【精品】導數(shù)的幾何意義教案(后附教學反思)

1、導數(shù)的幾何意義教案 后附教學反思永嘉中學數(shù)學組周瑛 08413【教學目標】知識與技能目標：1使學生掌握函數(shù)fx在x Xo處的導數(shù)f / X0的幾何意義就是函數(shù)fx的 圖像在X Xo處的切線的斜率。數(shù)形結合，即：f / Xo lim 4x fXo二切線的斜率X 0x2會利用導數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題，體會“以直代曲的數(shù)學思想方 法。過程與方法：通過讓學生在動手實踐中探索、觀察、反思、討論、總結，發(fā)現(xiàn)問 題，解決問題，從而到達培養(yǎng)學生的學習能力，思維能力，應用能力和創(chuàng)新能力 的目的。情感態(tài)度與價值觀：導數(shù)的幾何意義能夠很好地幫助理解導數(shù)的定義，到達數(shù)與 形的結合；同時又是知識在幾何學，物理學方

2、面的遷移應用。培養(yǎng)學生學數(shù)學， 用數(shù)學的意識?！窘虒W手段】采用幻燈片，實物投影等多媒體手段，增大教學容量與直觀性，有效提高教學效率和教學質量?！菊n型】探究課【教學重點與難點】重點：導數(shù)的幾何意義及“數(shù)形結合，以直代曲的思想方法。難點：發(fā)現(xiàn)、理解及應用導數(shù)的幾何意義【教學過程】一課題引入，類比探討：讓學生回憶導數(shù)的概念及其本質。承上啟下，自然過渡。師：導數(shù)的本質是什么？寫出它的表達式。一位學生板書，其他學生在“學 案中寫：導數(shù)f/Xo的本質是函數(shù)f x在X Xo處的瞬時變化率，即：f/ Xof Xoxf(Xo)X注記：教師不能代替學生的思維活動， 學生將大腦中已有的經(jīng)驗、認識轉換成 數(shù)學符號，有

3、利于學生思維能力的有 效提高，為學生“發(fā)現(xiàn) 感知導數(shù)的幾何意義奠定根底師：導數(shù)的本質僅是從代數(shù)數(shù)的角度來詮釋導數(shù)，假設從圖形形的角 度來探究導數(shù)的幾何意義板書課題，應從哪兒入手呢？教師引導學生：數(shù)形結合是重要的思想方法。要研究“形自然要結合“數(shù) 生1:研究導數(shù)的代數(shù)表達式。師：那必然就要回憶求導數(shù)f/X。的步驟了。生齊：分三步：第一步：求 y第二步：求平均變化率；x第三步：當X趨近于0時，平均變化率丄x fXo無限趨近于的常X數(shù)就是f/Xo?；貧w本質，數(shù)形結合教師進一步引導學生：這是從“數(shù)的角度來求導數(shù)，假設從“形的角度探索導 數(shù)的幾何意義，類比地，也可以分三個步驟：師：第一步：y的幾何意義。

4、并在學案的圖二次函數(shù)中畫出生：當Xo X與Xo所對應的函數(shù)值的差量。師：很好，那么第二步：平均變化率XfX0的幾何意義是什么？X同樣請在函數(shù)圖像中畫出來；由于上節(jié)探究中做過，所以還是比擬簡單。生2:平均變化率XfXo的幾何意義是割線 AB的斜率。其中XAXo, fXo, BXo x, fXo x。提醒學生A、B兩點的坐標必須寫清楚。師：第二步：x o時，割線AB有什么變化？請用你的筆描繪出來。有靜態(tài)到動態(tài)的過渡，比擬考察學生的觀察能力，動手能力與獨立思考能力很快，有幾個學生又畫了三條直線其中橫坐標在 xo x與xo之間。教師讓生3用投影儀展示自己的作品，并向其它學生介紹自己作圖的意圖，由此引導

5、同伴觀察到：x o，Bxox, f xo x AXo, f Xo,師趁勝追擊：很好，那么當 x 0 ,于是A，B之間的差距越來越小，B 一直，一直這樣靠近 A，最后會生齊：重合。師：那么直線AB ？0 ,割線AB有一個無限趨近確實定位置,生齊：變成一條切線了。 師：大家真不錯，確實，當 X這個確定位置上的直線叫做曲線在 x Xo處的切線，下面請把它畫出來。等學生化出切線AD后，教師用Flash展示動態(tài)過程，引導學生回憶過程。結論：形 x 0 ,割線AB 切線AD，那么割線AB的斜率 切線AD的斜率?？谑鲇蓴?shù)形結合，得f/ Xo lim丄出一X二切線AD的斜率。板書x 0x所以，函數(shù)fx在x X

6、o處的導數(shù)f / xo的幾何意義就是函數(shù) fx的圖像在x Xo處的切線AD的斜率。數(shù)形結合。說明：動手實踐，探索發(fā)現(xiàn)。使學生經(jīng)歷探究“導數(shù)的幾何意義的過程以獲 得理智和情感體驗，建構“導數(shù)及其幾何意義的知識結構，準確理解“導數(shù)的幾何意義，掌握“數(shù)形結合，類比探討的數(shù)學思想方法。二深入研究，知識拓展師：好，我們現(xiàn)在清楚導數(shù)的幾何意義就是在該點處切線的斜率。其中切線 很關鍵，但是它與以前學過的切線定義有什么不同呢？見P77的探究問題。生4:初中平面幾何中，如圓的切線的的定義：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切。這時，直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點。師：講得非常好，確實如此，但從剛剛那

