北京市海淀區(qū)高三3月適應(yīng)性考試（零模）數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）

1、海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)（理科）第卷（共40分）一、選擇題：本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）abcd 2.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）abcd 3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ）a1b3c7d15 4.在極坐標(biāo)系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（ ）a（）和b（）和c（）和d（）和5.設(shè)，為兩個(gè)非零向量，則“”是“與共線”的（ ）a充分且不必要條件b必要且不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件 6.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，若函?shù)（）的圖象上存在區(qū)域上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍

2、是（ ）abcd 7.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個(gè)面中，面積最大的面的面積是（ ）a4bcd 8.已知函數(shù)滿足如下條件：任意，有成立；當(dāng)時(shí)，；任意，有成立則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）abcd 第卷（共110分）二、填空題（每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上）9.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 10.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸進(jìn)線的距離是 11.在銳角中，角，所對(duì)的邊長分別為，若，則角等于 12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若數(shù)列滿足，則使數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的的值為 13.小明、小剛、小紅等5個(gè)人排成一排照相合影，若小明與小剛相鄰，且小明與小紅不相鄰，則不同的排法有 種14.已知

3、正方體的棱長為2，長度為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則中點(diǎn)的軌跡與正方體的表面所圍成的較小的幾何體的體積等于 三、解答題 （本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 15.已知函數(shù)（）的最小正周期為（）求的值；（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間16. 如圖，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，將沿折起，使得（）若是的中點(diǎn)，求證：平面；（）求證：平面平面；（）求二面角的大小17.某公司準(zhǔn)備將萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目選擇，若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤（萬元）的概率分布列如表所示：1101201700.4且的期望；若投資乙項(xiàng)目一年后可

4、獲得的利潤（萬元）與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立且調(diào)整的概率分別為（）和若乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)（次數(shù)）與的關(guān)系如表所示：01241.2117.6204.0（）求，的值；（）求的分布列；（）若該公司投資乙項(xiàng)目一年后能獲得較多的利潤，求的取值范圍18.已知橢圓：的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和長軸長；（）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交橢圓于，記，分別為點(diǎn)和到直線的距離，證明：19.已知函數(shù)（）若曲線與直線相切于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（）

5、當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)，20.已知數(shù)集（，）具有性質(zhì)：對(duì)任意的（），（），使得成立（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（）求證：（）；（）若，求數(shù)集中所有元素的和的最小值精華學(xué)校2016-2017學(xué)年全日制第三次月考數(shù)學(xué)（理科）測(cè)試卷答案一、選擇題1-5: 6-8: 二、填空題9. 10. 11.12.9或10 13.36 14.三、解答題15.解：（）因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，且，從而有，故（）由（）知，令，所以有，所以有，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，16.（）證明：連接交于點(diǎn)，連接，在正方形中，為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面（）證明：由已知可得，又因?yàn)?，平?/p>

6、，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面（）由（）知平面，所以，又因?yàn)椋?，所以平面，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以即令，則，從而，同理可求得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，易知，所以，所以，所以二面角的大小為17.解：（）由題意得解得，（）的可能取值為，所以的分布列為：41.2117.6204（）由（）可得，由于該公司投資乙項(xiàng)目一年后能獲得較多的利潤，所以，所以，解得，所以的取值范圍是18.解：（）由題意可知解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的長軸長為（）由（）可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的斜率，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的方

7、程是，當(dāng)時(shí)，直線的方程是，也符合的形式，設(shè)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得消去，得，其判別式，所以，設(shè)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率，又直線的斜率，所以點(diǎn)在直線上，由三角形全等的判定和性質(zhì)可知：19.解：（）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意知解得，所以，從而點(diǎn)的坐標(biāo)為（）設(shè)函數(shù),，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，令，則，所以，；，所以，由可知：時(shí)，有，所以有：極小值所以，從而有當(dāng)時(shí)，20.解：（）因?yàn)椋圆痪哂行再|(zhì)因?yàn)?，所以具有性質(zhì)（）因?yàn)榧暇哂行再|(zhì)：即對(duì)任意的（），（），使得成立，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，將上述不等式相加得，所?（）最小值為14

8、7首先注意到，根據(jù)性質(zhì)，得到，所以易知數(shù)集的元素都是整數(shù)構(gòu)造或者，這兩個(gè)集合具有性質(zhì)，此時(shí)元素和為下面，我們證明是最小的和假設(shè)數(shù)集（，），滿足最?。ù嬖谛燥@然，因?yàn)闈M足的數(shù)集只有有限個(gè)）第一步：首先說明集合（，）中至少有8個(gè)元素：由（）可知，有，所以，所以第二步：證明，：若，設(shè)，因?yàn)?，為了使得最小，在集合中一定不含有元素使得，從而；假設(shè)，根據(jù)性質(zhì)，對(duì)，有，使得，顯然，所以，而此時(shí)集合中至少還有5個(gè)不同于，的元素，從而，矛盾，所以，進(jìn)而，且；同理可證：，（同理可證明：若，則，假設(shè)因?yàn)?，根?jù)性質(zhì)，有，使得，顯然，所以，而此時(shí)集合中至少還有4個(gè)不同于，的元素，從而，矛盾，所以，且同理可以證明：若，則，假設(shè)，因?yàn)?，根?jù)性質(zhì)，有，使得，顯然，所以，而此時(shí)集合中至少還有3個(gè)不同于，的元素，從而，矛盾，所以，且）至此，我們得到了，根據(jù)性質(zhì)，有，使得我們