Riemann積分與Lebesgue積分

1、精品好資料學(xué)習(xí)推薦Riemann積分和Lebesgue積分【摘要】本文首先從定義角度出發(fā)解析了R積分與L積分的關(guān)系，然后敘述了-可加性，做了關(guān)于L積分和R積分的對(duì)比并就其存在性提出了觀點(diǎn)。討論了L積分理論中涉及的一些逼近及其證明并給出了相關(guān)的看法?！娟P(guān)鍵字】辨 析關(guān)系極限逼近1.從定義角度深刻辨析R積分與L積分1.1R積分與L積分的定義本文認(rèn)為Riemann積分和Lebesgue積分的關(guān)系可以用這樣一句話(huà)來(lái)表示：同一個(gè)夢(mèng)想，不同的方法。首先數(shù)學(xué)應(yīng)該源于生活，數(shù)學(xué)的一切發(fā)展都是為了更好的幫助我們解釋生活了解世界。因此不妨先從基本的定義出發(fā)研究L積分與R積分的關(guān)系。首先從逼近的角度對(duì)L積分作如下定

2、義:設(shè)是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù).我們定義是上的Lebesgue積分是上的非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)，這里的積分可以是+;若,則稱(chēng)在上Lebesgue可積的。設(shè)是上的可測(cè)函數(shù),若積分，中至少有一個(gè)是有限值,則稱(chēng)為是上的Lebesgue積分;當(dāng)上式右端兩個(gè)積分值皆為有限時(shí),則稱(chēng)是上是Lebesgue可積的。以上定義L積分的方法為逼近法，即從特征函數(shù)的積分入手，用簡(jiǎn)單可測(cè)函數(shù)來(lái)逼近可測(cè)函數(shù)的方法.這也是L積分涉及的逼近的一部分.雖然在之前的數(shù)學(xué)分析課上已經(jīng)學(xué)過(guò)了R積分,但是為了更加清楚的對(duì)比R與L積分,不妨再次給出其定義.不太嚴(yán)格地來(lái)說(shuō)，黎曼積分就是當(dāng)分割越來(lái)越“精細(xì)”的時(shí)候，黎曼和趨向的極限。這就是黎曼積分定義的

3、大概描述。S是函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上的黎曼積分，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的，都存在，使得對(duì)于任意的取樣分割,，,；，只要它的子區(qū)間長(zhǎng)度最大值 ，就有：也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)函數(shù)f，如果在閉區(qū)間a,b上，無(wú)論怎樣進(jìn)行取樣分割，只要它的子區(qū)間長(zhǎng)度最大值足夠小，函數(shù)f的黎曼和都會(huì)趨向于一個(gè)確定的值，那么f在閉區(qū)間a,b上的黎曼積分存在，并且定義為黎曼和的極限，這時(shí)候稱(chēng)函數(shù)f為黎曼可積的。1.2R積分與L積分定義的直觀比較其實(shí)只要簡(jiǎn)單分析一下就可以對(duì)這兩個(gè)積分有一個(gè)直觀的比較，也可以通過(guò)一些日常生活中的例子來(lái)區(qū)別兩種積分，例如課本第二版序言中用10000枚硬幣的記數(shù)方式的不同。這里本文借用前人給出的一個(gè)非常經(jīng)典的

4、例子來(lái)形象的說(shuō)明這一區(qū)別?？梢约僭O(shè)我們要計(jì)算一座山在海拔以上的體積。黎曼積分是相當(dāng)于把山分為每塊都是一平方米大的方塊，測(cè)量每個(gè)方塊正中的山的高度。每個(gè)方塊的體積約為1x1x高度，因此山的總體積為所有高度的和。勒貝格積分則是為山畫(huà)一張等高線(xiàn)圖，每根等高線(xiàn)之間的高度差為一米。每根等高線(xiàn)內(nèi)含有的巖石土壤的體積約等于該等高線(xiàn)圈起來(lái)的面積乘以其厚度。因此總體積等于所有等高線(xiàn)內(nèi)面積的和。佛蘭德（Folland）Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 1984, p. 56總結(jié)說(shuō)，黎曼積分是把區(qū)間

