人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊培優(yōu)練習(xí)5.1《導(dǎo)數(shù)的概念及其意義》（解析版）

1、數(shù)學(xué)選擇性必修二尖子生同步培優(yōu)題典5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義 解析版學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_一、單選題1已知曲線在處的切線方程為，則函數(shù)圖象的對稱軸方程為（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的值，然后可得答案.【詳解】因?yàn)椋€在處的切線方程為，所以，結(jié)合可得所以，解得所以圖象的對稱軸方程為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】在中令后可求，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的取值范圍可得的范圍，從而可得的取值范圍.【詳解】，.點(diǎn)P是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切

2、線的傾斜角為，.，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題.3若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】將題意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)與直線上任意兩點(diǎn)之間距離的最小值的平方的問題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋士傻?，故點(diǎn)可理解為函數(shù)上的任意兩點(diǎn).又，令，故可得，即函數(shù)在處的切線與平行，又切線方程為：，則函數(shù)在處的切線方程與直線之間的距離，故的最小值即為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，注意本題對目標(biāo)式的轉(zhuǎn)化才是本題的關(guān)鍵，屬綜合中檔題.4直線是曲線和曲線的公切線，則（ ）A

3、BCD【答案】C【解析】【分析】由可求得直線與曲線的切點(diǎn)的坐標(biāo)，由可求得直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，再將兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，可得出關(guān)于、的方程組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，則，由，可得，則，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程可得，可得，則，由，可得，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程可得，聯(lián)立可得，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩曲線的公切線求參數(shù)，要結(jié)合切點(diǎn)以及切線的斜率列方程組求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5將曲線繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與軸相切，則的最小正值是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出過點(diǎn)與曲線相切的切線的

4、切點(diǎn)，并求直線的斜率和傾斜角，再根據(jù)題意得出的最小正值.【詳解】由題意得，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則，解得，所以直線的斜率，故的最小正值是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點(diǎn)考查直觀想象，計(jì)算能力，屬于中檔題型.6若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則的值為（ ）A或B或C或D或【答案】A【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出的方程，可得出切線方程，再將切線方程與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立，由可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】對于函數(shù)，則曲線在點(diǎn)的切線斜率為，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由于直線過點(diǎn)，可得，解得或.當(dāng)時(shí)，切線為軸，對于函數(shù)，則

5、，解得；當(dāng)時(shí)，切線方程為，聯(lián)立，整理得，由題意可得，解得.綜上所述，或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查過點(diǎn)與曲線相切的切線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、多選題7為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論為（ ）A在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；B在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；C在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；D甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，

6、在的污水治理能力最強(qiáng)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù)，在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；A正確；甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強(qiáng)D錯(cuò)誤；在時(shí)刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；B正確；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；C正確；故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查切線斜率應(yīng)用、函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析識別能力，屬?？碱}型.8

7、已知函數(shù)的圖象如圖所示，令，則下列關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是（ ）A函數(shù)圖象的對稱軸方程為B函數(shù)的最大值為C函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使得在P點(diǎn)處的切線與直線l：平行D方程的兩個(gè)不同的解分別為，則最小值為【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得，由函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得函數(shù)的對稱軸方程為，函數(shù)取得最大值，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得使得在P點(diǎn)處的切線與直線l：平行，解得，由方程解得最小值為，從而可得正確答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象知，根據(jù)五點(diǎn)法畫圖知，當(dāng)時(shí)，；令，解得，函數(shù)的對稱軸方程為，A正確；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最大值，B正確；，假設(shè)函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得在P點(diǎn)處的切線與直線l：平行，則，解得，顯然不成立，

8、所以假設(shè)錯(cuò)誤，即C錯(cuò)誤；方程，則，或，方程的兩個(gè)不同的解分別為，則，其最小值為，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.9在直角坐標(biāo)系內(nèi)，由，四點(diǎn)所確定的“型函數(shù)”指的是三次函數(shù)，其圖象過，兩點(diǎn)，且的圖像在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn).若將由，四點(diǎn)所確定的“型函數(shù)”記為，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）A曲線在點(diǎn)處的切線方程為BC曲線關(guān)于點(diǎn)對稱D當(dāng)時(shí)，【答案】ABC【解析】【分析】A.根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求解判斷；B.根據(jù)的圖象過點(diǎn)及，設(shè)(其中)，然后再利用，求解判斷；C.由B得到判斷；D. 由B

