高考必做導(dǎo)數(shù)壓軸題

1、祝愿各位考生獲得成功!導(dǎo)數(shù)專題一、 導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用（1）二、 交點與根的分布（23）三、 不等式證明（31（一）作差證明不等式（二）變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式（三）替換構(gòu)造不等式證明不等式四、 不等式恒成立求字母范圍（51）（一）恒成立之最值的直接應(yīng)用（二）恒成立之分離常數(shù)（三）恒成立之討論字母范圍五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的綜合運用（70）六、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題（84七、 導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)（85）書中常用結(jié)論sin xsinx x,x （0,），變形即為1，其幾何意義為y sinx,x （0,）上的的點與原x點連線斜率小于1. ex x 1 x In（x 1） Inx x ex,x 0.13

2、一、導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用21.(切線)設(shè)函數(shù)f(x) X a.(1 )當a 1時，求函數(shù)g(x) xf (x)在區(qū)間0,1上的最小值；(2)當a 0時，曲線y f(x)在點P(x1, f (x1)(x1a)處的切線為I , I與x軸交于點A(x2,0)求證：x1 x2 .a.f解：(1)a1 時，g(x) x3 x，由 g (x) 3x(2009天津理20,極值比較討論)已知函數(shù) f (x) (x2 ax 2a2 3a)eX(x R),其中 a R當a 0時，求曲線y f (x)在點(1,f (1)處的切線的斜率；m2當a 時，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間與極值.3解：本小題主要考查

3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ) 知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。當 a 0時，f (x) x2eX, f(x) (x2 2x)eX,故f(l) 3e.所以曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線的斜率為3e f(x) x2 (a 2)x 2a2 4a ex.2令f (x)0,解得 x 2a,或 x a 2.由a 知，2a a 2.3以下分兩種情況討論：10，解得 x 3 .3所以當x 時,3(2)證明：曲線曲線g(x)有最小值g()3丿f (x)在點 P(x1,2x12f (x)在點P處的切線方程為20，得 X22x1l a x122x1ax22 39

4、 .a)處的切線斜率ky (2X12 a)2x1a2x1f (xj 2X1x1x12xj(x xj.2a x12x10,即X2X1.x1又2a2x1 x22x1 a2x1X12x1X1a . a所以x1X2g (x)的變化情況如下表:X0(0, 3)3(31)1g (x)-0+g(x)0極小值/02若a ，貝U 2a v a 2.當x變化時，f(x), f(x)的變化情況如下表:3x,2a2a2a, a 2a 2a 2,+0一0+/極大值極小值/所以f(x)在(,2a),(a 2,)內(nèi)是增函數(shù)，在(2a, a 2)內(nèi)是減函數(shù). 函數(shù)f (x)在x2a處取得極大值f( 2a)，且f( 2a) 3

5、ae 2a.函數(shù)f(x)在x a 2處取得極小值f(a 2),且f(a 2) (4 3a)ea 2.2若a v，貝U 2a a 2,當x變化時，f(x), f(x)的變化情況如下表:3x,a 2a 2a 2, 2a2a2a,+0一0+/極大值:極小值/所以f(x)在(, a 2),( 2a,)內(nèi)是增函數(shù)，在(a 2, 2a)內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在x a 2處取得極大值f(a 2),且f(a 2) (4 3a)ea 2.函數(shù)f(x)在x2a處取得極小值f( 2a)，且f( 2a) 3ae 2a.1 2 23.已知函數(shù) f (x)-x 2ax, g(x) 3a In x b.2設(shè)兩曲線yf(x

6、)與y g(x)有公共點，且在公共點處的切線相同，若a 0 ,試建立b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并求 b的最大值；若b 0, 2, h(x) f (x) g(x) (2a b)x在(0, 4)上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍。4.(最值，按區(qū)間端點討論)a已知函數(shù)f(x)=lnx.x(1)當a0時，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；3若f(x)在l,e上的最小值為2，求a的值.解：由題得f(x)的定義域為(0, +R )，且f (x) = - +弓=丄聖x x x a0, f (x)0，故f(x)在(0, +8 )上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)由(1)可知:f(x)在 1, e上為增函數(shù), 若a 1，則x+ a

