用微積分理論證明不等式的方法

1、中文摘要用微積分理論證明不等式的方法摘要：本文總結(jié)了利用微積分理論證明不等式的10種方法：導(dǎo)數(shù)定義法、單調(diào)性法、極值與最大最小值法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法、函數(shù)的凹凸性法、泰勒公式法、冪級數(shù)展開式法、定積分理論法、參數(shù)法.關(guān)鍵詞:不等式、導(dǎo)數(shù)、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式.英文摘要the ways to prove inequalities with calculus theoryabstract: in this paper ,i sum up ten methods to prove inequalities with calculus theory :the me

2、thod with derivatives definition ,the method with monotoricity ,the method with extremum ,the method with lagrange mean value theorem ,the method with functions concavity or convexity ,the method with taylor formula ,the method with development of power series ,the method with definite integral theo

3、ry and the method with parameter.key words: inequality ,derivative ,lagrange mean value theorem ,cauchy mean value theorem ,taylor formula .用微積分理論證明不等式的方法 高等數(shù)學(xué)中所涉及到的不等式，大致可分為兩種:函數(shù)不等式(含變量)和數(shù)值不等式(不含變量)對于前者，一般可直接或稍加變形構(gòu)造一函數(shù)，從而可通過研究所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而證明不等式；對于后者，我們也可根據(jù)數(shù)值不等式的特點(diǎn)，巧妙的構(gòu)造輔助函數(shù)，從而將數(shù)值不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，研究方法正好與

4、前者相似微積分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，以它為工具能較好的研究函數(shù)的形態(tài)，有些常規(guī)方法難于證明的不等式，若能根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，巧妙的構(gòu)造函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，利用微積分理論研究函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式一、用導(dǎo)數(shù)定義證明不等式法1證明方法根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在可導(dǎo)，稱這極限為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記作2證明方法：(1)找出，使得恰為結(jié)論中不等式的一邊；(2)利用導(dǎo)數(shù)的定義并結(jié)合已知條件去研究3例例1:設(shè)函數(shù)，其中都為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)，已知對于一切實(shí)數(shù)，有，試證：分析：問題中的條件與結(jié)論不屬于同一類型的函數(shù)，如果能找出它們之間

5、的關(guān)系，無疑能幫助解決此題，可以看出：于是問題可以轉(zhuǎn)化為證明證明：因則利用導(dǎo)數(shù)的定義得：由于所以即4.適用范圍用導(dǎo)數(shù)定義證明不等式，此方法得適用范圍不廣，我們應(yīng)仔細(xì)觀察問題中的條件與結(jié)論之間的關(guān)系有些不等式符合導(dǎo)數(shù)的定義，因此可利用導(dǎo)數(shù)的定義將其形式轉(zhuǎn)化，以達(dá)到化繁為簡的目的二用可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式法1.證明方法根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系定理定理一：若函數(shù)在可導(dǎo)，則在內(nèi)遞增（遞減）的充要條件是：.定理二：設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，如果在內(nèi)（或），那么在上嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）.定理三：設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，若（或），則在內(nèi)嚴(yán)格遞增（或嚴(yán)格遞減）.上述定理反映了可導(dǎo)函數(shù)的一

6、階導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，因此可用一階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在所討論區(qū)間上的單調(diào)性.2.證明方法（1）構(gòu)造輔助函數(shù)，取定閉區(qū)間；如何構(gòu)造輔助函數(shù)？利用不等式兩邊之差構(gòu)造輔助函數(shù)（見例2）；利用不等式兩邊相同“形式”的特征構(gòu)造輔助函數(shù)（見例3）；若所證的不等式涉及到冪指數(shù)函數(shù)，則可通過適當(dāng)?shù)淖冃危ㄈ羧?shù)）將其化為易于證明的形式，再如前面所講那樣，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)（見例4）.(2)研究在上的單調(diào)性，從而證明不等式.3.例例2：證明不等式：.分析：利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)，則將要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為要證，而，因而只要證明.證明：令，易知在上連續(xù)，且有，由定理二可知在上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以由單調(diào)性定義

