勾股定理中四種重要的數(shù)學(xué)思想.doc

1、勾股定理中四種重要的數(shù)學(xué)思想摘要：:方程思想、 數(shù)形結(jié)合的思想、 分類(lèi)思想、 轉(zhuǎn)換思想，本文主要針對(duì)勾股定理中的主要四種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行討論、介紹.關(guān)鍵字 ： 勾股定理方程思想數(shù)形結(jié)合思想分類(lèi)思想轉(zhuǎn)換思想勾股定理又稱(chēng)畢達(dá)哥拉斯定理，它是幾何學(xué)中幾個(gè)最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系如果在直角三角形三邊的兩直角邊長(zhǎng)分別為a， b，斜邊為 c，那么 a2+b2=c2. 它可以解決許多直角三角形中的計(jì)算問(wèn)題，是解直角三角形的主要依據(jù)之一. 它不僅在數(shù)學(xué)中，而且在其他自然科學(xué)、實(shí)際的生產(chǎn)生活中也被廣泛地使用 .數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的“靈魂”，數(shù)學(xué)思想遍及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)角落，總結(jié)概括數(shù)學(xué)思想有

2、利于透徹地理解所學(xué)的知識(shí) , 有利于在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中提高我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力, 形成用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的意識(shí). 而在勾股定理這一章節(jié)的學(xué)習(xí)過(guò)程中我們同樣可以發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著多種的數(shù)學(xué)思想. 本文主要介紹其中主要的四種數(shù)學(xué)思想 .1 方程思想“方程”歷來(lái)是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一，也是研究數(shù)學(xué)重要的工具. 對(duì)于眾多數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解，方程常常可以充當(dāng)由已知探索未知的橋梁而發(fā)揮巨大的作用. 運(yùn)用方程的觀(guān)點(diǎn)去考察問(wèn)題， 運(yùn)用方程的思想去分析問(wèn)題，能有效地溝通知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)各種數(shù)量之間的關(guān)系. 有助于解題思路的尋求與優(yōu)化 .勾股定理本身就是反應(yīng)了直角三角形中三邊的關(guān)系. 所以在勾股定理的應(yīng)用中最常見(jiàn)也

3、是最基本的一類(lèi)問(wèn)題就在直角三角形中已知兩邊求第三邊的問(wèn)題，或是關(guān)于此類(lèi)問(wèn)題的變形題. 而方程思想在勾股定理關(guān)于此類(lèi)問(wèn)題的求解過(guò)程中都得到了廣泛的運(yùn)用1.1 求距離長(zhǎng)度問(wèn)題例：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10 尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面. 水的深度與這根蘆葦D的長(zhǎng)度分別是多少？B分析： 在 Rt ABC中，只有 BC邊的長(zhǎng)度， 利用勾股定理求一邊的長(zhǎng)度，C還要知道另一邊的長(zhǎng)度 . 因此可以通過(guò)設(shè)立未知量，建立方程求解.解 :設(shè)：水的深度為AB 為 x 尺，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度AC(AD)為（ x+1）尺 .依題意可以得

4、到如圖1 所示的圖形在 Rt ABC中， BC=5尺，根據(jù)勾股定理可得方程（ x+1）2=x2+52解得x=12 x+1=13則水的深度為12 尺，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13 尺 .1.2折紙問(wèn)題例 2 如圖所示，把一個(gè)長(zhǎng)方形（四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等）折疊，恰好點(diǎn)A圖 1D 落邊 BC上，交 BC與點(diǎn) F.已知 AB=8cm， BC=10cm，求 EC的長(zhǎng) .分析： Rt AEF,是 Rt AED沿邊 AE邊折疊的，所以就可以通過(guò)折疊中對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到許多的等量，在矩形中的折疊可以得到許多的直角三角形 . 要求 EC邊長(zhǎng)，構(gòu)造直角三角形，找出 EC邊所在的直角三角形，在根據(jù)勾股定理，找出所需的量以及各個(gè)

