2022年高考數(shù)學(xué)必刷壓軸題專題03函數(shù)的奇偶性對(duì)稱性周期性?含解析?

1、專題03 函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性【方法點(diǎn)撥】1.常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下：(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T2a.2.函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性間關(guān)系：(1)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，即f(ax)f(ax)恒成立，則yf(x)的圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱；一般的，若f(ax)f(bx)恒成立，則yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(2)若函數(shù)yf(xa)是奇函數(shù)，即f(xa)f(xa)0恒成立，

2、則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)中心對(duì)稱；一般的，若對(duì)于R上的任意x都有f(ax)f(ax)2b恒成立，則yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱.3. 函數(shù)對(duì)稱性、周期性間關(guān)系：若函數(shù)有多重對(duì)稱性，則該函數(shù)具有周期性且最小正周期為相鄰對(duì)稱軸距離的2倍，為相鄰對(duì)稱中心距離的2倍，為對(duì)稱軸與其相鄰對(duì)稱中心距離的4倍(注：如果遇到抽象函數(shù)給出類似性質(zhì)，可以聯(lián)想ysinx，ycosx的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和周期之間的關(guān)系)4. 善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對(duì)稱性（中心對(duì)稱、軸對(duì)稱），有時(shí)需將對(duì)稱性與函數(shù)的奇偶性相互轉(zhuǎn)化.【典型題示例】例1 （2021新高考全國(guó)卷8）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（ ）A. B

3、. C. D. 【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，所以，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.例2 （2021全國(guó)甲卷（理）12）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】通過(guò)是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以令，由得：，由得：，因?yàn)?，所以，令，由得：，所以思路一：從定義入手所

4、以思路二：從周期性入手由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期所以故選：D例3 已知函數(shù)f (x)對(duì)任意的xR，都有f f ，函數(shù)f (x1)是奇函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，f (x)2x，則方程f (x)在區(qū)間3,5內(nèi)的所有根之和為_. 【答案】4【分析】由f f 對(duì)任意的xR恒成立，得f (x)關(guān)于直線x對(duì)稱，由函數(shù)f (x1)是奇函數(shù)，f (x)關(guān)于點(diǎn)（1,0）中心對(duì)稱，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性、周期性間關(guān)系，知函數(shù)f (x)的周期為2，作出函數(shù)f (x)的圖象即可.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f (x1)是奇函數(shù)，所以f (x1)f (x1)，又因?yàn)閒 f ，所以f (1x)f (x)，所以f (x1)f (x)，即f (x2)f

5、(x1)f (x)， 所以 函數(shù)f (x)的周期為2，且圖象關(guān)于直線x對(duì)稱作出函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，由圖象可得f (x)在區(qū)間3,5內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)，且所有根之和為244.例4 已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足若，則AB0C2D50【答案】C【分析】同例1得f (x)的周期為4，故f (1) f (2) f (3) f (4)f (5) f (6) f (7) f (8) f (45) f (46) f (47) f (48)，而f (1)2，f (2)f (0)0（f(1x)f(1x)中，取x1）、f (3)f (1) f (1)2、f (4)f (0)0，故f (1) f (2) f (3

6、) f (4)f (5) f (6) f (7) f (8) f (45) f (46) f (47) f (48) 0，所以f (1) f (2) f (3) f (50) f (47) f (48) f (1) f (2) 2.例5 已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有（2）成立，當(dāng)，且時(shí)，都有，則下列結(jié)論正確的有A（1）（2）（3）B直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C函數(shù)在，上有5個(gè)零點(diǎn)D函數(shù)在，上為減函數(shù)【分析】根據(jù)題意，利用特殊值法求出（2）的值，進(jìn)而分析可得是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)和在區(qū)間，上為增函數(shù)，據(jù)此分析選項(xiàng)即可得答案【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)是上的奇函數(shù)，則；對(duì)

