直線與平面所成角

1、1、定義：平平面面的的斜斜線線的的斜斜線線叫叫做做斜斜交交，直直線線與與平平面面直直線線相相交交但但不不垂垂直直時(shí)時(shí)，叫叫做做與與平平面面當(dāng)當(dāng)直直線線 lll點(diǎn)點(diǎn)在在平平面面內(nèi)內(nèi)的的射射影影外外一一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)：為為平平面面 A上上一一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)：為為平平面面 A內(nèi)內(nèi)的的射射影影在在就就是是點(diǎn)點(diǎn)，則則于于若若 AOOAO AA內(nèi)內(nèi)的的射射影影就就是是在在 PABP11、定義：l與其在平面 上斜線射影的所成的，銳角.l叫做直線與平面 所成的角注： 1l當(dāng)時(shí)，902當(dāng)時(shí)，0/ll或2、范圍：1斜線與平面(0 ,90 )2直線與平面0 ,90 線線面面角角所所成成的的角角平平面面和和中中，求求例例：在在正

2、正方方體體CDBABADCBAABCD1111111A1ABB1CDC1D1OOAOC111點(diǎn)點(diǎn)，連連接接于于，交交連連接接CBB111BCBCBCCD面面面面CDBABCBCCBBCCD111111面面內(nèi)內(nèi)的的射射影影在在面面為為CDBABAOA1111所所成成的的角角和和面面為為CDBABAOBA1111aOBaBAOBAa222RT11,中中，則則在在設(shè)設(shè)正正方方體體邊邊長長為為2111BAOBOBA中中sin30111所所成成的的角角為為和和平平面面CDBABA所所成成的的角角與與求求的的斜斜線線，是是內(nèi)內(nèi)，在在平平面面例例： OAaBCaOCOBOAAOCAOB,260OABOCBO

3、CA60AOCAOBaOCOBOA,aABACAOBAOC都都為為正正三三角角形形,都都為為等等腰腰直直角角三三角角形形ABCBOCaBC,2OEAEEBC，連連接接中中點(diǎn)點(diǎn)取取EaOEBCAE22AE且且,OEAEaOA 面面 AE所所成成的的角角與與為為 OAAOE45OA45為為所所成成的的角角與與 AOE130 ,45.Rt ABCABACBCCDABCD、已知的斜邊在平面 內(nèi)，和與 所成的角分別是，是斜邊上的高，求與 所成的角ABCDC1解：11,CCC作于1C D連1.CDC則即為所求11,.AC BC連1CAC則301CBC451CCa設(shè)CA 2aCB2aRt ABC在中， AB

4、6aCDAC BCAB2 33a1Rt CC D在中，1sinCDC1CCCD321CDC 6060CD與 所成的角為PABP1l(1)三垂線定理1PPl1lAPlAP(2)三垂線逆定理1PPllAPl1AP應(yīng)用：C1D1B1A1CDAB1AAAC面BDAC面BDACBD1AC三三垂垂線線定定理理及及其其逆逆定定理理PABP1前提： 平面外一點(diǎn)從引斜線段斜線段相等射影相等應(yīng)用：_如果三棱錐的三條側(cè)棱相等，則三棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的BADCO外心射射影影定定理理拓拓展展 :P PC CB BA AO O若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三棱錐的頂點(diǎn)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三棱錐

5、的頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的在底面的射影是底面三角形的 垂心垂心PBC面面PAPCPAPBPAAOBCABCBCBCAPBCPO面面面面ACOAB同同理理_如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面上的高相等，則三棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的EBADCFHO內(nèi)心OEBCBCDBCBCAEBCDAO面面面面OFCDOHBD，同同理理AOFRTAOHRTAOERT且且OFOHOE所所成成的的角角與與面面的的中中點(diǎn)點(diǎn)，求求是是點(diǎn)點(diǎn)，外外在在面面例例：BCDCEADEDBCDBCADACABBCDA,ABCDEDFFBC，連連接接中中點(diǎn)點(diǎn)取取FAOOBCDAO，連連接接于于點(diǎn)點(diǎn)平平面面作作OODOCOBADA

6、CAB的的外外心心為為 BCDOCHH,DFEH/AO連連接接于于交交作作H所所成成角角與與面面為為面面BCDCEECHBCDEHaODaa3323CEAB,則則設(shè)設(shè)aEHaOA6636,32ECHsin32BCDCEarcsin所所成成角角為為與與面面例、若一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等例、若一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等,則則這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上已知：已知：BAC在平面在平面 內(nèi)內(nèi),點(diǎn)點(diǎn)P,PEAB,PFAC,PO ,垂足分別是垂足分別是E、F、O,PE=PF.分析分析: 要證要證BAO=CAOP C B A O F

7、求證求證:BAO=CAO只須證只須證OE=OF, OEAB,OFACE 若一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等若一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等,則這一則這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上結(jié)論：結(jié)論：過角的頂點(diǎn)的射線和角的兩邊的夾角相等過角的頂點(diǎn)的射線和角的兩邊的夾角相等,則這條射線在平面內(nèi)的射影是角平分線則這條射線在平面內(nèi)的射影是角平分線CAOB則則CO在平面在平面AOB內(nèi)的射影內(nèi)的射影E為角為角AOB的平分線的平分線COBCOA若若E FG290 ,3,4,60Rt ABCAABACPAABCPABPACPAABC 、如圖，在中，是平面的斜線，

8、。求與平面所成角的大小；APCBODE解：,POABCO作面于,OA連.PAO則即為所求,ODABD作于PD連接,OEACE作于PE連接ABPDACPEPABPAEPDAPEA ADAEADOE四邊形為正方形ADa設(shè)AO2aRt PDA在中，60PABPA 2aRt POA在中， cosPAOAOPA22PAO 4545PAABC與平面所成的角為的的范范圍圍角角，求求，成成與與分分別別引引斜斜線線段段外外一一點(diǎn)點(diǎn)例例：從從平平年年APBPBPAPBPA3045P ,PBAO 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞著著讓讓現(xiàn)現(xiàn)固固定定POPAO, POPB的的增增大大而而增增大大將將隨隨著著中中，在在ABAPBPAB的的范范圍圍現(xiàn)現(xiàn)確確定定，設(shè)設(shè)不不妨妨設(shè)設(shè)xx,AB1OP1A2A1313maxmin, xx24-6APB2xAPB cos中中，在在,10515APB例例、異面直線異面直線a,b所成的角為所成的角為500，P為空間為空間一定點(diǎn)，則過一定點(diǎn)，則過P點(diǎn)且與點(diǎn)且與a,b所成的角都是所成的角都是300的直線有且只有（的直線有且只有（ ）A. 條；條；B.條；條；C.條；條；D.條條變式一、變式一、例中例中,過點(diǎn)且與所成的角都是過點(diǎn)且與所成的角都是變式二、變式二、異面直線異面直線a,b所成的角為所成的角為600，P為空間一定點(diǎn)