5、量之間的關(guān)系 . 在已知量與為質(zhì)量之間建立方程關(guān)系.解：由題意，得AF=AD,DE=EF.ADE在 Rt ABF中， AB=8cm， AF=AD=10cm，BC圖 2F BF= 1028236 6 (cm). BC=10cm， CF=10 6=4(cm).設(shè) CE=xcm，則 DE=(8 x)cm， EF=DE=(8 x)cm，在 Rt CEF中，根據(jù)勾股定理可得方程42+x2=（ 8 x）2解得 x=3 ，故 EC的長(zhǎng)為 3cm2 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的一種數(shù)學(xué)方法，它也是一種數(shù)學(xué)思想. 使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題都能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷. 所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形之間的

6、對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)“數(shù)”與“形”之間相互結(jié)合，相互滲透、相互轉(zhuǎn)化, 將反映問(wèn)題的抽象數(shù)量關(guān)系與直觀(guān)圖形結(jié)合起來(lái), 也是將抽象思維與形象思維有機(jī)的結(jié)合起來(lái)的一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中所隱含的條件。它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合 .勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系如果在直角三角形三邊的兩直角邊長(zhǎng)分別為a， b，斜邊為c，那么a2+b2=c2. 定理的本身實(shí)現(xiàn)了由“形”的特點(diǎn)與“數(shù)”特點(diǎn)的結(jié)合. 因此不管是在定理本身的證明還是在定理的應(yīng)用都經(jīng)常運(yùn)

7、用到數(shù)形結(jié)合的思想.2.1方位問(wèn)題：方位問(wèn)題是勾股定理實(shí)際運(yùn)用的重要體現(xiàn). 也是數(shù)形結(jié)合的典型列子.例 3：臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)鷶?shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞性 . 如圖所示，據(jù)氣象部門(mén)觀(guān)測(cè)，距沿海某城市A 的正南方向 220km B 處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12 級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20km，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15km/h 的速度沿北偏東30方向往C處移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變. 若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)4 級(jí)，則稱(chēng)為受臺(tái)風(fēng)影響.分析：根據(jù)圖形找出距離A 點(diǎn)最近的臺(tái)風(fēng)中心的位置, 求出距離就可以判斷是否收到影響, 影響的風(fēng)力 .根據(jù)題意可

8、以在圖形上直觀(guān)得找到所受影響的范圍, 構(gòu)造直角三角形, 根據(jù)勾股定理就可以求出范圍及影響的時(shí)間 .(1) 該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2) 若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，則臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng).(3) 該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí).解：（ 1）作 AD BC于 D,AD 為城市 A 距臺(tái)風(fēng)中心的最短距離，在Rt ABD中， B=30， AB=220km. AD=1 AB=110km.2由題意知，當(dāng)點(diǎn) A 距離臺(tái)風(fēng)（ 12 4） 20=160（km）時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，故該城市會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響 .（ 2）由題意知，當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交 BC 于影響，由勾股定理得A 點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)

9、中心不超過(guò)160km 時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，則以A 點(diǎn)為圓心，以160kmE、 F 兩點(diǎn)，此時(shí)AE=AF=160km，當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心從E 移到 F 處時(shí)，該城市都會(huì)受到臺(tái)風(fēng)DE= AE2AD 2160211023015 (km).EF=2DE=6015 (km)這次臺(tái)風(fēng)影響該城市的時(shí)間為6015（ h） .4 1515（ 3）當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心位于 D時(shí) A 市受這次臺(tái)風(fēng)影響的風(fēng)力最大，最大風(fēng)力為12 110 =6.5 （級(jí)） .20CCAAFDEBB圖 33 分類(lèi)思想分類(lèi)的思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中經(jīng)常用到的，又叫做邏輯劃分. 不論從宏觀(guān)上還是從微觀(guān)上對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)，都是深化研究對(duì)象、發(fā)展科

10、學(xué)必不可少的思想 . 因此分類(lèi)思想既是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想 .數(shù)學(xué)中的分類(lèi)思想主要是依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類(lèi)的思想 . 當(dāng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) , 由于研究問(wèn)題過(guò)程中出現(xiàn)了不同情況 , 因而需對(duì)不同情況進(jìn)行分類(lèi)， 然后對(duì)劃分的每一類(lèi)分別進(jìn)行研究和求解。運(yùn)用分類(lèi)的思想，通過(guò)正確的分類(lèi)，可以使復(fù)雜的問(wèn)題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答 . 利于提高學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力和良好的思維品質(zhì). 通過(guò)分類(lèi)討論, 常能化繁為簡(jiǎn), 更清楚地暴露問(wèn)題的本質(zhì) . 應(yīng)用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題，必須保證分類(lèi)科學(xué)、統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，并力求最簡(jiǎn).在勾股定理中，主要應(yīng)用分類(lèi)思想來(lái)進(jìn)行