7、可知，即.因此.例3：求證：.分析：不等式兩邊有相同的“形式”: ：試構(gòu)造輔助函數(shù).利用定理二與在在上的單調(diào)性證明不等式.證明：設(shè)輔助函數(shù).易知在上連續(xù)，且有.則由定理二可知在上嚴(yán)格單調(diào)增加.由，有，得到，所以原不等式成立.例4：證明：當(dāng)時，.分析：此不等式為冪指數(shù)函數(shù)不等式，若直接利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)將很難求其導(dǎo)數(shù)，更很難判斷其在上的單調(diào)性，可對不等式兩邊分別取對數(shù)得到，化簡得，在此基礎(chǔ)上可利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)：，因，因而只要證明即可.證明：分別對不等式得兩邊取對數(shù)，有，化簡有：.設(shè)輔助函數(shù)，易知在上連續(xù)，也在上連續(xù)，因，根據(jù)定理二，得在上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以.又由在上連續(xù)，且，根據(jù)定理二可知

8、在上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以，即，因此，即.4.適用范圍利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，不等式兩邊的函數(shù)必須可導(dǎo)；對所構(gòu)造的輔助函數(shù)應(yīng)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在閉區(qū)間的某端點(diǎn)處的值為0，然后通過在開區(qū)間內(nèi)的符號來判斷在閉區(qū)間上的單調(diào)性.三、函數(shù)的極值與最大、最小值證明不等式法1證明方法根據(jù)極值的充分條件定理定理四（極值的第一充分條件）設(shè)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，（i）若當(dāng)時，,當(dāng)時，,則在取得極大值;(ii) 若當(dāng)時，,當(dāng)時，,則在取得極小值.定理五（極值的第二充分條件）設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，,(i)若，則在取得極大值；(ii)若，則在取得極小值.極值和最值是兩個不同的概念.極值僅是

9、在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)考慮，而最值是在某個區(qū)間上考慮.若函數(shù)在一個區(qū)間的內(nèi)部取得最值，則此最值也是極值.極值的充分條件定理反映了可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號或二階導(dǎo)數(shù)在可疑點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)極值的關(guān)系.2.證明方法（1）構(gòu)造輔助函數(shù)，并取定區(qū)間.如何構(gòu)造輔助函數(shù)？當(dāng)不等式兩邊均含有未知數(shù)時，可利用不等式兩邊之差構(gòu)造輔助函數(shù)（見例5）；當(dāng)不等式兩邊含有相同的“形式”時，可利用此形式構(gòu)造輔助函數(shù)（見例6）；當(dāng)不等式形如（或）（為常數(shù)）時，可設(shè)為輔助函數(shù)（見例7）.(2)求出在所設(shè)區(qū)間上的極值與最大、最小值.極值與最大、最小值的求法極值求法：（1）求出可疑點(diǎn)，即穩(wěn)定點(diǎn)與不可導(dǎo)的連續(xù)點(diǎn)；（2）按極值充分條件判定可

10、疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn).最大、最小值的求法：（1）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值的求法：先求出可疑點(diǎn)，再將可疑點(diǎn)處的函數(shù)值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，最大者為最大值，最小者為最小值.（2）開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的最大值、最小值的求法：若在內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極值點(diǎn)，則此極值點(diǎn)即為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).3.例例5：證明：當(dāng)時有.分析：利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)，這與前面利用函數(shù)單調(diào)性定義證明不等式中所構(gòu)造輔助函數(shù)的方法相同，但由于在上不是單調(diào)函數(shù)，（因?qū)θ我?，且，不能判斷的符號?所以不能用可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式，則可采用函數(shù)的極值方法試之.函數(shù)的單調(diào)性證明此不等式，則可采用函數(shù)的極值方法試之證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，則有

11、令，解得，其中只有在區(qū)間內(nèi)，由，有在點(diǎn)連續(xù)因當(dāng)時，則在上為減函數(shù)；當(dāng)時，則在上為增函數(shù)；由定理四可知，在處取得極小值，即為區(qū)間上的最小值，所以當(dāng)時，有故即例6：設(shè)，則分析：此不等式兩邊含有相同的“形式”：，可將不等式變形為，可構(gòu)造輔助函數(shù)證明：將不等式變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)，則有，令，則有當(dāng)時，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，則單調(diào)遞增因此，由定理四可知在時取得極小值，即最小值所以當(dāng)，有，即例7：證明：若，則對于中的任意有： 分析：顯然設(shè)輔助函數(shù)，若設(shè)，由，故很難用函數(shù)單調(diào)性的定義去證明考慮到，不難看到不等式，即為與其端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問題，因而可想到用最值方法試之證明：設(shè)輔助函數(shù)為，則時，有：令得,

