圓形有界磁場(chǎng)問(wèn)題的分類及解析

1、A?A?圓形有界磁場(chǎng)問(wèn)題的分類及解析1、對(duì)心飛入問(wèn)題【例1】電視機(jī)的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的。電子束經(jīng)過(guò)電壓為U的加 速電場(chǎng)后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，如圖 1所示。磁場(chǎng)方向垂直于圓面。磁場(chǎng)區(qū)的中心為 0, 半徑為r。當(dāng)不加磁場(chǎng)時(shí)，電子束將通過(guò)0點(diǎn)而打到屏幕的中心M點(diǎn)。為了讓電子束射到屏幕邊緣，需要加磁場(chǎng)，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度0,此時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多少？解析：如圖2所示，電子在磁場(chǎng)中沿圓弧ab運(yùn)動(dòng)，圓心為C,半徑為R?？勺C三角形 CaOA CbO,則/CbO= 90,電子離開磁場(chǎng)時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò) 0 點(diǎn)。由幾何關(guān)系可知tanL R又有eU=evB= mR三式聯(lián)立

2、解BL iy2mUtan0點(diǎn)評(píng)：粒子沿半徑方向飛入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，必沿半徑方向飛出磁場(chǎng)。ra 2* .* 嚴(yán)igph如圖3所示。不計(jì)重力的影響。求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和xy平面上磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R。2、圓心出發(fā)問(wèn)題【例2】一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面，在xOy平面上，磁場(chǎng)分布在以0點(diǎn)為中心的一 個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)0開始運(yùn)動(dòng)，初速度為V，方向沿X軸正方向。后來(lái)粒子經(jīng)過(guò)y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30, P到0的距離為L(zhǎng),解析：如圖4所示，粒子在磁場(chǎng)中軌跡的圓心C必在y軸上，且P點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)之外。粒子從A點(diǎn)離 開磁場(chǎng)區(qū)，設(shè)軌跡半徑為r。則2又

3、 qvB= m*曰 c 3mv可求得BqL磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R= 2rcos30 = /3r=過(guò)L點(diǎn)評(píng)：畫軌跡時(shí)可先畫一個(gè)完整的圓，然后分析粒子從圓周上哪一點(diǎn)離開，速度方向才會(huì)與題 意相符，只要找到了離場(chǎng)點(diǎn)，問(wèn)題就能解決了。長(zhǎng)，應(yīng)使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧最長(zhǎng)，即所對(duì)應(yīng)的弦最3、最長(zhǎng)時(shí)間（最大偏角）問(wèn)題【例3】如圖5所示，在真空中半徑r = 3.0X 10-2m的圓形區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強(qiáng)度B = 0.2 T,方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一束帶正電的粒子以初速度V0= 1.0X106 m/s,從磁場(chǎng)邊界直徑ab的a端沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，且初速方向都垂直于磁場(chǎng)方向。若該束粒子的比荷108C/kg，不計(jì)粒子

4、重力。求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。解析：如圖6所示，由qvoB= mR得 R=mV0= 5.0X 10-2 m r要使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最 長(zhǎng)。貝U以磁場(chǎng)圓直徑為弦時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)。設(shè)該弦對(duì)應(yīng)的圓心角為2a而T=-n，qB則最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間tmax= |nT=-qam m-n qBr 3又sin a= R = 5，故tmax= 6.5X 10 8S。點(diǎn)評(píng)：粒子穿過(guò)圓形磁場(chǎng)時(shí)，以磁場(chǎng)圓直徑為弦時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，偏轉(zhuǎn)角最大。1fj2由qvB= mR得軌跡半徑R=器在通過(guò)M，N兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個(gè)是以4、最小半徑問(wèn)題【例4】如圖7所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m,電荷量為q,以平行于

5、X軸的速度V從y軸上的a點(diǎn)射 入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從 X軸上的b點(diǎn)以垂直于X軸的速度V射出，可在適 當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)。解析：質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)中的軌跡弧MN是4圓周。MN連線為直徑的圓周。故所求的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為，r = 2MN =2只=魯，所求磁場(chǎng)區(qū)域如圖8中實(shí)線圓所示。點(diǎn)評(píng)：粒子穿過(guò)圓形磁場(chǎng)時(shí)，若軌跡是確定的，則以軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的弦為直徑時(shí)，磁場(chǎng)圓最小。5、會(huì)聚一點(diǎn)問(wèn)題【例5】如圖9所示X軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在XOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)