9、結(jié)合，有，判斷.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以的方程為，即，所以A正確.因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)及，所以有兩個(gè)零點(diǎn)0，4，故可設(shè)(其中)，則，由，得，所以，故B正確.由選項(xiàng)B可知，所以曲線關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確.當(dāng)時(shí)，有，所以，故D不正確.故答案為：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.三、填空題10若，則=_.【答案】 【解析】【分析】【詳解】由極限的定義可得：，.故答案為：11已知函數(shù)且，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件求值，再求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線斜率，求切點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式寫方程即可.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所

10、以.又，所以所求切線方程為，即，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與分段函數(shù)求值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的最小值為_【答案】【解析】設(shè)直線與曲線相切于，由函數(shù)，可得，令，又，解得，即有，可得切點(diǎn)，代入，解得，可得與直線平行且與曲線相切的直線，而兩條平行線與的距離，即有的最小值為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的方程、兩條平行線之間的距離、最小值的轉(zhuǎn)化問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題；設(shè)出切點(diǎn)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得切點(diǎn)，求出與直線平行且與曲線相切的直線，再求出此兩條平行線之間的距離，即可

11、得出.四、解答題13已知函數(shù)，為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，曲線在處的切線為.（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求切線的方程；（2）求當(dāng)切線的斜率最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可得出結(jié)果；（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，求導(dǎo)數(shù)的最小值，得出此時(shí)的，即可得出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可求出切點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)椋?，又點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，因此在處的切線為；（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，此時(shí)切線斜率最小，又時(shí)，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查求曲線在某點(diǎn)的切線方程，以及求切點(diǎn)坐標(biāo)，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可，屬于?？碱}型.14泰

12、興機(jī)械廠生產(chǎn)一種木材旋切機(jī)械，已知生產(chǎn)總利潤c元與生產(chǎn)量x臺之間的關(guān)系式為c(x)2x27 000x600.(1)求產(chǎn)量為1 000臺的總利潤與平均利潤；(2)求產(chǎn)量由1 000臺提高到1 500臺時(shí)，總利潤的平均改變量；(3)求c(1 000)與c(1 500)，并說明它們的實(shí)際意義【答案】（1）5 000.6(元)；（2）2 000(元)；（3）見解析.【解析】【分析】（1）將x=1000代入函數(shù)可得總利潤，總利潤除以總數(shù)1000可得平均利潤；（2）計(jì)算即可得解；（3）求導(dǎo)得c(x)，再分別計(jì)算c(1 000)和c(1 500)，利用導(dǎo)數(shù)代表瞬時(shí)變化率可知為實(shí)際意義為生產(chǎn)一臺多獲利的錢數(shù).

13、【詳解】(1)產(chǎn)量為1 000臺時(shí)的總利潤為c(1 000)21 00027 0001 0006005 000 600(元)，平均利潤為5 000.6(元)(2)當(dāng)產(chǎn)量由1 000臺提高到1 500臺時(shí)，總利潤的平均改變量為2 000(元)(3)c(x)(2x27 000x600)4x7 000，c(1 000)41 0007 0003 000(元)，c(1 500)41 5007 0001 000(元)，它們指的是當(dāng)產(chǎn)量為1 000臺時(shí)，生產(chǎn)一臺機(jī)械可多獲利3 000元；.而當(dāng)產(chǎn)量為1 500臺時(shí)，生產(chǎn)一臺機(jī)械可多獲利1 000元【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際應(yīng)用，考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是

14、理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際意義.15已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若過點(diǎn)可做曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）a=1，b=3；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得關(guān)于的方程組，從而可求的值.（2）設(shè)切點(diǎn)為，則可得關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)討論的極值的正負(fù)，從而可得的取值范圍.【詳解】解：（1），由在點(diǎn)處的切線方程為，得，故，故，（2）由（1）得，過點(diǎn)向曲線做切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為因?yàn)榍芯€過，故，整理得到：，過點(diǎn)可做曲線的三條切線，故方程有3個(gè)不同的解.記，當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題

15、考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的零點(diǎn)，對于三次函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值的正負(fù)來討論，本題屬于中檔題.16某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測得點(diǎn)M到的距離分別為2千米和5千米，點(diǎn)N到的距離分別為4千米和2.5千米，以在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)曲線C符合函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）模型（1）求a，b的值；（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t請寫出公路l長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長度最短？求出最短長度【答案】（1）；（2）；當(dāng)時(shí)，公路的長度最短為.【解析】【分析】（