12、解之得穩(wěn)定點(diǎn),因函數(shù)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),因而在0,1上有最大值和最小值，已知.有因此對一切時，有所以原不等式得證.4.適用范圍（1）所設(shè)函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)時；（2）只能證不嚴(yán)格的不等式而不能證出嚴(yán)格的不等式.四、用拉格朗日中值定理證明不等式法1.證明方法根據(jù)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足下列條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.拉格朗日中值定理反映了函數(shù)或函數(shù)增量和可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號之間的關(guān)系.2.證明方法輔助函數(shù)，并確定施用拉格朗日中值定理的區(qū)間；對在上施用拉格朗日中值定理；利用與的關(guān)系，

13、對拉格朗日公式進(jìn)行加強(qiáng)不等式.3.例例8：證明：當(dāng).分析：所證不等式中的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 ，即所證不等式中含有函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，因而可用拉格朗日中值定理試之.由于，因此可構(gòu)造函數(shù)的改變量，則相應(yīng)自變量的改變量為，原不等式等價于：，由不等式中間部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去證明.證明：構(gòu)造函數(shù)，因在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，在上滿足拉格朗日條件，于是存在，使 ，因，所以.即.4.適用范圍當(dāng)所證的不等式中含有函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)，或函數(shù)增量與一階導(dǎo)數(shù)時，可用拉格朗日中值定理來證明.五、用柯西中值定理證明不等式法1.證明方法根據(jù)柯西中值定理柯西中值定理：若函數(shù)與都在閉區(qū)間上連續(xù)；與都在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；與在內(nèi)不同

14、時為0；. 則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 .柯西中值定理反映了兩個函數(shù)或兩個函數(shù)增量與它們一階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.2.證明方法構(gòu)造兩個輔助函數(shù)和，并確定它們施用柯西中值定理的區(qū)間；對與在上施用柯西中值定理；利用與的關(guān)系，對柯西公式進(jìn)行加強(qiáng)不等式.3.例例9：設(shè)，證明.分析：原不等式可等價于.可看出不等式左邊可看成是函數(shù)與在區(qū)間上的改變量的商，故可用柯西中值定理證明之.證明：原不等式等價于，可構(gòu)造函數(shù)，,因均在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，由于，則，所以在上滿足柯西中值條件，于是存在，使得，又因有，得到 ,因此,即.4.適用范圍當(dāng)不等式含有兩個函數(shù)的函數(shù)值及其一階導(dǎo)數(shù)，或兩個函數(shù)的函數(shù)增量及其一階導(dǎo)數(shù)時，可用柯

15、西中值定理證明.六、上述二、三、四、五種方法小結(jié)前面二、三、四、五種方法中，均可利用差式構(gòu)造函數(shù)，但有時應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性證明不等式，有時應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值證明不等式，而有時應(yīng)用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明不等式.三者有何區(qū)別：若所證不等式含有函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)，宜用中值定理；若所證不等式，其兩端函數(shù)均可導(dǎo)，且或有一為0時，宜用函數(shù)的單調(diào)性.若所證不等式的兩端函數(shù)有不可導(dǎo)時，不能用函數(shù)單調(diào)性證明，宜用中值定理.若所證不等式，兩端函數(shù)均可導(dǎo)，但不是單調(diào)的函數(shù)時，宜用函數(shù)的極值來證明.七、用函數(shù)的凹凸性證明不等式1.證明方法根據(jù)凹凸函數(shù)定義及其定理和詹森不等式定義：設(shè)為定義在區(qū)間i上的函數(shù)

