江蘇南通市2014屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)

1、南通市2014屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評(píng)分建議一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上1 已知集合，則 【答案】2 某學(xué)校有8個(gè)社團(tuán)，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)社團(tuán)，且他倆參加各個(gè)社團(tuán)的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)社團(tuán)的概率為 【答案】3 復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的模為 【答案】4從編號(hào)為0，1，2，79的80件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的 （第5題）方法抽取容量是5的樣本，若編號(hào)為28的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最大編號(hào)為 【答案】765 根據(jù)如圖所示的偽代碼，最后輸出的的值為 【答案】486 若，則a的取值范圍是 【答案】7

2、 若函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象的一條切線方程為，則b的值為 【答案】8. 設(shè)l，m表示直線，m是平面內(nèi)的任意一條直線則“”是“”成立的 條件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選填一個(gè)） 【答案】充要9 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)是半圓：（）上一點(diǎn)，直線的傾斜角為45，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過作的平行線交半圓于點(diǎn)，則直線的方程是 【答案】10在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，AD8，BC20，則的值為 【答案】3611設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，9x，12y，15z成等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列，則的值是 【答案】12設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有極值點(diǎn)之和為 【答案】13

3、 若不等式(mx1)3m 2( x + 1)m10對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)x的值為 【答案】114設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2b2 c1，則abc的最小值為 【答案】二、解答題：本大題共6小題，共90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答. 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在ABC中，已知求：（1）AB的值；（2）的值【解】（1）（方法1）因?yàn)椋?4分所以，即， 亦即，故 7分（方法2）設(shè)A，B，C的對(duì)邊依次為a，b，c，則由條件得 3分兩式相加得，即，故 7分（方法3）設(shè)A，B，C的對(duì)邊依次為a，b，c，則由條件得 3分由余弦定理得，兩式相加得，故 7分（2） 10分由正弦定理得

4、 14分16（本小題滿分14分） PABCDE（第16題）在四棱錐PABCD中，ABDC，AB平面PAD， PDAD，AB2DC，E是PB的中點(diǎn)求證：（1）CE平面PAD；（2）平面PBC平面PAB【證】（1）（方法1）取PA的中點(diǎn)F，連EF，DF 2分因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以EF / AB，且因?yàn)锳BCD，AB2DC，所以EFCD， 4分，于是四邊形DCEF是平行四邊形， 從而CEDF，而平面PAD，平面PAD，PABCDE（第16題）FM故CE平面PAD 7分（方法2）取AB的中點(diǎn)M，連EM，CM 2分因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以EM / PA因?yàn)锳BCD，AB2DC，所以CM / AD 4分

5、因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以EM平面PAD同理，CM平面PAD 因?yàn)椋矫鍯EM， 所以平面CEM平面PAD而平面PAD，故CE平面PAD 7分 （2）（接（1）中方法1）因?yàn)镻DAD，且F是PA的中點(diǎn)，所以 因?yàn)锳B平面PAD，平面PAD，所以 10分 因?yàn)镃EDF，所以，因?yàn)槠矫鍼AB，所以平面PAB 因?yàn)槠矫鍼BC，所以平面PBC平面PAB 14分 17（本小題滿分14分）為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化

6、劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和由實(shí)驗(yàn)知,當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用（1）若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天? （2）若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑a（）個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）【解】（1）因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，所以濃度則當(dāng)時(shí)，由，解得，所以此時(shí) 3分當(dāng)時(shí)，由解得，所以此時(shí)綜合得，若一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天 7分（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x（）天，濃度 10分因?yàn)?，而，所以，故?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，y有最小值為.令，解得，所以a的最小值

7、為 14分18（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線C1：所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C1上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2（1）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)AB是過橢圓C2中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線M是l上的點(diǎn)（與O不重合）若MO2OA，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；若M是l與橢圓C2的交點(diǎn)，求AMB的面積的最小值【解】（1）由題意得 又，解得， 因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4分（2）設(shè)，則由題設(shè)知：，即 解得 8分因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C2上，所以，即，亦即所以點(diǎn)M的軌跡方程為 10分 （方法1）設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓C

