出解。3、公式法 該方法適用于所有方程。分別寫出二次項系數a、一次項系數b、常數項c的值；計算 =bA2-4ac的值；x=(-假設 0那么寫出“無實數根，否那么代入求根公式求出根。求根公式：bA )/(2a)說明，如果要求在

8、復數集里解方程，那么當0時方程有一組共軛虛數根4、因式分解法該方法只適用于等號左邊可以因式分解的方程。將等號左邊因式分解；令每個因式分別等于 0，解每個一元一次方程，寫出根。(考慮的優(yōu)先級為 1、 4、 3、 2)七、一元三次方程或一元屢次方程 先將方程化成一般式，即等號右邊是 0，左邊是個多項式并降冪排列。0，求出根如果等號左邊能因式分解那么先因式分解，然后令每個因式分別等于 需要注意的是，在實數集內求解和在虛數集內求解有時是不一樣的，在虛數集內一元 n 次方程有n個根，還有x-hFn=0是有n個相等實數根而不是一個實數根。等號左邊是四次、二次、常數時可將未知數的平方當作整體，相當于解二次方

9、程，六次、 三次、常數等情況亦如此。如果等號左邊不能因式分解那么按照一般方程處理。八、無理方程1、只含一個根號一般根指數可以為任意正整數。先將含根號的移到等式左邊，不含根號的移到等式右邊， 然后兩邊同時n次方n為根指數，當n為偶數時需要代入原方程驗根，舍去不符合 的根。2、含兩個根號一般兩個都是二次根號。先將含根號的移到等式左邊，不含根號的移到等式右邊，然后 兩邊平方，此時只有一個根號。接著繼續(xù)將含根號的移到等式左邊，不含根號的移到等 式右邊，兩邊平方求解，最后需要驗根。九、二元二次方程組一個二元二次方程表示二次曲線，即圓錐曲線以及退化情況，包括：圓、橢圓、雙曲線、 拋物線、點、兩條相交直線、

10、兩條平行直線、兩條重合直線、不存在圖形。不含 xy 項的二次方程通過配方與坐標軸平移確定圖像，含 xy 項的還要考慮坐標軸旋轉 二元二次方程組包括一二型與二二型，一二型即直線與二次曲線的公共點一個公共點時如果相交那么為一個解，如果相切那么為兩個相等解，二二型那么為兩個二次曲線的公共 點。一二型的解法：一次方程變形成“ 乂=含y的式子或“ 丫=含x的式子，代入二次方程,消元成一個一元二次方程或者一元一次方程，求出一個未知數的值，然后將這個未知數 的所有值分別代入一次方程求得另一個未知數的所有值,最后寫出解。二二型通過消元通常會變成四次方程,以下特殊情況仍可變成二次：所有二次項系數成比例，可通過加

11、減消元成二元一次方程，再利用一二型的解法繼續(xù)解；有一個方程的等號左邊可化成兩個一次多項式的積，這種通常只有二次項，有時也會 二次項、一次項、常數項都有?？梢韵纫蚴椒纸猓瑢蓚€一次方程分別與另一個二次方 程聯立，求出解；一個方程只有xA2,yA2與常數項，另一個只有xy和常數項，可以在xy項的方程兩邊 同時乘適宜的數，與另一個方程湊成完全平方；兩個方程都沒有一次項，可借用加減消元方法將常數項變成0,然后按照求解；兩個方程包含某個未知數的項都成比例，可通過加減消元成一元二次方程，求出根， 并分別代入任意一個方程求出另一個未知數的值；常數以外的只有x,yA2或y,xA2項，可整體代入。多元屢次方程這

12、里不詳細講述。十、指數方程 指數方程指的是指數含未知數且底數能化成相等的常數的方程。1、將底數化成相等的常數；2、令指數相等，解方程。十一、對數方程對數方程指的是真數含未知數且底數能化成相等的常數的方程。1、將底數化成相等的常數；2、真數大于 0，求出范圍；3、令真數相等，解方程；4、代入第 2 步的范圍驗根。十二、冪函數方程冪函數方程指的是底數含未知數且指數能化成相等的常數的方程。 1、將指數化成相等的常數；2、求出未知數有意義的范圍；3、根據奇偶性將指數去除； 4、代入第 2 步的范圍驗根十三、三角函數方程 三角函數方程指的是等號右邊是常數，左邊三角符號后面的局部有未知數的方程。1、根據定義域求出未知數有意義的范圍；2、去三角符號，后面的局部保存，值先寫出絕對值很小的一個或兩個符合的值，然后加 上周期；3、解剩余方程。十四、排列方程通常上標是整數，下標有未知數。將排列寫成乘積形式，解整式方程，然后驗根，根需要滿足上下標均為非負整數且上標 小于等于下標，不符合的根舍去。十五、組合方程1、下標相等，上標有未