16、，若對于i上任意兩點(diǎn)和實(shí)數(shù)，總有,則稱為i上的凸函數(shù)，若總有,則稱為i上的凹函數(shù). 定理六：設(shè)為i上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則為i上的凸函數(shù)（或凹函數(shù)）的充要條件是在i上 .命題（詹森不等式） 若在上為凸函數(shù)，對任意的且,則.該命題可用數(shù)學(xué)歸納法證明.函數(shù)的凹凸性定理反映了二階可導(dǎo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)符號與凹凸函數(shù)之間的關(guān)系.2.證明方法：定義證明法：將不等式寫成定義的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)，并討論在所給區(qū)間上的凹凸性.詹森不等式法：對一些函數(shù)值的不等式，構(gòu)造凸函數(shù)，應(yīng)用詹森不等式能快速證此類不等式.3.例例10：證明：當(dāng)時, .分析：不等式等價于：.不等式兩邊含有相同“形式”：,可設(shè)輔助函數(shù).因此原不等式可化

17、為要證.只要證明在上為凸函數(shù)，即證在內(nèi)即可.證明（定義證明法）：設(shè).有.則在為凸函數(shù).對任意，有(取).(要使與的系數(shù)相同，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，即).因此.例11：若a,b,c是的三內(nèi)角，則.分析：不等式左邊為的函數(shù)的和，考慮構(gòu)造凸函數(shù).證明（詹森不等式）：令，則.則是上的凸函數(shù), ,取，由，得到，由詹森不等式結(jié)論得：,因是的三內(nèi)角，則，可得.即.4.適用范圍當(dāng)不等式可寫成凹凸函數(shù)定義的形式或?qū)σ恍┖瘮?shù)值和且能夠構(gòu)造凸函數(shù)的不等式.八、用泰勒公式證明不等式法1.證明方法根據(jù)泰勒定理泰勒定理：若函數(shù)滿足如下條件：在閉區(qū)間上函數(shù)存在直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù);在開區(qū)間內(nèi)存在的階導(dǎo)數(shù)，則對任何，至少存在一點(diǎn)，使得:

18、. 泰勒公式揭示了多項式與函數(shù)之間的關(guān)系.2.證明方法根據(jù)已知條件，圍繞證明目標(biāo)，選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)將函數(shù)在這些點(diǎn)展成泰勒展式；根據(jù)已知條件，向著有利于證明目標(biāo)不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當(dāng)?shù)奶幚?，直到可以結(jié)合已知條件證出不等式為止.（注意具體的題目應(yīng)用此方法時要靈活運(yùn)用，有些題目在進(jìn)行前，要先對已知條件或證明目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，以更有利于證明的進(jìn)行，使不會過于繁瑣.）3.例例12：設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，,且，試證明：.分析：根據(jù)題設(shè)條件，在上二階可導(dǎo)，且函數(shù)值，可寫出函數(shù)在處的一階泰勒公式，并取考察點(diǎn)0或1，利用相應(yīng)的泰勒公式，對作估計.證明：取，由泰勒公式分別有：.由于，則將以上兩式做差，整理得：

19、所以 因此原不等式成立.4.適用范圍當(dāng)遇到含有函數(shù)或高階導(dǎo)數(shù)，或函數(shù)增量與高階導(dǎo)數(shù)，或要證的是導(dǎo)數(shù)（一階或二階）不等式時，可利用泰勒公式來證明有關(guān)的不等式.九、用冪級數(shù)展開式證明不等式法證明方法根據(jù)幾個重要的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式幾個重要的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式如下：；初等函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)，某些初等函數(shù)可展開成冪級數(shù)，在展開式中添加或刪去某些冪級數(shù)時，可很快證明出某些含冪級數(shù)的不等式.2.證明方法先把初等函數(shù)展開成冪級數(shù)，然后在展開式中添加或刪去某些冪級數(shù)即可快速證明此不等式.3.例例13:當(dāng)，證明.證明：因分別可寫成冪級數(shù)展開式，有：則左邊的一般項為，右邊的一般項為，因此當(dāng)，所以.4.適用范圍當(dāng)不等式中含有上面幾個重要初等函數(shù)之一時，可用冪級數(shù)展開式法來證明此不等式.十、用定積分理論來證明不等式法1.證明方法根據(jù)定積分的性質(zhì)和變上限輔助函數(shù)理論定積分性質(zhì)之一：設(shè)與為定義在上的兩格可積函數(shù)，若則.微積分學(xué)基本定理：若函數(shù)在上連續(xù)，則由變動上限積分，定義的函數(shù)在上可導(dǎo)，而且.也就是說，函