基本不等式２

1、3.43.4基本不等式基本不等式一、新課引入一、新課引入上圖是北京召開的第上圖是北京召開的第2424屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計(jì)的，它，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計(jì)的，它是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成。顏色的是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成。顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。情好客?！帮L(fēng)車風(fēng)車”中有哪些圖形，這中有哪些圖形，這些圖形的面積有什么相等些圖形的面積有什么相等關(guān)系和不等關(guān)系？關(guān)系和不等關(guān)系？22Sab正方形ABCD直角三角形正方形SSABCD4abba222abS24直角三

2、角形不等式：不等式： 一般地，對(duì)于兩個(gè)正數(shù)一般地，對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a、b，我們有，我們有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。時(shí)，等號(hào)成立。222ababABCDE(FGH)ab證明推導(dǎo)證明推導(dǎo)1： v問(wèn)：何時(shí)相等？問(wèn)：何時(shí)相等？結(jié)論：結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a a、b b，我們有，我們有 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立222aba b當(dāng)當(dāng)a,ba,b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)時(shí)， 還成立嗎？還成立嗎？此不等式稱為此不等式稱為重要不等式重要不等式222aba b2.代數(shù)意義：兩個(gè)正數(shù)代數(shù)意義：兩個(gè)正數(shù)幾何平均數(shù)小于等于它們幾何平均數(shù)小于等于它們 的算術(shù)平均數(shù)

3、的算術(shù)平均數(shù)(0,0)2ababab（當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)時(shí)，等號(hào)成立等號(hào)成立）二二、新課講解新課講解算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)1.1.思考思考: :如果當(dāng)如果當(dāng) 用用 去替換去替換 中的中的 , ,能得到什么結(jié)論能得到什么結(jié)論? ? 0, 0ba,ab222aba bba,基本不等式基本不等式oabABPQ1.1.如圖如圖,AB,AB是圓是圓o o的的直徑，直徑，Q Q是是ABAB上任上任一點(diǎn)，一點(diǎn)，AQ=AQ=a a,BQ,BQ= =b b, ,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，連，連AP,BPAP,BP, ,半徑半徑AO=AO=_ab2ba 幾何意

4、義：幾何意義：圓的半徑大于等于圓內(nèi)半弦圓的半徑大于等于圓內(nèi)半弦長(zhǎng)長(zhǎng)你能用這個(gè)圖得出基本你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎不等式的幾何解釋嗎? ?2.PQ2.PQ與與AOAO的大小關(guān)系怎樣的大小關(guān)系怎樣? ?則半則半PQ=PQ=_,_,基本不等式：基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a =b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立.222(abab aR、b）重要不等式：重要不等式：(0,0)2ababab注意：注意：（1）不同點(diǎn)：兩個(gè)不等式的）不同點(diǎn)：兩個(gè)不等式的適用范圍適用范圍不同。不同。（2）相同點(diǎn)：當(dāng)且僅當(dāng)）相同點(diǎn)：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。時(shí)，等號(hào)成立。2

5、100 mxy例例1 1用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園菜園, , 問(wèn)該矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)問(wèn)該矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí), , 所用籬笆最短，最短的籬笆是多少所用籬笆最短，最短的籬笆是多少? ?2100m三三、應(yīng)用應(yīng)用解解: (1): (1)設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為 , ,寬為寬為 , , 則則 , , 籬籬笆的長(zhǎng)為笆的長(zhǎng)為 . . xm100 xyymmyx)(21002 yx等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立時(shí)成立, ,此時(shí)此時(shí)因此因此, ,這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬都是這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬都是10m10m時(shí)時(shí), ,所用的籬笆最短所用的籬笆最短, ,最短為最短為40m40myx

6、 10 yx402yx得得即即由由xyyx22 (2)一段長(zhǎng)為一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)，寬各為多少菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)，寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？少？已知已知a,ba,b都是正數(shù)，都是正數(shù)， （1 1）若）若abab是定值是定值P, P, 則當(dāng)則當(dāng)a=ba=b時(shí)時(shí), ,a+ba+b有最小值有最小值 ； （2 2）若）若a+ba+b是定值是定值S, S, 則當(dāng)則當(dāng)a=ba=b時(shí)時(shí),ab,ab有最大值有最大值 ；P22S41積一定，和有最小值；積一定，和有最小值； 和一定，積有最大值。和一定，積有最大