7、0,即f x)0在1,e上恒成立，此時33 f(x)min = f(1) = a =, a= (舍去).22 若a e,則x+ a 0,即f x) 0在1, e上恒成立，此時f(x)在1,e上為減函數(shù),a3e f(x)min = f(e) = 1 = , a= (舍去).e22 若ea 1，令 f x) = 0，得 x = a.當 1x a時，f (x)0 ,. f(x)在(1, a)上為減函數(shù); 當一ax0, f(x)在(a, e)上為增函數(shù),3-f(x)min = f( 一 a) = ln( 一 a) + 1= 3 ? a = -/e .綜上可知：a= -/e .一 一 1 2 _5.(最

8、值直接應(yīng)用)已知函數(shù)f(x) x ax ln(1 x)，其中a R.2(I)若x 2是f(x)的極值點，求a的值；(n)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(川)若f(x)在0,)上的最大值是0,求a的取值范圍.解: (I) f (x)x(1 a ax), x ( 1,).x 11 1依題意，令f (2) 0,解得a -.經(jīng)檢驗，a 時，符合題意.33(n)解：當a 0時，f (x)x 1故f (x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,)；單調(diào)減區(qū)間是(1,0).1當a 0時，令f (x) 0，得x1 0，或x21.a當0 a 1時，f (x)與f (x)的情況如下：x(1，xJX1(X1, X2)X2(X2,)f (x

9、)00f(x)f(M)/f (X2)11所以，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0, 1)；單調(diào)減區(qū)間是(1,0)和(一1,). aa當a 1時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(1,).當a 1時，1 X20, f(x)與f (x)的情況如下:X(1,X2)X2(X2,為)X(X1,)f (X)00f(x)f(X2)/f (X1)11所以，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(一1,0)；單調(diào)減區(qū)間是(1- 1)和(0,).aa當a 0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,)；單調(diào)減區(qū)間是(1,0). 綜上，當a 0時，f(x)的增區(qū)間是(0,)，減區(qū)間是(1,0)；11當0 a 1時，f(x)的增區(qū)間是(0, 1)，減區(qū)間是(1

10、,0)和(一1,)；aa當a 1時，f(x)的減區(qū)間是(1,)；11當a 1時，f (x)的增區(qū)間是(1,0)；減區(qū)間是(1,1)和(0,).aa(川)由(n)知 a 0時，f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，由f(0)0 ,知不合題意1當0 a 1時，f(x)在(0,)的最大值是f ( 1),a1由f ( 1) f (0)0 ,知不合題意.a當a 1時，f (x)在(0,)單調(diào)遞減，可得f (x)在0,)上的最大值是f(0) 0，符合題意所以，f(x)在0,)上的最大值是0時，a的取值范圍是1,).6.(2010北京理數(shù)18)x 已知函數(shù) f(x)=l n(i+x)-x+ x2( k 0).2(i

11、)當k=2時，求曲線y= f (x)在點(1, f (I)處的切線方程;(n )求f (x)的單調(diào)區(qū)間.解: (I)當 k 2時，f(x) ln(1 x) x x2，f (x)1 2x1 x3由于 f(1) In 2，f(1) 3，23所以曲線y f (x)在點(1,f (1)處的切線方程為y In 2-(x 1)2即 3x 2y 2In 2 30/“、x(kx k 1),.、(II)f (x)，x ( 1,).1 x當k 0時,f(x) x1(1,0) 上,-所以，在區(qū)間故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是當0 k 1時，由f (x)xf (x)0 ；在區(qū)間(0,(1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是x( kx

12、k 1)+0,得為)上,(0,f(x).1X2-0.1 k所以，在區(qū)間(1,0)和(丄kk1 k)上, f(x)0 ；在區(qū)間(0,) 上,kf(x)1 k1 k故f (x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(1,0)和(，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,).kk2x當k 1時，f(x)故f (x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(1,).1 xx(kx k 1)1 k當 k 1 時，f (x)0，得 x,( 1,0)，X2 0.1 xk1 k1 k所以沒在區(qū)間(1,)和(0,)上, f(x)0 ；在區(qū)間(,0) 上, f(x)kk1 k1k故f(x)得單調(diào)遞增區(qū)間是(1,)和(0,)，單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)kk7.( 2010山東文2