11、對(duì)三角形形狀的分類(lèi)討論或?qū)σ阎吇螯c(diǎn)所在的位置進(jìn)行分類(lèi)討論，完整地求解。例 4 在 ABC中， AB=13,AC=15, 高 AD=12,則 ABC的周長(zhǎng)為多少 .分析 : 可以對(duì)三角形的形狀進(jìn)行分類(lèi), 不同的形狀高線(xiàn)的位置不同: 銳角三角形的高線(xiàn)在三角形的內(nèi)部，鈍角三角形的高線(xiàn)在三角形的外部，而B(niǎo)C求A解隨高線(xiàn)位置的不同而不同. 所以必須分類(lèi)來(lái)討論三角形的形狀.解： (1) 如圖 4，如果該三角形是銳角三角形時(shí)當(dāng)BC邊上的高線(xiàn)在 ABC內(nèi)部時(shí)，如圖所示： ADBCBDC ADB= ADC=90，圖 4 ADB與 ADC為直角三角形 .在 Rt ADB中 ,AB=13,AD=12，根據(jù)勾股定理

12、得BD2=AB2 AD2A BD= AB2AD 213 2122 =5在 Rt ADC中， AC=13,AD=12,根據(jù)勾股定理得DC2=AC2 AD2DC= AC2AD 215 2122 =9DC BC=BD+DC=5+9=14.B ABC的周長(zhǎng) =AB+BC+CA=13+15+14=42圖 5（ 2）如圖 5，如果該三角形是鈍角三角形時(shí) ,BC 邊上的高線(xiàn)在 ABC外部時(shí)，同理可得：BC=BD DC=9 5=4 ABC的周長(zhǎng) =AB+BC+CA=13+15+4=32.例 5 有一個(gè)面積為160m2的等腰三角形草地，測(cè)得它的一邊長(zhǎng)為20m. 現(xiàn)要給這塊三角形草四周?chē)系桶珫艡?，則柵欄的長(zhǎng)度為

13、_m.分析：要完整的給出答案就要根據(jù)不同的情況進(jìn)行分類(lèi). 避免造成漏解 . 本題只給出了等腰三角形的一條邊長(zhǎng) , 結(jié)果隨已知邊位置的不同而不同, 所以，可以先對(duì)已知的邊長(zhǎng)進(jìn)行分類(lèi)：該A邊可以為等腰三角形的底， 也可以為等腰三角形的腰; 其次， 對(duì)三角形的形狀進(jìn)行分類(lèi)：當(dāng)已知邊為等腰三角形的腰時(shí)，這邊上的高既可以在形內(nèi)，也可以在形外.要完整的給出答案就要根據(jù)不同的情況進(jìn)行分類(lèi). 避免造成漏解 .解 :(1) 如圖 6，當(dāng)已知邊為等腰三角形的底時(shí)，BC=20m.作 AD BC于 D， S ABC =160m2，BDC 高 AD=16(m).圖 6 BD= 1 BC=10(m)，在 Rt ADB中，

14、由勾股定理可求得:A2AB=2 89 ，因此柵欄的長(zhǎng)度為20+ 4 89 (m).(2) 當(dāng)已知邊為等腰三角形的腰時(shí)，若腰上的高在形內(nèi)，如圖 7， AB=AC=20 m，D S ABC =160m2,BC高 BD=16m，在 Rt ABD中，由勾股定理可求得AD=12m， CD=8m，在 Rt BCD中，由勾股定理有 BC=5，8從而柵欄的長(zhǎng)為 40+ 8 5 (m).圖 7若腰上的高在形外，如圖8， AB=AC=20m，D S ABC =160m2，高 BD=16m，在 Rt ABD中，由勾股定理知AD=12m,從而 DC=32m.A在 Rt BCD中，由勾股定理有BC=5m，所以柵欄的長(zhǎng)度