7、值。注意：一正二定三相等！注意：一正二定三相等！1、本節(jié)課主要內(nèi)容？、本節(jié)課主要內(nèi)容？你會(huì)了你會(huì)了嗎？嗎？五五 、小結(jié)小結(jié)2 2、兩個(gè)結(jié)論、兩個(gè)結(jié)論: :兩個(gè)正數(shù)兩個(gè)正數(shù), ,積定和最小積定和最小; ;和定積最大。和定積最大。.,.)2()2( ;2) 1 ( :2號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)即babaababba構(gòu)造條件構(gòu)造條件三三、應(yīng)用應(yīng)用0,02ababab（）20,0abab ab（）例例1、若若 ,求求 的最小值的最小值.10 xyxx變變3:若若 ,求求 的最小值的最小值.13 3xyxx 變變2:若若 ,求求 的最小值的最小值.0,0 baabyab發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用

8、不等式問(wèn)問(wèn):在結(jié)論成立的基礎(chǔ)上在結(jié)論成立的基礎(chǔ)上,條件條件“a0,b0”可以變化嗎可以變化嗎？變變1: :若若 求求 的最小值的最小值, 0 xxxy23 0,02ababab（）0,02ababab2（）三三、應(yīng)用應(yīng)用例例2、已知已知 ,求函數(shù)求函數(shù) 的最大值的最大值.01 (1)xyxx 變式變式:已知已知 ,求函數(shù)求函數(shù) 的最大值的最大值.10 (12 )2xyxx 發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式應(yīng)用要點(diǎn)：應(yīng)用要點(diǎn)：一正數(shù)一正數(shù) 二定值二定值 三相等三相等結(jié)論結(jié)論1 1：兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值結(jié)論結(jié)論2 2：兩個(gè)正數(shù)和為定值，則積有

9、最大值兩個(gè)正數(shù)和為定值，則積有最大值多少元?多少元?造價(jià)為造價(jià)為使總造價(jià)最低?最低總使總造價(jià)最低?最低總怎樣設(shè)計(jì)水池能怎樣設(shè)計(jì)水池能, ,元元120120價(jià)為價(jià)為的造的造m m1 1池壁每池壁每元,元,150150造價(jià)為造價(jià)為的的1m1m每每底底池池果果.如.如3m3m深度為深度為, ,4800m4800m其容積為其容積為長(zhǎng)方體貯水池,長(zhǎng)方體貯水池,某工廠建造一個(gè)無(wú)蓋的某工廠建造一個(gè)無(wú)蓋的: :2 22 22 22 2例3.3.已知直角三角形的面積等于已知直角三角形的面積等于5050，兩條直角邊各，兩條直角邊各為多少時(shí)為多少時(shí), ,兩條直角邊的和最小，最小值是多兩條直角邊的和最小，最小值是多少

10、？少？4.4.用用20cm20cm長(zhǎng)的鐵絲折成一個(gè)面積最大的矩形，應(yīng)長(zhǎng)的鐵絲折成一個(gè)面積最大的矩形，應(yīng)怎樣折？怎樣折？ 四四 、鞏固鞏固.,3, 6,. 2., 6,. 1nmnmmnnmnmmnnmnm此時(shí)值有最則滿足若正數(shù)此時(shí)值有最則滿足若正數(shù)大大933小小26232證明證明:要證要證abba2只要證只要證ba ( ) 要證，只要證要證，只要證ba 0( ) 要證，只要證要證，只要證（ ) 20ab2ab2abba 顯然顯然: : 是成立的是成立的, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)時(shí)中的等號(hào)成立中的等號(hào)成立. .證明:當(dāng) 時(shí), . abba20, 0ba作業(yè)作業(yè)課本課本P100P100習(xí)題習(xí)題3.4A