5、a, b分為子區(qū)間，而勒貝格積分則是“分f的高度”。1.3R積分引出L積分，L積分包含R積分在上R可積充要條件是：對(duì)任意，存在的一個(gè)分劃 ,使得（其中分別是分劃的大和，及小和這里為在上的最大值及最小值 ），上述積分的基本思想是分割求和，現(xiàn)在同樣用分割求和的思想來(lái)給出Lebesgue積分的定義，設(shè)是點(diǎn)集上的有界函數(shù)（對(duì)無(wú)界也可定義），,我們不考慮分割函數(shù)的定義域而是分割函數(shù)的值域，若對(duì)任意，存在分割,使得當(dāng)時(shí)有（其中分別是分劃的大和，及小和，這里，為點(diǎn)集的測(cè)度），則稱(chēng)在上L可積，由此可見(jiàn) （1）積分的可積范圍比積分廣泛，比如上的連續(xù)函數(shù)可積，也可積，此外，還有非可積，但可積的例子 上的狄克萊函就

6、是不可積，但L可積。在上Riemann可積，則有可積，且積分值相同，事實(shí)上積分與積分大體上是相似的，僅從分割函數(shù)的定義域的角度來(lái)說(shuō)，其區(qū)別在于積分所考慮的分劃，只是把原來(lái)的區(qū)間分解成有限多個(gè)小區(qū)間，而積分的分劃則允許把分解為有限多個(gè)戶(hù)不相交的可測(cè)子集，顯然，前者的分劃必是后者的分劃，所以Riemann意義下的大小和必是Lebesgue意義下的大小和，易得其積分值相同。因此，本文有這樣的結(jié)論：R積分引出L積分，L積分包含R積分2.Lebesgue積分的優(yōu)越性2.1-可加性的介紹由于對(duì)相關(guān)知識(shí)的匱乏，本文從其他參考資料中搜集并整理了與-可加性相關(guān)的內(nèi)容。本文將積分的討論范圍局限于實(shí)數(shù)軸。首先先來(lái)回

7、顧一個(gè)定理1（證明略）。課本定理4.3.4（L積分的可數(shù)可加性）設(shè)f屬于L(D),EKK1是D的一個(gè)分劃，則Dfdx=k=1Ekfdx不論是L積分還是R積分，當(dāng)分劃是一個(gè)有限分劃的時(shí)候，上述結(jié)論都是成立的，即有限可加性。但是當(dāng)k趨于無(wú)窮的時(shí)候，是否兩種積分都依舊成立呢？下面我們將舉例說(shuō)明,Riemann 積分理論是不承認(rèn)這一點(diǎn)的. 而Lebesgue積分理論恰以承認(rèn)這一點(diǎn)為基礎(chǔ). 而這一點(diǎn)也是對(duì)客觀規(guī)律的正確認(rèn)識(shí). 簡(jiǎn)單地說(shuō),這個(gè)規(guī)律就是所謂-可加性2.例 設(shè)E = rjj N 為0 ,1 中的全體有理數(shù)所成的集合. 設(shè) 0. 定義Bj () = x Rx - rj 2exp- j - 1*，

8、G() =j=1Bj ()那么, G() 是R 中的有界開(kāi)集,它一定可以表示成彼此互不相交的可數(shù)個(gè)有界開(kāi)區(qū)間Ij( j N) 的并: G() =j=1Ij . 容易證明,按照Riemann 積分理論當(dāng) 1 時(shí), G() 的特征函數(shù)G() 是不可積的,也就是說(shuō),按照Riemann 積分理論當(dāng)0g(x)= 1, x1-1, 其他-1， 其他這兩個(gè)函數(shù)互相之間平移不變，但是積分卻不是平移不變的。，3關(guān)于R積分和L積分存在性等問(wèn)題的討論本來(lái)這一個(gè)問(wèn)題是打算放在2.2.5中的，算是對(duì)R積分與L積分關(guān)系分析的一些總結(jié)內(nèi)容也不會(huì)很多。但是后來(lái)還是又重新劃分了一個(gè)大區(qū)域來(lái)寫(xiě)這個(gè)東西，因?yàn)楦杏X(jué)如果從整體再度進(jìn)行

9、把握的話(huà)，會(huì)對(duì)所學(xué)知識(shí)有一個(gè)更深的了解，其作用是無(wú)可非議的。個(gè)人認(rèn)為，如果說(shuō)平時(shí)的每一個(gè)小的課后作業(yè)是對(duì)所學(xué)知識(shí)的及時(shí)鞏固的話(huà)，那么每一個(gè)大作業(yè)都是對(duì)該章內(nèi)容進(jìn)行一個(gè)統(tǒng)籌全局的把握。在剛剛學(xué)完Lebegue積分這一章的時(shí)候，僅僅是對(duì)L積分有了各種了解，比如單調(diào)，控制收斂等等，但是總體感覺(jué)還是有些不太清楚?，F(xiàn)在，這份大作業(yè)基本成型，從書(shū)上沒(méi)少看各種定理證明，也從網(wǎng)上搜集了很多相關(guān)資料，感覺(jué)對(duì)這些知識(shí)的結(jié)構(gòu)越來(lái)越清晰。而且大概是由于自己原來(lái)學(xué)的并不怎么透徹的緣故，完成作業(yè)后反而發(fā)現(xiàn)好多知識(shí)算是新的收獲了。比如-可加性，R積分在無(wú)界區(qū)間會(huì)違背平移不變性等等。真的是收獲良多。在查閱資料時(shí)無(wú)意中看到了這

10、樣一個(gè)觀點(diǎn)：L積分完全優(yōu)于R積分，必將取代R積分。其理由是L積分是更高級(jí)的東西，在某些方面也比R積分，并提議從一年級(jí)就開(kāi)始學(xué)習(xí)L積分，將R積分完全擯棄。對(duì)于這個(gè)結(jié)論我不敢茍同。首先L積分的確是要比R積分有難度的，如果直接學(xué)習(xí)L積分，學(xué)習(xí)難度會(huì)有很大增加。學(xué)習(xí)是一個(gè)進(jìn)步的過(guò)程，有限的情況還沒(méi)搞懂直接去分析無(wú)限可能會(huì)適得其反。而且我們?cè)趯W(xué)習(xí)中重視的不僅僅是“是什么”，我們更應(yīng)該重視“怎么樣”，只有細(xì)細(xì)體會(huì)R積分和L積分的發(fā)展歷程，通過(guò)相互對(duì)比了解他們的關(guān)系，才能更好的理解其內(nèi)涵。4.Lebesgue積分理論中的逼近問(wèn)題4.1逼近方法與證明本文之前已經(jīng)提到了L積分的一種逼近相關(guān).即用逼近法來(lái)定義L積

11、分如下：設(shè)是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù).我們定義是上的Lebesgue積分是上的非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)，這里的積分可以是+;若,則稱(chēng)在上Lebesgue可積的。設(shè)是上的可測(cè)函數(shù),若積分，中至少有一個(gè)是有限值,則稱(chēng)為是上的Lebesgue積分;當(dāng)上式右端兩個(gè)積分值皆為有限時(shí),則稱(chēng)是上是Lebesgue可積的。接下來(lái)借助課后習(xí)題,知道其他函數(shù)向L可積函數(shù)的逼近如下1.有界可測(cè)函數(shù):abfx-gxdx2.連續(xù)函數(shù):abfx-hxdx3.多項(xiàng)式:abfx-Pxdx4.階梯函數(shù): abfx-Sxdx0,存在0,使得當(dāng)A屬于E，且m（A）時(shí)，Afxdxn)=0存在N使得m(xE:fxn)n就滿(mǎn)足Efx-g(x)dx利用結(jié)

12、論1，不妨假設(shè)f是E上的有界可測(cè)函數(shù)且fxN。由Lusin定理知道：存在沿E連續(xù)的函數(shù)g，使得sup|g(x)|=sup|f(x)|=N且m(xE:gxf(x)/4N這樣，Efx-g(x)dx0,存在a，b上的連續(xù)函數(shù)h使得abfx-hxdx且max|h(x)|=sup|f(x)|再利用Weierstrass定理知道，存在a，b上的多項(xiàng)式P使得Max|h(x)-P(x)|0，存在a，b的一個(gè)分割：a=x0x1x2xn-1xn=b使得f在每個(gè)分割上的震蕩小于/2（b-a）。令S（x）=Ci+1，x（xi，xi+1,其中Ci+1=minf（x）?？梢则?yàn)證這個(gè)S就是所要的函數(shù)。4.2對(duì)逼近理論的體會(huì)課后習(xí)題T5的解決就是利用了逼近理論。關(guān)鍵地方就是先證明了特殊情況（f是多項(xiàng)式或f為階梯函數(shù)）時(shí)結(jié)論成立，之后利用已知的逼近理論（T4）得到整體成立，其具體過(guò)程由于上課已經(jīng)完整講過(guò)這里不再贅述。在實(shí)變中，前幾章我們已經(jīng)學(xué)了許多知識(shí)，其中我個(gè)人覺(jué)得很重要的思想就是“差不多”，包括可測(cè)集開(kāi)閉集差不多，可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)和連續(xù)函數(shù)差不多等。而且胡教授在課上也多次強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)實(shí)變的思想不應(yīng)僅僅局限于發(fā)現(xiàn)好的性質(zhì)，更要學(xué)會(huì)去“救助”