13、1，單調(diào)性)1 a已知函數(shù) f (x) In x ax1(a R)x當a 1時，求曲線y f(x)在點(2, f (2)處的切線方程;1當a 時，討論f (x)的單調(diào)性.2解： x y In 20因為 f(x) In x ax1 所以f(x)ax2令 g(x) ax x1 a 1xa 12 dax x 1 a2 x2 ， x1 a, x(0,),(0,8.(是一道設(shè)計巧妙的好題，同時用到e底指、對數(shù)，需要構(gòu)造函數(shù)，證存在且唯一時結(jié)合零點存在性定理不好想，聯(lián)系緊密)已知函數(shù) f(x) In x,g(x) ex.x +1若函數(shù)O(x) = f (x)，求函數(shù)O(x)的單調(diào)區(qū)間；x- 1設(shè)直線I為函

14、數(shù)f:(x)的圖象上一點A(x0,xo.使得直線I與曲線y=g(x)相切.解:(I)(x) fxx 1In xx 1x 1x 1/ x0且x1,x 0函數(shù)(n) f (x)1,-f (xj1xx0(xo)處的切線，證明：在區(qū)間(1, + g)上存在唯一的1 2x21, X 22 -x x 1 x x 1(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 0,1禾口 1,11切線I的方程為y In冷 (x x0)，即y x In x01,XoXo設(shè)直線1與曲線y g(x)相切于點(X1,e)t g (x)ex , eX11, x1In x0 ,g(xj e InXo1X。Xo111In x01直線I也為yXIn X0 ,即

15、 yX, X0XXoXoXIn x011由得In X。1, In xX0X0Xd1下證：在區(qū)間(1,+)上x0存在且唯一由(I)可知，(X)In xX 1在區(qū)間(1,+)上遞增.x 1e 12小又(e) I n e0 ,e 1 e 1結(jié)合零點存在性定理，說明方程 唯一 Xo故結(jié)論成立.(e2)In e2e2 1e2 3e2 1(x)0必在區(qū)間(e,e2)上有唯一的根，這個根就是所求的9.(最值應(yīng)用，轉(zhuǎn)換變量)2aX21設(shè)函數(shù) f(x) (2 a)lnx 便一 (a 0).x(1)討論函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；當a ( 3, 2)時，任意 數(shù)m的取值范圍.NX1,3,(m In 3)a2

16、ln3 | f(xj論)|恒成立，求實解：f (x) 2ac 22 ax2時,2時,0時,1,增區(qū)間為21 、 ，減區(qū)間為21(2 a)x 12x1-)，減區(qū)間為2(ax 1)(2x 1)(0,2x丄),a(i,).由知,a3,(0,122)時，f (x)在1,3上單調(diào)遞減,-，增區(qū)間為，丄)，減區(qū)間為22 a(0E)，(Aa1 X1,X2 1,3, |f(X1)f(x2)| f(1) f(3) (1 2a) (2 a)ln 3 3 6a，即 | f (x1) f (x2)| 4a(a2)ln 3，即 ma2 /4a ,0,. m233又a4 .(3, 2);3a13243813/ a m w

17、33a93 .10.(最值應(yīng)用)已知二次函數(shù)g(x)對x R都滿足g(x 1) g(1 x) x2 2x 1且g(1)1，設(shè)函數(shù)上19f(X) g(X 1)mln x( m R , x 0 ).8(I)求g(x)的表達式;(n)若 x R，使 f (x)0成立，求實數(shù) m的取值范圍;(川)設(shè) 1 m e, H (x)f (x) (m 1)x，求證：對于x, x2 1,m，恒有 |H(xJ H(X2)| 1.2解：(I)設(shè)g X ax bx c，于是x(0, 帀J mf (x)一0+f (x)減極小增22a1gx1 g1 x2a x 12c2 x12,所以2c1.又g1 1，則b11 .所以g

18、x122 1xx 12 -3分(n:)f(x)g x1 mln x2981 22xmln x(m R,x0).當m0時，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f (X)的值域為R； x1 2當m=0時，f(x)0對2當 m0 時，由 f (x) x xx 0 f (x)0恒成立;0 x m，列表：4分5分這時，f(x) mh f( . m) 2 mln m.f (x) min 00,e0時，f (X)在區(qū)間(0, 1)上的單調(diào)遞減，在區(qū)間(1, 4)上單調(diào)遞增，函數(shù)f (X)在區(qū)間0, 4上的最小值為f(1) (a 2)e又/ f(0)beT(2a 3) 0, f(4) (2a 13)e4 0,函數(shù) f (x)在區(qū)