6、 電場(chǎng)，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝 置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量 m,電荷量q(q 0)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時(shí), 這束帶電微粒分布在0vyv 2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為go圖&口(1) 從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于X軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)0沿y軸負(fù)方向離 開，求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向。(2) 請(qǐng)指出這束帶電微粒與X軸相交的區(qū)域，并說(shuō)明理由。(3) 若這束帶電微粒初速度變?yōu)?v,那么它們與X軸相交的區(qū)域又在哪里？并說(shuō)明理由。* *p pA.A.+ +a at t紬二X X* *r r解析：粒子平行

7、于X軸從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，貝U可得E=mg,方向沿y軸正方向。M帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后，做圓周運(yùn)動(dòng)并從坐標(biāo)原點(diǎn) O沿 y軸負(fù)方向離開，則軌跡半徑r = R2由qvB= mR得B =衆(zhòng)，方向垂直紙面向外。(2)如圖10所示，從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為 R的勻速圓周運(yùn)動(dòng), 圓心位于其正下方的Q點(diǎn)，微粒從M點(diǎn)離開磁場(chǎng)?？勺C明四邊形POMQ是菱形，則M點(diǎn)就是坐 標(biāo)原點(diǎn)，故這束帶電微粒都通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 0。(3)帶電微粒在y軸右方(X0)的區(qū)域離開磁場(chǎng)并做勻速直線運(yùn)動(dòng)。靠近上端發(fā)射出來(lái)的帶 電微粒在穿出磁場(chǎng)后會(huì)射向X軸正方向的無(wú)窮遠(yuǎn)處，靠近下端發(fā)射出來(lái)的帶電微粒會(huì)在靠近原 點(diǎn)之處穿出磁場(chǎng)。所

8、以，這束帶電微粒與 X軸相交的區(qū)域范圍是X 0o 點(diǎn)評(píng)：一束帶電粒子以平行的初速度V垂直射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若帶電粒子的軌道半徑與磁場(chǎng) 圓半徑相同，則這些帶電粒子將會(huì)聚于初速度方向與磁場(chǎng)圓的切點(diǎn)。若粒6、平行離開問(wèn)題【例6】電子質(zhì)量為m,電荷量為e,從坐標(biāo)原點(diǎn)0處沿xOy平面射入第一象限，射人時(shí)速度方向 不同，速度大小均為V0。，如圖11所示?，F(xiàn)在某一區(qū)域加方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng), 磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,若這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能垂直射到熒光屏 MN上，熒光屏與y軸平行，求熒光屏上光斑的長(zhǎng)度。解析：這些電子只有從0點(diǎn)進(jìn)入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后才能成平行線離開磁場(chǎng)，如圖12所示。初速度沿X軸正

9、方向的電子，沿弧0B運(yùn)動(dòng)到P;初速度沿y軸正方向的電子，沿弧0C運(yùn)動(dòng)到Q。2設(shè)電子軌跡半徑為R,則evoB= mVR0即R=罟。熒光屏上光斑的長(zhǎng)度PQ=R=mBV0點(diǎn)評(píng)：速度大小相等的一束帶電粒子從圓周上同一點(diǎn)沿不同方向垂直射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng), 子的軌道半徑與磁場(chǎng)圓半徑相同， 那么所有粒子成平行線離開磁場(chǎng)，而且與磁場(chǎng)圓在入射點(diǎn)的 切線方向平行。圖11圖12的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力,求:7、最小面積問(wèn)題【例7】如圖13所示，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形。質(zhì)量為m,電荷量為e的電子以大小為vo的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電子從 BC邊上

