專題十排列組合二項(xiàng)式定理.doc

1、專題三：拋物線1、已知點(diǎn) P 在拋物線 y2 = 4x上，那么點(diǎn) P到點(diǎn) Q（2， 1）的距離與點(diǎn) P 到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為。2、已知點(diǎn) P 是拋物線 y22x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P 到點(diǎn)（ 0，2）的距離與 P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為。3、直線 yx3 與拋物線 y24x 交于 A, B 兩點(diǎn)，過 A, B 兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為 P,Q ，則梯形 APQB 的面積為。4、設(shè) O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn) 是拋物線 y22px ( p0) 的焦點(diǎn)， A 是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A 與 x 軸正向的夾角為60，則 OA為。5、拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為

2、 F ，準(zhǔn)線為 l ，經(jīng)過 F 且斜率為3 的直線與拋物線在x 軸上方的部分相交于點(diǎn) A ， AK l ，垂足為 K ，則 AKF 的面積是。6、已知拋物線 C : y 28x 的焦點(diǎn)為 F ，準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)為 K ，點(diǎn) A 在 C 上且 AK2AF，則AFK的面積為。7、已知雙曲線x2y 21，則以雙曲線中心為焦點(diǎn)， 以雙曲線左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程為。458、在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，有一定點(diǎn)A(2,1) , 若線段 OA的垂直平分線過拋物線y22 px( p0) 則該拋物線的方程是。9、在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，已知拋物線關(guān)于x 軸對稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)O ，且過點(diǎn) P(2 ，4)

3、，則該拋物線的方程是。10、拋物線 yx2上的點(diǎn)到直線 4x3 y 80 距離的最小值是。11、已知拋物線y2=4x, 過點(diǎn) P(4,0) 的直線與拋物線相交于 A(x 1,y 1),B(x2,y 2) 兩點(diǎn)，則 y12 +y22 的最小值是。12、若曲線 y2 | x | 1 與直線 y kx b 沒有公共點(diǎn)，則k 、 b 分別應(yīng)滿足的條件是。13、已知拋物線y-x 2+3 上存在關(guān)于直線x+y=0 對稱的相異兩點(diǎn)A、 B，則 |AB| 等于（）A.3B.4C.32D.4214、已知拋物線y22px ( p0) 的焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn) P1 ( x1， y1)， P2 ( x2， y2 ) ，

4、P3 ( x3， y3 ) 在拋物線上，且12x2 x1 x3 ， 則有（） FP1 FP2FP322FP32 FP1FP2 2 FP2FP1FP32FP1FP3 FP215、已知點(diǎn) A( x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) ( x1 x20) 是拋物線 y22 px ( p 0) 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) , O 是坐標(biāo)原點(diǎn) , 向量OA, OB 滿足 OAOBOA OB. 設(shè)圓 C 的方程為 x2y2( x1 x2 ) x ( y1 y2 ) y 0 。(1) 證明線段 AB 是圓 C 的直徑 ;(2) 當(dāng)圓 C的圓心到直線x-2y=0 的距離的最小值為2 5 時(shí)，求 p 的值。5x2y2

5、22 px( p 0) , 且 C 、C 的公共弦 AB過橢圓 C 的右焦點(diǎn) .16、已知橢圓 C:1, 拋物線 C : ( y m)1321214(1)當(dāng) AB x 軸時(shí) , 求 m 、 p 的值，并判斷拋物線C 的焦點(diