三角形倒角壓軸題

1、【例1】（北京市競賽題）在.ABC中，三個內角的度數(shù)均為整數(shù)，且.A：. B：. C , 4 C=7. A，則.B的度數(shù)為.411【解析】 設.C =x，則.A=（x） , B =180 -/A-/C =180x ,77411則x 180x : x，解得 70 ：x ：:84 ,774又x是整數(shù)，得x =77，故乙A =44 ，乙B =59 .7【例2】 ABC中，.A是最小角，.B是最大角，且2 B=5. A，若.B的最大值是 m，最小值是n .則m n =.227【解析】.A=2. B，依題意得B 180 B J B，解得 75 J B 100，故 m n =175.555【例3】 （河南

2、競賽題）若三角形的三個外角的比是2：3：4，則這個三角形的最大內角的度數(shù)是 . ABC的內角 A、. B、. C滿足3 A 5 B , 3 C J 2 B，則這個三角形是（廠A .銳角三角形 B 直角三角形 C 鈍角三角形D 不能確定2 三角形內角和360，故最小的外角為 360 - =80，它對應的內角為最大內角為 100 .9322 C . B A ,. C J B A,535. B . C ： . A , 180 -. A ： . A, . A 90 .【例5】在:ABC中，若AB =2BC , . B =2. A ,判斷 ABC的形狀（銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形）， 并寫出理由

3、.B . ABC是直角三角形.理由：如上圖， AB=2BC , AB BC ,根據(jù)大邊對大角： ACB A，作.ACD = A , CD與AB交于點D ,根據(jù)等角對等邊：AD二CD ,由外角定理： ZBDC ZA EACD =2乙A ,又上B =2ZA， /B ZBDC ,由等角對等邊：CD二BC ,又 AB =2BC ,1 AD =BD =CD =BCAB ,2 B= BCD 二 BDC =60 ,1ZACDBDC =30 ,2 ZACB ZACD BCD =90 .【例6】 如下圖所示，在 ABC中，.ACB=90 , D、E為AB上兩點，若 A AC , DCE=45，求證:BC =BD

4、 .ACC.如圖， . 2 =45 , AE 二 AC 5 = 2. 3 = 45. 3 . 4 =/A . 3 ,.5-. B =(45. 3) -(90 -. A) = . 3. A_45 =. 4 _45 ./4 . 45 ZBCD ,BC =BD .【例7】 如圖，ABC中，BAC=120 , AD _ BC于D，且AB BCD，則乙C的大小是()A 20 B 25C 30 D 大于 30D .如圖，在DC上取DE二DB，連接 AE，易得Rt ABD也Rt AED .AB 二 AE 二CE，/AEB=2/C ,所以 /BAC =2EAD EC =2(90 -2/C) EC =120，得

5、.C =20 .【例8】在.ABC中，./A =50，高BE、CF所在直線交于點 O ,且點O不與點B、C重合，求MBOC的 度數(shù).CO【解析】對于沒有給出具體圖形的幾何問題，一定有要根據(jù)題意畫出圖形，特別是要注意是否有多解的情況若ABC是銳角三角形，如圖(1)所示，BOC 二 A ABE ACF 二 A (90 A) (90 - A)=180 _A=130若 ABC是鈍角三角形，如圖(2)所示，BOC =90 - ECO =90 - ACF =90 -(90 - A) = A =50從本題我們能得到一個重要結論：三角形兩邊上的高相交所形成的角與第三邊所對的角的關系是：當此三角形是銳角三角形時

6、，它們互補；當此三角形是鈍角三角形時，它們相等.【例9】 如圖，在ABC中，BE、CD分別是 ABC、 ACB的角平分線，且BD C BC，則.A的度數(shù) 為.【解析】60 .【例10】 如圖所示，已知CB/ OA , . C=/OAB=100 , E , F在CB上，且滿足.FOB =/AOB , OE平 分厶COF 求.EOB的度數(shù)； 若平行移動AB，那么.OBC :. OFC的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個比值； 在平行移動AB的過程中，是否存在某種情況，使.OEC二.OBA ?若存在，求出其度數(shù)；若不存在，請說明理由.【解析】此題是一類重點題型，考查了學生的轉

7、化思想，題目難度較大，是角平分線與平行性質的綜合，提 高班及精英班老師可提前給學生滲透這種思想，讓學生掌握此類問題的解法. 40 ;(2) 1:2 ;(3)存在，.OEC - OBA = 60 【例11】(2008年南通市)已知三角形三個頂點坐標，求三角形面積通常有以下三種方法：方法1:直接法計算三角形一邊的長，并求出該邊上的高.方法2:補形法將三角形面積轉化成若干個特殊的四邊形和三角形的面積的和與差.方法3:分割法選擇一條恰當?shù)闹本€，將三角形分割成兩個便于計算面積的三角形.現(xiàn)給出三點坐標：A( 1,4) , B(2 , 2) , C(4 , -1)，請你選擇一種方法計算 AABC的面積，你的

8、答案是S腔BC = 利用方法2,如圖，取點D(4 , 4),連接AD、【解析】 本題考查三角形面積的求法及在坐標系內求線段長度.BD、 DC ABCACD1 125Sa acdAD DC 5 52 221 1SabcdDC (Xd -Xb)5 2 =5 ,2 21 1Sa abd=2 AD (yD-yB)=? 5 2=5 ,故應填-2A【例12】如右圖所示，BD是.ABC的角平分線，CD是.ACB的角平分線，BD、CD交于D，試探索.A與ZD之間的關系：.C【解析】在 BDC 中，.D . DBC . DCB =180；. DBC . DCB =180 -/D11它DBC ABC , /DCB