7、任意，都有（2）成立，當(dāng)時(shí)，有（2），則有（2），則有，即是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；又由為奇函數(shù)，則，變形可得，則有，故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，都有，則函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)，又由是上的奇函數(shù)，則在區(qū)間，上為增函數(shù)；據(jù)此分析選項(xiàng)：對(duì)于，則（1）（2）（3）（4）（1）（3） （2）（4），（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4） （1）（2）（3）（2），正確；對(duì)于，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則 是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，正確；對(duì)于，函數(shù)在，上有7個(gè)零點(diǎn)：分別為，0，2，4，6；錯(cuò)誤；對(duì)于，在區(qū)間，上為增函數(shù)且其周期為4，

8、函數(shù)在，上為增函數(shù)，又由為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則函數(shù)在，上為減函數(shù)， 正確；故選：【鞏固訓(xùn)練】1已知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,則的解集為_.2已知定義在上的函數(shù)滿足，且的圖象與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和等于_.3.已知函數(shù)滿足，且時(shí)，則（ ）A0B1CD4. 已知f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，滿足f(x1)f(x3)，f(1x)f(3x)，當(dāng)0x2時(shí)，f(x)x2x，則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)f(x)的周期為4B.函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱C.當(dāng)0x4時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為2D.當(dāng)6x8時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為5.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，若

9、方程f(x)=m(m0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，則 86(多選題)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x1)與f(x2)都為奇函數(shù)，則()A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為周期函數(shù)C.f(x3)為奇函數(shù) D.f(x4)為偶函數(shù)7.若定義在R上的函數(shù)滿足，是奇函數(shù)，現(xiàn)給出下列4個(gè)論斷：是周期為4的周期函數(shù)；的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；是偶函數(shù)； 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；其中正確論斷的個(gè)數(shù)是_.8. (多選題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(2x)，且f(x)是偶函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是()A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱 B.f(x)是周期為4的函數(shù)C.若f(x)滿足對(duì)任意的x0，1，都有0，則f(

10、x)在3，2上單調(diào)遞增D.若f(x)在1，2上的解析式為f(x)ln x1，則f(x)在2，3上的解析式為f(x)1ln(x2)【答案與提示】1【答案】【解析】函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,則由,結(jié)合圖象可得,求得.2【答案】8【解析】，故，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以四個(gè)交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和為8.3. 【答案】D【解析】因?yàn)?，所?.4. 【答案】ABC【解析】由f(x1)f(x3)，得f(x)f(x1)1f(x1)3f(x4)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，A正確.由f(1x)f(3x)，得f(2x)f(2x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，B正確.當(dāng)0x2時(shí)，函數(shù)f

11、(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)在0，2上取得極小值，且f(0)0，f(2)2.作出函數(shù)f(x)在0，8上的大致圖象，如圖.由圖可知，當(dāng)0x4時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為f(2)2，C正確；當(dāng)6x8時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為ff，D錯(cuò)誤.故選ABC.5. 8【答案】8【提示】四個(gè)根分別關(guān)于直線，對(duì)稱.6【答案】ABC【解析】法一由f(x1)與f(x2)都為奇函數(shù)知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)，(2，0)對(duì)稱，所以f(x)f(2x)0，f(x)f(4x)0，所以f(2x)f(4x)，即f(x)f(2x)，所以f(x)是以2為周期的周期函數(shù).又f(x1)與f(x2)

12、都為奇函數(shù)，所以f(x)，f(x3)，f(x4)均為奇函數(shù).故選ABC.法二由f(x1)與f(x2)都為奇函數(shù)知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)，(2，0)對(duì)稱，所以f(x)的周期為2|21|2，所以f(x)與f(x2)，f(x4)的奇偶性相同，f(x1)與f(x3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x3)，f(x4)均為奇函數(shù).故選ABC.7.【答案】3【解析】命題：由，得：，所以函數(shù)的周期為4，故正確；命題：由是奇函數(shù)，知的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故正確；命題：由是奇函數(shù)，得：，又，所以，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故正確；命題：，無(wú)法判斷其值，故錯(cuò)誤.綜上，正確論斷的序號(hào)是：.8. 【答案】ABC【解析】根據(jù)題意，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱，A正確；又f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(x)f(x)，則2f(2x)f(x)，f(x)2f(x2)，從而f(x2)2f(x4)，所以f(x)f(x4)，B正確；由0可知f(