33垂徑定理（2）

1、定理：垂直于弦的直徑平分弦定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分并且平分 弦所對(duì)的兩條弧弦所對(duì)的兩條弧.OABCDMCDAB,CDAB,如圖如圖 CDCD是直徑是直徑, ,AM=BM,AM=BM,AC =BC,AC =BC, AD =BD. AD =BD.條件條件CD為直徑為直徑CDABCD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧AB結(jié)論結(jié)論垂徑定理的逆命題是什么？垂徑定理的逆命題是什么？想一想想一想垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的并且平分弦所對(duì)的兩兩 條弧條弧.條件條件結(jié)論結(jié)論1結(jié)論結(jié)論2逆命題逆命題1 1：平分弦的直徑垂直于弦。：平分弦的直徑垂直于弦。

2、逆命題逆命題2 2：平分弧的直徑垂直于弧所對(duì)的弦。：平分弧的直徑垂直于弧所對(duì)的弦。.OAEBDC已知：已知： O O的的直徑直徑CDCD交弦交弦ABAB（不是直徑）于點(diǎn)（不是直徑）于點(diǎn)E E，且，且AE=BE.AE=BE.求證：求證：CDAB，ADBD，ACBC.定理定理1 1：平分弦（平分弦（不是直徑不是直徑）的直徑垂直于弦，并且）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧平分弦所對(duì)的弧. .證明：連結(jié)證明：連結(jié)OAOA，OBOB，則，則OA=OBOA=OBAOBAOB是等腰三角形是等腰三角形AE=BE,AE=BE,CDABCDAB （等腰三角形三線合一）（等腰三角形三線合一）（垂徑定理）（垂徑定理

3、）AD=BDAD=BD，AC=BCAC=BC請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立證明定理請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立證明定理2 2 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧對(duì)的弧逆定理逆定理定理定理1 1：平分弦（平分弦（不是直徑不是直徑）的直徑垂直于）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧弦，并且平分弦所對(duì)的弧定理定理2 2：平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦垂徑定理垂徑定理辨一辨辨一辨ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E練一練練一練D DO OQ QP PM MN NB BA AC C1、已知：如圖、已知：

4、如圖, O的直徑的直徑PQ分別交弦分別交弦AB,CD于點(diǎn)于點(diǎn)M,N,AM=BM,ABCD.求證：求證：DN=CN.O OF FE EM MB BA A2、如圖、如圖, O的直徑的直徑EF交弦交弦AB于點(diǎn)于點(diǎn)M,且且 .若若OE=5,AB=8,求求MF的長(zhǎng)的長(zhǎng). AF=BF例例1 1、13001300多年前多年前, ,我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋( (如圖如圖) )的橋拱是圓弧形的橋拱是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對(duì)是弦的長(zhǎng)弧所對(duì)是弦的長(zhǎng)) )為為 37.2 37.2 m,m,拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弦的距離弧的中點(diǎn)到弦的距離, ,也叫弓形高也叫弓形高) )為為7.

5、23m,7.23m,求求橋拱的半徑橋拱的半徑( (精確到精確到0.01m).0.01m).A AO OC CD D AB AB表示橋拱，設(shè)表示橋拱，設(shè)ABAB所在的圓的圓心為所在的圓的圓心為O O，半徑為半徑為R R，C C為為ABAB的中點(diǎn)，連結(jié)的中點(diǎn)，連結(jié)OCOC，交，交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)D.D.R R解：解：OCAB.OCAB.OCOC就是拱高就是拱高. .AD=1/2AB=0.5AD=1/2AB=0.537.02=18.51,37.02=18.51,OD=OC-DC=OD=OC-DC=（R-7.23R-7.23）. .在在RtRtOADOAD中，中，OAOA2 2=OD=OD2 2+AD

6、+AD2 2 RR2 2=18.51=18.512 2+(R-7.23)+(R-7.23)2,2,解得解得R27.31.R27.31.答答: :趙州橋的橋拱半徑約為趙州橋的橋拱半徑約為27.31m.27.31m.CC是是ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,OCDAB當(dāng)兩條弦在圓心的同側(cè)時(shí)當(dāng)兩條弦在圓心的同側(cè)時(shí)OCDAB解解: 當(dāng)當(dāng)兩條弦在圓心的兩側(cè)時(shí)兩條弦在圓心的兩側(cè)時(shí)作業(yè)題作業(yè)題:4.已知圓已知圓O的半徑為的半徑為5cm,ABCD,AB=6cm,CD=8cm,則則AB與與CD距離是距離是_cmFE過過O作作OEAB于于E點(diǎn)點(diǎn),連接連接OB, 由垂徑定理得由垂徑定理得:AE=BE=0.5AB=3延長(zhǎng)延長(zhǎng)

7、EO交交CD于于F,連接連接OC335OB=5,由勾股定理得由勾股定理得:OE=4又又ABCD OFCD由垂徑定理得由垂徑定理得: CF=DF=0.5CD=4OC=5,由勾股定理得由勾股定理得:OF=3則則EF=OE+OF=7444533455FEEF=OE-OF=1提示提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況這兩條弦在圓中位置有兩種情況:OA AB BC CD D（1）兩條弦在圓心的同側(cè)）兩條弦在圓心的同側(cè)OA AB BC CD D（2）兩條弦在圓心的異側(cè)）兩條弦在圓心的異側(cè)垂徑定理的推論：垂徑定理的推論：圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等.5 5、求證、求證: :如果圓的兩條弦互相平行如果圓的兩條弦互相平行, ,那么這兩條弦那么這兩條弦所夾的弧相等所夾的弧相等E EF FE E課堂小結(jié)課堂小結(jié): :.CDAOMNE.ACDBO.ABO1 1、 如圖如圖, ,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋, ,橋下水面寬為橋下水面寬為7.27.2米米, ,拱