19、間0, 4上的值域是f(1),f(4)，即(a 2)e(2a 13)e4 又g(x) (a2 14)eX 4在區(qū)間0, 4上是增函數(shù)， 且它在區(qū)間0, 4上的值域是(a2 14)e4,(a2 14)e8./ (a2 14)e4 - (2a 13)e4 = (a2 2a 1)e4 = (a 1)2e4 0 ,存在1, 20,4使得| f ( 1) f( 2)| 1成立只須11(a2 14)e4 - (2a 13)e4 g),4求實數(shù)b取值范圍.解：本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)

20、學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力(1)直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用導(dǎo)數(shù)求出f(X)的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出g(x)在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù) f (X)In x1 a1(x小、Ia12 axx a 1ax0) , f (x)a2-(x 0)XXXX令 h(x)2 axX 1a(x0)當a0時，h(x)X1(x0)，當 x (0,1), h(x)0,f (X)0,函數(shù)f (x)單調(diào)遞減;當X (1,),1h(x)0, f (x)0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增.當a0時，由f(x) 0，即ax2 x

21、 1 a 0，解得X11,X21 1.a1當a -2時XX2,h(x)0恒成立，此時f (x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；11當 0 a 時， 110, x (0,1)時 h(x) 0, f (x)0，函數(shù) f (x)單調(diào)遞減；2 a1x (1, 1)時，h(x) 0, f (x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增；a1x (1,)時，h(x) 0, f (x)0，函數(shù) f (x)單調(diào)遞減.a1當 a 0時 10，當 x (0,1), h(x) 0, f (x)0,函數(shù) f(x)單調(diào)遞減；a當 x (1,),h(x)0, f (x)0，函數(shù) f (x)單調(diào)遞增.綜上所述：當a 0時，函數(shù)f(x)在(0,

22、1)單調(diào)遞減，(1,)單調(diào)遞增；1當a 時為X2,h(x) 0恒成立,此時f (x) 0，函數(shù)f (x)在(0,)單調(diào)遞減；2111當0 a 時,函數(shù)f (x)在(0,1)遞減，(1,1)遞增,(1,)遞減.2aa1當a 時，f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，所以對任意 為(0,2),41有 f (xj f (1)21又已知存在 X21,2，使 f(xj g(X2)，所以g(X2), x?1,2 , ()2又 g(x) (x b)2 4 b2,x 1,2當 b 1 時，g(x)min g(1)5 2b 0與(探)矛盾；當 b 1,2 時，g(x)min g(1) 4 b2

23、 0也與(探)矛盾；15當 b 2 時，g(x)ming(2) 81174b尹E17綜上，實數(shù)b的取值范圍是工，8. 1 In x axx14.設(shè)函數(shù)f (x)(i)當 a(n)當 o(川)當a).1時，過原點的直線與函數(shù) f (x)的圖象相切于點1a 時，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；21 時，設(shè)函數(shù)3P,求點P的坐標;使 f (xj g(x2)成立，求實數(shù)解：函數(shù)f (x)的定義域為(0,25g(x) x 2bx，若對于x112b的取值范圍.(e是自然對數(shù)的底,1f (x) axa 1 時，f(x)In x x1X0I e2)(i)設(shè)點 P(x0,y)(x00)，當11f (x)- 1 ,

24、f(X。)x2解得x e ,故點P的坐標為Xo(e2,(O,el,X20, 1(n) f (x)2 ax ax a2X(x 1)(ax 1 0x 1,故當時 f (x)a0,當1a 1時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1 a單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(a1(川)當 a 時，f (x) In x3x 23 3x在(1,2)上為增函數(shù)，在(2, e上為減函數(shù),- f(e)2 2f(1)2 e 2e 3 (e 1)3e3e f (e)若對于1 a2xIn x1，則 yoIn X。X。1 ,a)(1,1a)a_2Xa(x 1)(x -時,a)；af (x)0(n)可知函數(shù)f (x)在(0,1)上是減函

25、數(shù),且 f(1)3, f(e) j,又 e 、31 , (e 1)2_23e2 f (1)，故函數(shù)f (x)在(0,e上的最小值為-3X1 (0,e ,X2 0,1使 f(xj g(X2)成立g(x)在0,1上的最小值不大于f (x)在(0,e上的最小值 -(*)317又 g(x)2522x 2bx(x b) b125,x120,1當b0時，g(x)在0,1上為增函數(shù),g(x)ming(0)當0b 1 時，g(x)ming(b)b25b12由b25 212 及 0 b 1 得，1 12 32b 1當b1時，g(x)在0,1上為減函數(shù)，512-與( *)矛盾3297172g(x)min g(1)