10、此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小;此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。解析：(1)讓平行粒子束射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若軌道半徑與磁場(chǎng)圓半徑a相同，則這些帶電粒子 將會(huì)聚于初速度方向與磁場(chǎng)圓的切點(diǎn) A。2由evoB= m吁 得所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B =書，方向垂直于紙面向外。aea(2)如圖14所示，以D為圓心、a為半徑的4圓周與電子最上邊軌跡CEA圓弧所圍的區(qū)域，就是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域。其面積為S=2!4亠2手請(qǐng)點(diǎn)評(píng)：此題也屬會(huì)聚一點(diǎn)問(wèn)題，圓形磁場(chǎng)內(nèi)剛好能覆蓋粒子軌跡范圍的部分， 就是所要求的磁 場(chǎng)最小面積。圖1313-* * M M X X f f X X X X I I X X X X 哥

11、 X X X X f fIKIK K K KtVKtV X X X/X/I* *；：!：!f f|X|X X X X X I I KIKKIK * * K/K/匸 XXXX KHZ沁二8、先散后聚問(wèn)題【例8】某平面內(nèi)有M , N兩點(diǎn)，距離為L(zhǎng),從M點(diǎn)向此平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速率均為 V的電子, 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布，使得由M點(diǎn)發(fā)出的電子都能匯聚到N點(diǎn)。要求畫出勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布圖,并加以必要的說(shuō)明，電子質(zhì)量為 m,電荷量為e。陽(yáng)15解析：加上四個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小相等的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向如圖 15所示，磁場(chǎng)圓半徑R 要和軌跡圓半徑相等，故要滿足 RB=皿的條件，而且2RW L0 （矩形Mi N1N

12、2 M2。區(qū)域外的磁e場(chǎng)可向外圍區(qū)域擴(kuò)展） 點(diǎn)評(píng)：此題是平行離開和會(huì)聚一點(diǎn)問(wèn)題的綜合，需要較好的空間想象能力。XlKXlK K K X XX 1X X X X I I X X9、回歸起點(diǎn)問(wèn)題【例9】如圖16所示，半徑為R的圓筒形區(qū)域內(nèi)，分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B,方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一帶正電的微粒從圓筒壁上小孔 A點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)，且初速度方向垂直于磁場(chǎng)方向。若該微粒與筒壁碰撞時(shí)不損失電荷量， 并能以大小相等的速度反向彈回，問(wèn)初速度大小滿足什么條件時(shí)，微粒能回到A點(diǎn)，并求出微?；氐紸點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間。已知微粒質(zhì)量為 m，電荷量為q,不計(jì)微粒重力。 A 圖16X XX XX XX XX X

13、X XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX X X XX X X XX X X XX XMIXMIX X XDX XX XX XX X X X X X X XBX X X XX XX X X X工X XX XA圖17解析：如圖17所示，設(shè)微粒經(jīng)n-1次碰撞，飛行n段圓弧后回到A點(diǎn),Q設(shè)/ AOC= 0,貝U 6= 2n= nn微粒軌跡半徑r=Rtan 0= RtaL，n2v=qBRtan-n nB條件時(shí)，微粒能回到m n再由qvB= m：可得初速度滿足A點(diǎn)，其中n取大于2的整數(shù)。設(shè)微?；氐紸點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為t，周期

14、為T，圓弧AB對(duì)應(yīng)圓心角/ ACB = a2 nm n a，t=2aTmic c 22 nr貝 y a= n 2 0= n ， T =二 口n V qB一、一F- (n-2)nm二式聯(lián)立可得：t = qB點(diǎn)評(píng)：由于微粒軌跡有無(wú)數(shù)種可能，關(guān)鍵是理清幾何關(guān)系找到通式。10、粒子束縛問(wèn)題【例10】如圖18所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)圍成的中空區(qū)域內(nèi)有自由運(yùn)動(dòng)的帶電粒子，但由于環(huán)狀磁場(chǎng)的束縛，只要速度不很大，都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣。設(shè)環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)半徑Ri = 0.5m，外半徑R2= 1.0m，磁感應(yīng)強(qiáng)度B= 1.0 T，方向垂直紙面，若被束縛的帶電粒子的比荷為m=4X 107C/kg，中空II區(qū)域中帶電粒子具有