7、刻開始，將會有變數(shù)。展示如下動畫，A點直線I iB 直線I 2 o學生們發(fā)現(xiàn)生4講的初中切線的定義已不適合這里了。y j/11 172kIxCyP7/師：圓是一種特殊的曲線。這種定義并不適用于一般曲線的切線。例如上 圖中，直線ll雖然與曲線有惟一的公共點，但我們不能認為它與曲線相切；而 另一條直線ll雖然與曲線有不只一個公共點，我們還是認為它是曲線的切線。 因此，以上圓的切線定義并不適用于一般的曲線。通過逼近的方法，將割線趨于確實定位置的直線定義為切線交點可能不惟一，適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質。三“以直代曲思想利用PPT做出三個切點附近的近景，而且由小放到大，類似

8、于放大鏡的效 果，讓學生觀察切點附近曲線與直線的位置關系。學生發(fā)現(xiàn)，它們越來越靠近，幾乎重合。此時，教師點出：根據(jù)導數(shù)的幾何意義，在點 P附近，曲線fx可以用在點P處的切線近似 代替，這是微積分中重要的思想方法一一以直代曲以簡單的對象刻畫復雜的對象。動畫演示：通過信息技術將函數(shù)曲線某一點附近的圖象放大得到一個 近景圖，圖象放得越大，這一小段曲線看起來就越象直線；大多數(shù)函數(shù)曲線就 一小范圍來看，大致可看作直線，所以，某點附近的曲線可以用過此點的切線 近似代替，即“以直代曲說明：適時、有效地采用計算機等多媒體輔助教學，可以不僅加強學生對“導數(shù)的幾何意義形象、直觀地理解，還能將學生的動手實踐感知體驗

9、與 抽象思維深層內化有效結合，增強學生的思維能力訓練，提高教學效率和教學質量。四例題講解，加強理解例1 在函數(shù)ht 4.9t26.5t 10的圖像上，用圖形來表達導數(shù)h/13.3，h/0.51.6的幾何意義，并用數(shù)學語言表述出來。變式：請描述、比擬曲線ht在to,t1,t2附近增減以及增減快慢的情況。在t3,t4附近呢？如下列圖注記：要求學生動腦審題，動手畫切線，動口同桌討論、描述運發(fā)動 的運動狀態(tài)，體會利用導數(shù)的幾何意義解釋實際問題，滲透“數(shù)形結合、“以 直代曲的思想方法。從中小結出：1 .點附近的增減-.導數(shù)的正負過該點切線的斜率正負；2.增減快慢-.導數(shù)的絕對值大小-.過該點切線的斜率大

10、小的絕對值 -. 曲線在該點附近的陡峭程度。板書例2 如圖表示人體血管中的藥物濃度f t單位：mg/mL 隨時間t 單位：min 變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計t 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min時，血管中藥物濃度的瞬時變化率，把數(shù)據(jù)用表格的形式列出。精確到0.1t0.20.4o.60.8藥物濃度的 瞬時變化率注記：要求學生動腦審題，動手畫切線，動口說出如何估計切線斜率進一步體會利用導數(shù)的幾何意義解釋實際問題，滲透“數(shù)形結合、“以直代曲的思想方法。五抽象概括，歸納小結先由學生小結1.抽象概括：由練習2抽象概括出導函數(shù)簡稱導數(shù)的概念: f/ X。是確定的數(shù)靜態(tài)，f/ x是X的函數(shù)動態(tài)

11、由 f/ Xolim佟一X 電特殊一一一般 X 0f/ x lim fXX靜態(tài)動態(tài)X 0X說明：體驗從靜態(tài)到動態(tài)的變化過程，領會從特殊到一般的辯證思想2.歸納小結： 由學生進行開放式小結：1函數(shù)fx在X Xo處的導數(shù)f / Xo的幾何意義就是函數(shù)fX的圖像在x Xo處的切線AD的斜率。數(shù)形結合，即：f / Xolim 4xf(Xo)二切線ad的斜率x olimx of X X f(x)X2利用導數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題，體會“數(shù)形結合 、“以直代曲 的思想方法。3導函數(shù)簡稱“導數(shù)的概念六作業(yè)布置1習題 P80.A5,6;B12.(給好的學生)請給出求函數(shù)y f(x)在x xo處的切線方程的

12、一個算法，并 小組自編四個求切線的題目。(探索：假設把 3 .“在點 (x0,f (x0) 處改為“過點 (x0, f(x0) ，算法有何不 同？并小組自編四個求切線的題目。 )附：教學反思本節(jié)內容是在學習了“變化率問題、導數(shù)的概念等知識的根底上，研究導 數(shù)的幾何意義 ,由于新教材未設計極限 ,于是我盡量采用形象直觀的方式 ,讓學生 通過動手作圖 ,自我感受整個逼近的過程 ,并用形象的幾何畫板及 Flash 展示動態(tài) 的過程，讓學生更加深刻地體會導數(shù)的幾何意義及“以直代曲的思想。本節(jié)課主要圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義和“利用導數(shù) 的幾何意義解釋實際問題兩個教學重心展開。先回憶導數(shù)的實際意義、 數(shù)值意義， 由數(shù)到形， 自然引出從圖形的角度研究 導數(shù)的幾何意義；然后，類比“平均變化率瞬時變化率的研究思路，運用 逼近的思想定義了曲線上某點的切線， 再引導學生從數(shù)形結合的角度思考， 獲得 導數(shù)的幾何意義“導數(shù)是曲線上某點處切線的斜率 。完本錢節(jié)課第一階段的內容學習后，教師點明，利用導數(shù)的幾何意義，在研 究實際問題時， 某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替， 即“以直代曲， 從而到達“以簡單的對象刻畫復雜對象的目的，并通過兩個例題的研究，讓學 生從不同的角度完整地體驗導數(shù)與切線斜率的關系，并感受導數(shù)應用的廣泛性。本節(jié)課注重以學生為主體 ,每一個知識、每一個發(fā)現(xiàn)，總