9、 ACB2 21 .(. ABC . ACB) =180 -/D2在 ABC 中，.A ： ABC . ACB =1802 D _ . A =180，即 MD =90丄 MA【例13】2（05年山東中考題改編）如右圖所示，BD是 ABC的外角平分線，CD也是:ABC的外角平分線,BD、CD交于點D，試探索 A與.D之間的關系:F【解析】【例14】 EBC = A ACB, FCB = A ABC EBC FCB = . A . ABC ACB . A =180 A1 ! 1 (ZEBC EFCB) =90A2 2112DBCEBC，/DCBFCB221 i 1ZDBC DCB(/EBC FCB

10、)=90A2 2在 DBC 中，D - DBC DCB =180- D 90；丄 A =180：，即 D =90 -1- A2 2如右圖所示，BD是.ABC的角平分線，CD是 ABC的外角平分線，BD、CD交于點D，試探索 -A與.D之間的關系：DBC E【解析】 ACE = A ABC11. DCE ACE , DBC ABC221/DCEA ZDBC2T. DCE 二/DDBC11/D . DBC A . DBC，即 DA22【例15】如右圖所示，在 UABC中,CD、BE是外角平分線,BD、CE是內角平分線,BE、CE 交于 E，BD、CD交于D，試探索.D與.E的關系:D【解析】在.B

11、EO和.DCO中,111/ EBO ABF ：_ABC 180 =90222同理 DCO =90 EBO =/DCOT EOB = DOC , D = E【例16】如圖所示，點E和D分別在 ABC的邊BA和CA的延長線上，CF、EF分別平分.ACB和.AED , 試探索 ZF與/B，也D的關系： B【解析】 EGD與CGF中， EGD=/CGF F 二 D DEG FCG同理 BHC 與 FHE 中，ZBHC ZFHE F 二 B 4CB ZHEFDEG ZHEF，乙FCG ZHCB1【例17】即.FD . B），也可連接EC ,而后利用等量代換求證.如圖所示，DC平分.ADB , EC平分.

12、AEB,試探索ZDCE與.DBE和.DAE的關系:【解析】連接DE ,在 BDE 中，乙DBE /BDE /BED =180. BDE EBED =180 ZDBE【例18】EE在.ADE 中，乙DAE ZADE EAED =180又. ADE =/ADB . BDE , . AED =/AEB . BED DAE . ADB . AEB =180 -(. BDE . BED)=180 -(180 -. DBE) =. DBE ADB AEB 二 DBE/DAE在.DCE 中，乙DCE WCDE CED =1801N CDE ZCED(/ADB ZAEB) BDE EBED)21上 DCE =

13、180(/DBE /DAE)-(/BDE EBED)211-.DBE (. DBE - DAE)(. DBE . DAE),221即：.DCE( DBE . DAE)如圖，在三角形 ABC中， A =42； , . ABC和.ACB的三等分線分別交于 數(shù).D、E，求.BDC的度【解析】設ZABC的三分之一為x , ZACB的三分之一為y，因為三角形內角和為180，所以有：3x 3y 42 =180 ,180 -42180 -42即 x y，所以 BDC =180 -288 .3 3【例19】如圖，.A =60 ,線段BP、BE把.ABC三等分，線段CP、CE把.ACB三等分，貝，BPE的大小是

14、.【解析】思路1:分析可知.BPC=/A . ABP爲/ACP,因為.A =60 ,故可以先考慮求出.ABP . ACP的度數(shù)，根據(jù)題設條件，線段BP、BE把.ABC三等分，線段 CP、CE把.ACB三等分，所以111.ABP ABC, . ACP ACB， . BPE BPC，這樣只要求出.ABC . ACB 的度數(shù)，就3 32可以解決問題，只需利用三角形內角和定理，即可求出.解法1 :在BPC中，因為BE平分.CBP , CE平分.BCP ,所以PE是三BPC的平分線.1即 /BPEBPC .2因為.么=60 ,所以.ABC . ACB =120 ,又因為BP、BE把/ABC三等分，CP、

15、CE把乙ACB三等分.11所以.ABP ABC , ACP ACB ,3 3又因為 ZBPC ZA /ABP /ACP,1所以 2/BPE ./A (/ABC 乙ACB),11所以 ZBPE 60120 =50 .26思路2:結合本題特有條件， 還可以把著眼點集中于 厶BPC中，直接利用三角形內角和定理解決這一1問題同樣由兩個三等分得到.BPE二-.BPC，不同在于我們利用三等分的另一個結論，222.BCP ACB , . CBP ABC .3 3解法2 :在BPC中，因為BE平分 CBP , CE平分.BCP ,所以PE是.BPC的平分線，即.BPE =1. BPC .2因為 A =60 ,

16、所以 ZABC MACB=120 .2-BCP CBP ( ABC ACB) =80 ,3所以 BPC =100，所以 BPE 二-100 =50 .2【總結】圖1和圖2中，分別是兩個內角的 2等分線，3等分線相交.圖1圖久0易得結論：圖1中有NR =180 +/A =900 +空,2 2【例20】1802 匸 A3= 602CAZP2 =90。丄=9020 型亠=120。6ZA如圖，延長四邊形ABCD對邊 AD，交BC于F ,DC , AB交于 E 右.AED , . AFB的平分線、 1交于 O，求證： /EOF(EAF /BCD).【解析】延長FO交AE于H點，2 EOF =2(. FHE . OEA) =2(. FAE . AFH . OEA).FAE BCD =/FBE 2 OEA FAE二.FAE 2. AFH 2 OEA . FAE= 2(. FAE . AFH . OEA)1即 ZEOF(WEAF ZBCD)【例21】（第5屆希望杯初二1試）如圖，