15、各個(gè)方向的速度，試計(jì)算:(1) 粒子沿環(huán)狀半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度;(2) 所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。解析：(1)如圖19(a)所示，粒子沿圓弧AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛好沒有出磁場(chǎng)外沿，C點(diǎn)為軌跡的的圓心,2對(duì)直角三角形OAC，由勾股定理有(R2 r)2= R1+ r2,與qvB= m*聯(lián)立可求得粒子不能穿越 磁場(chǎng)的r最大速度為v= 1.5X 10 7m/s。圖19(2)如圖19(b)所示，當(dāng)沿內(nèi)圓切線方向射入磁場(chǎng)的粒子也飛不出磁場(chǎng)外沿時(shí)，所有粒子都2不能穿越磁場(chǎng)。由幾何關(guān)系有2r=R2 R1,再由qvB= m*，可解得所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最 大速度為 v=1.0X 107 m/

16、s。點(diǎn)評(píng)：應(yīng)分析粒子的可能軌跡，從中找到剛好不出磁場(chǎng)的臨界軌跡。求出粒子從圓心到?jīng)_出圓環(huán)所需的時(shí)間。若不能,請(qǐng)求出粒子完成一次周期性運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。 已2解析：由qvB= m*求得粒子的軌跡半徑r =竈R,粒子從O點(diǎn)沿紙面向不同方向射出時(shí),則從A到 B的時(shí)間為：tAB = d Qm2qBqB11、循環(huán)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題【例11】如圖20所示，三個(gè)圓半徑分別為R, 2R, 3R,中心圓和外環(huán)區(qū)域分布著相同的勻強(qiáng)磁 場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向里，內(nèi)環(huán)是無(wú)磁場(chǎng)區(qū)。從圓心 0點(diǎn)沿著紙面射出一帶正電的粒子，初速度大小，問(wèn)此粒子能否逃出兩個(gè)磁場(chǎng)的束縛沖出圓環(huán)外？若能，請(qǐng)知粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q，不計(jì)粒子重力

17、。flfl K K K K H HHKXWXKKHKXWXKK軌跡不同，但軌跡形狀是一樣的。如圖 21所示，粒子先完成4圓周到A點(diǎn)離開磁場(chǎng)，沿AB做勻 速直線運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)進(jìn)入外環(huán)磁場(chǎng)。容易判斷粒子沒有沖出外環(huán)，而是做了半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)后到1 一E點(diǎn)回到里側(cè)無(wú)磁場(chǎng)區(qū)，E到F做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從F點(diǎn)進(jìn)入圓形磁場(chǎng)，做4圓周運(yùn)動(dòng)后回到0點(diǎn), 完成一次周期性運(yùn)動(dòng)。設(shè)AB= CD = EF =匕在 OBD 中,由勾股定理有(r + d)2+r2= (2R)2，解得d = 孫嚴(yán)R,粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T = 2nrnr 2nmnm故粒子完成一次周期性運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t = T+ 2tAB = (2冗+

18、2圧 2)m 點(diǎn)評(píng)：分析粒子的入場(chǎng)點(diǎn)和出場(chǎng)點(diǎn)從而確定軌跡是關(guān)鍵。(3)加速電場(chǎng)的頻率應(yīng)等于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率，即12、電磁綜合問(wèn)題【例12】1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器。 回旋加速器的工作原理如圖22所示,置于高真空中的D形金屬盒半徑為R,兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過(guò)的時(shí)間可以忽略不計(jì)。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直。A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為 m，電荷量為q，在加 速器中被加速，加速電壓為U。加速過(guò)程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用。(1)求粒子第2次和第1次經(jīng)過(guò)兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比;(2)求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間;(3) 實(shí)際使用中，磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場(chǎng)頻率都有最大值的限制。若某一加速器磁感應(yīng)強(qiáng)度和 加速電場(chǎng)頻率的最大值分別為Bm， fm，試討論粒子能獲得的最大動(dòng)能Ekm。X X X X XXXXZxZx X X X X X X X Xxx X X X X X X X Xvxvx X X X X X X丿解析：(1)設(shè)粒子第1次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑為ri，速度為V1,則qU