26、2b，此時 b 112123一 1綜上，b的取值范圍是,)215. (2010山東，兩邊分求，最小值與最大值)已知函數(shù) f (x) x lnx,g(x) x ax 3 .求f (x)在t,t 2(t0)上的最小值；1若存在x ,e ( e是常數(shù)，e = 2.71828)使不等式2f (x) g(x)成立，求實數(shù)a的取e值范圍；1 2證明對一切x (0,),都有l(wèi)n x一成立.e ex解：aaaaa10 t -所以f x minee1 te由題意知tint2x1 nxx2ax3,則 a 2I nx x2lnx!,1 時,e1,e 時，所以hxmaxmax所以a0,h x單調(diào)遞減;0,h x單調(diào)遞

27、增;,h(e),因為存在1 ,e ex g x成立,h(-)e1而 h()exmax 11 3e,eh(e)，故 a(出)由知h(e)等價證明xlnx1 3eexxlnxx 0,0,的最小值是-當且僅當易得max從而對一切0,，當且僅當xe0,都有xlnx2對一切x 0,ex16.(最值應(yīng)用)設(shè)函數(shù)f(x) px求若設(shè)1時取到,2ln x，且f(e) qe -2，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).xep與q的關(guān)系； f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；2eg(x) ，若在1,e上至少存在一點x0，使得f (x0) g(x0)成立，求實數(shù)p的取值范x解: (1 )由題意得 f (e) pe 2

28、ln e qe 衛(wèi) 2(p q)(e -) 0eee1而e 0 ,所以p、q的關(guān)系為p q .2x-2 V 0 ,xe(2)由(1)知f(x)pxq2lnxpxp 2ln x ,xxf(x) pp22px2x2p令h(x)px2 2x p,xxx要使f(x)在其定義域(0,)內(nèi)單調(diào)，只需h(x) 0或h(x) 0恒成立. 當 p 0 時，h(x) 2x，因為 x 0,所以 h(x) v 0, f(x) f (x)在(0,)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，即p 0適合題意；2 1 當 P 0時，h(x) px2 2x p , h(x)minP -p1 t 只需 p 0，即 p 1 時h(x) 0, f (x)

29、0 ,p f (x)在(0,)內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故p 1適合題意.2 1當p v0時，h(x) px2 2x p，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為x(0,),只要h(0)綜上所述，p0，即p 0時，h(x) 0在(0,)恒成立，故p V 0適合題意p的取值范圍為p 1或p 0.(3) g(x) 在1,e上是減函數(shù)，x X e 時，g(x)min 2 ; x 1 時，g(x)max 2e ,即 g(x)2,2e ,當p0時，由(2) 知f (x)在1,e上遞減當0vp v 1 時，由x11,ex0,x又由(2：)知當p1時，Zxf (x)在1,e上是增函數(shù),- f(x)p(x1)2ln x1

30、, 1 x2ln x e -xxe當p1時，由知-f (x)在1,e上是增函數(shù)，f (x)max f(1)0 V 2,不合題意;故只需 f (x) max g (x) min , x 1,e，而 f(X)max14ep(e -) 2ln e 2,解得 p 丁ee 14e綜上，p的取值范圍是(二,).e 112lne e 2 v 2，不合題意； ef (1)0 v 2,又g(x)在1,e上是減函數(shù)，1/Cf (e) p(e ) 2ln e , g(x)min 2 ,即e17.(2011湖南文，第2問難，單調(diào)性與極值，好題)1設(shè)函數(shù) f(x) x aln x(a R).x討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性

31、；若f(x)有兩個極值點 冷X2，記過點A(X1,f(xJ), B(X2, f (X2)的直線斜率為k,問:是否存在a，使得k 2 a ?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.1-2X解：f (x)的定義域為(0,). f (x) 12x ax 12XX2 ax 1,其判別式V a24.0,故 f (x)在(0,的兩根都小于0,令 g(x) 當 |a| 2時,V 0, f (x) 當a 上單調(diào)遞增.2 時,V0,g(x)=0)上單調(diào)遞增. 在(0,)上，f (x) 0，故 f(x)在(0,)當 a 2時,V0,g(x)=0的兩根為Xi，- a2 4,X2當0 x x時, f (x)分別在由