15、為1640+16 5 (m)BC20+ 4 89綜上所述，答案應(yīng)填入或 40十8 5或 40+16 5.圖 84 轉(zhuǎn)換思想轉(zhuǎn)換也是數(shù)學(xué)中的一種常用重要思維方法, 它是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種重要思想, 它能將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題 , 把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題, 把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題 .勾股定理研究的是平面直角三角形中三邊之間的關(guān)系. 但在學(xué)習(xí)過(guò)程中時(shí)常會(huì)遇到立體圖形上的問(wèn)題，這時(shí)就要考慮到運(yùn)用轉(zhuǎn)換的思想，把立體圖進(jìn)行展開(kāi)等變化，形成熟悉的平面圖形，再利用平面幾何的知識(shí)進(jìn)行求解 .例 6 一長(zhǎng)方體禮盒如圖9 所示，其中 A AB B,C C D D 面為邊長(zhǎng)為 10 的正方形

16、,BC=20. 在底部 A處有壁虎， C 處有一蚊子，壁虎急于捕捉到墳子充饑.(l) 試確定壁虎所走的最短路線(xiàn) ;(2) 若立方體禮盒的棱長(zhǎng)為 10cm，壁虎要在半分鐘內(nèi)捕捉到墳子，求壁虎的每分鐘至少爬行多少厘米 ( 保留整數(shù) )?分析：求長(zhǎng)方體表面兩點(diǎn)間的最短距離時(shí)，就可以應(yīng)用轉(zhuǎn)換的思想通將長(zhǎng)方體表面展開(kāi)，把立體圖形轉(zhuǎn)換成平面圖形，就可以利用平面幾何的知識(shí)于進(jìn)行求解.解： (1) 若把禮盒的上底面A，B,C, D 豎立起來(lái)，如圖 9 所示，使它與立方體的正面(ABBC ) 在同一平面內(nèi)，然后連結(jié)AC ，根據(jù)“兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短”知，線(xiàn)段AC 就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路線(xiàn).（ 2）由（ 1）得，

17、 ABC 是直角三角形，且AB=10,BC =15， 根據(jù)勾股定理，得A=AB2222CBC=1025 26.93 （ cm）壁虎要在半分鐘內(nèi)捕捉到蚊子，它至少每分鐘爬行約54厘米.DCDCDCDCABABABDCDCABABAB圖 9例 7 有一圓柱物體，如圖所示，一只螞蟻要從A 點(diǎn)繞物體的DB外壁爬行，正好到 A 的正上方相對(duì)的B 點(diǎn)處，問(wèn)螞蟻爬行的最短BD路徑是多少 . （已知物體的地面半徑是2m，高是 4m.）分析：解此題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)換思想， 把圓柱體的側(cè)面展開(kāi)，得到一個(gè)矩形，找出對(duì)應(yīng)的 A,B 點(diǎn)在展開(kāi)圖中的位置利用兩點(diǎn)間的線(xiàn)段最短與勾股定理知識(shí)作答 .解：把圓柱體沿AD邊展開(kāi)，形

18、成一個(gè)矩形，A,B 點(diǎn)在矩形中AA的位置如圖所示 .連接 AB，根據(jù)“兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短”，則線(xiàn)段AB就是螞蟻爬行的最短路徑.在 Rt DAB中 ,AD=4m,BC=2 , 根據(jù)勾股定理AB=AD2+BC2=16+4 2 5.34m以上四中數(shù)學(xué)思想是勾股定理解題中最重要的數(shù)學(xué)思想，它們不僅可以相互獨(dú)立使用，而且在許多問(wèn)題解決中都是相互聯(lián)系的，概括這些思想，有助于我們更好地使用這些數(shù)學(xué)思想去解決問(wèn)題，提高解決問(wèn)題能力。參考文獻(xiàn) ：1 馬全甫 , 勾股定理與數(shù)學(xué)思想的完美結(jié)合J,成功（教育），武漢：湖北人民出版社，2008 年 06 期.2魏華斌，數(shù)學(xué)中常用的 5 種轉(zhuǎn)化思想 J ，湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，孝感：湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院，2008 年 01 期，第 11 卷 .3王勇剛，用分類(lèi)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題J ，中學(xué)教與學(xué)，天津師范大學(xué)，2007 年01 期.4