8、2上，所以，即 （i）又 （ii）（i）+（ii）得， 13分所以.當(dāng)且僅當(dāng)（即）時(shí)，. 16分（方法2）假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為ykx(k0)解方程組 得， 所以，.又 解得，所以 12分（解法1）由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即k1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)AMB面積的最小值是SAMB 15分 當(dāng)k0，SAMB； 當(dāng)k不存在時(shí)，SAMB綜上所述，AMB面積的最小值為 16分（解法2）因?yàn)椋?又，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即k1時(shí)等號(hào)成立（后同方法1）19(本小題滿分16分) 設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)不為零，前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的r，tN*，都有 （1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（用

9、a1表示）； （2）設(shè)a1=1，b1=3，求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （3）在（2）的條件下，求【解】（1）因?yàn)椋?，則，得，即 2分當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，此式也成立故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 5分（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，Snn2依題意，時(shí)， 7分于是，且，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列 10分（3）由（2）得，所以 12分于是 15分所以 16分20(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點(diǎn)，且x1x2（1）求的取值范圍；（2）證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；（3）設(shè)點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，且ABC為等腰直角三角形，記，求的值【解】（1）若，則，則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾 2分所以，令，則當(dāng)時(shí)，是單

10、調(diào)減函數(shù)；時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)；于是當(dāng)時(shí)，取得極小值 4分因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，(x1x2)，所以，即.此時(shí)，存在；存在，又由在及上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知為所求取值范圍. 6分（2）因?yàn)?兩式相減得 記，則， 8分設(shè)，則，所以是單調(diào)減函數(shù)，則有，而，所以又是單調(diào)增函數(shù)，且所以 11分（3）依題意有，則于是，在等腰三角形ABC中，顯然C = 90， 13分所以，即，由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知，所以，即，所以，即 因?yàn)?，則，又，所以， 15分即，所以 16分南通市2014屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)（附加題） 21A選修41：幾何證明選講BDCAPE（第21A題）如圖，ABC內(nèi)接于圓

11、O，D為弦BC上一點(diǎn)，過D作直線DP/AC，交AB于點(diǎn)E，交圓O在A點(diǎn)處的切線于點(diǎn)P求證：PAEBDE【證明】因?yàn)镻A是圓O在點(diǎn)A處的切線，所以PABACB 因?yàn)镻DAC，所以EDBACB，所以PAEPABACBBDE又PEABED，故PAEBDE 10分21B選修42：矩陣與變換已知二階矩陣M有特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，且M求矩陣M【解】設(shè)，則由，得 再由，得 聯(lián)立以上方程組解得a2，b1，c0，d1，故 10分21C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q都在曲線C：（為參數(shù)）上，且這兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為與2(02)，設(shè)PQ的中點(diǎn)M與定點(diǎn)A(1，0)間的距離為d，

12、求d的取值范圍【解】由題設(shè)可知P(1+2cos，2sin)，Q(1+2cos2，sin2)， 2分于是PQ的中點(diǎn)M 4分從而 6分因?yàn)?2，所以1cos1， 8分于是0d 24，故d的取值范圍是 10分21D選修45：不等式選講已知：R求證：證明：因?yàn)閨m|+|n|mn|，所以 8分又2，故3所以 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22.（本小題滿分10分）在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AB上一點(diǎn)且ABCDD1A1B1C1E（第22題） （1）證明：； （2）若二面角D1ECD的大小為，求的

13、值【證】（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)AD =AA11，AB2，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)因?yàn)椋?，于?1，0，1)所以故D1EA1D 5分（2）因?yàn)镈1D平面ABCD，所以平面DEC的法向量為n1(0，0，1)又，(0，2，1)設(shè)平面D1CE的法向量為n2(x，y，z)，則n2，n2，所以向量n2的一個(gè)解為因?yàn)槎娼荄1ECD的大小為，則解得1又因E是棱AB上的一點(diǎn)，所以0，故所求的值為1 10分23.（本小題滿分10分）設(shè)數(shù)列an共有n（）項(xiàng)，且，對(duì)每個(gè)i (1i，iN)，均有（1）當(dāng)時(shí)，寫出滿足條件的所有數(shù)列an（不必寫出過程）； （2）當(dāng)時(shí)，求滿足條件的數(shù)列an的個(gè)數(shù) 【解】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，即，所以或或故?/p>