32、知，若0 ;當 X1 x)上單調(diào)遞增,f(X)(0,為),(X2,f (x)有兩個極值點X1, X2 ,a 2X2 時，f(x)在(X|,X2)上單調(diào)遞減.則只能是情況，故a a2 4?20 ;當xX2 時，f(x)0，故因為f(xjf(X2)(XiX2) 3X-|X2a(ln x(In x2),所以kf(xj 仏)X1x2又由知，x21，于In x1In x2agX1X2n x-iIn x21x-ix2X1In x1若存在a，使得k 2 a.則 -In x2X1X21 .即 In XiIn X2X2 .亦即X21 2ln x20( x21)(*)X2再由知，函數(shù)h(t) t 12ln t 在

33、(0,)上單調(diào)遞增，而X21，所以X 一 2ln x2 X22ln10.這與(*)式矛盾.故不存在使得k 2 a.18.(構(gòu)造函數(shù)，好，較難)1 f (x) In x ax2f (x)的單調(diào)增區(qū)間；F(x)的圖象為曲線C，設(shè)點A(x1, y1) B(x2,y2)是曲線已知函數(shù)求函數(shù)記函數(shù)(a1)x(a R, a 0).C上兩個不同點，如果曲線C上存在點M(X0,y)，使得：X0則稱函數(shù)F(x)存在“中值相依切線”捲 x22.試問：函數(shù)f(x)是否存在中值相依切線，請說明理由；曲線C在點M處的切線平行于直線 AB ,解：(I)函數(shù)f(x)的定義域是(0,由已知得,i當aii當a當(x)1 ax

34、a 1x0時，令f(x)0,解得00時，1-1時，即a函數(shù)f (x)在(0,丄)和 (1,a當1時，即當1時，即函數(shù)f (x)在(0,1)和(綜上所述 當當當當).a(x 1)(x 丄)xx 1 ；函數(shù)f (x)在(0,1)上單調(diào)遞增令f (x)0，解得0 x)上單調(diào)遞增顯然，函數(shù)f (x)在(0,a 0時，令f(x)0,解得01,)上單調(diào)遞增.a)上單調(diào)遞增;0時屈數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增11時，函數(shù)f (x)在(0,)和(1,)上單調(diào)遞增 a1時，函數(shù)f (x)在(0,)上單調(diào)遞增；1a 0時，函數(shù)f (x)在(0,1)和(，)上單調(diào)遞增.a(n)假設(shè)函數(shù)f (x)存在“中值相依切

35、線”.設(shè)A(X1,y)B(X2,y2)是曲線y f(x)上的不同兩點，且 01 2 1 2Inax1(a 1)為,y2 In x2ax2(a 1)x2.則Y1kABy2力 X2X-IIn x2In x-iX2X1曲線在點依題意得:化簡可得X1X2 ,1 22(In x2In x1)a(x2為)(a 1)(x2xj21異(x1 x2)(ax2x11).M (x, y)處的切線斜率In x2In x112a(x1X2)f (x。)(a 1)f (寧2xjx2x1x2X|x22x1x2a -2(a 1),(a 1).In x In xX2X1X1X2即 In 卷= 2(x2 GX1X2 X1設(shè) t

36、(t 1),上式化為: XiInt2(t 1)t 1Int2,令 g(t) Intt 1因為t 1,顯然g(t)0，所以g(t)在(1,14 (t 1)2t (t 1)2 t(t 1)2.)上遞增，顯然有g(shù)(t) 2恒成立.所以在(1,)內(nèi)不存在t,使得In t 綜上所述，假設(shè)不成立所以，函數(shù)2成立t 1f (X)不存在“中值相依切線”19. (2011天津理19,綜合應(yīng)用)2已知a 0，函數(shù)fx In x ax， x 0. (f x的圖象連續(xù))求f x的單調(diào)區(qū)間；若存在屬于區(qū)間1,3的，且，證明:In 3 In 2 一5解：f x/ In 2a w.312axx1 2ax20 令 f x 0，則 x.2a2a當x變化時,x0笑2aV2a2a2a ,f x0f x單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減x，xx的變化情況如下表:V2aJ.所以f x的單調(diào)增區(qū)間是0, ，單調(diào)減區(qū)間是2a2aa由ff及f X的單調(diào)性知42a.從而f x在區(qū)間2af又由1，,1,3，則 123.上的最小值為f 2 ff 1 ,In 24aa,所以即f 2 ff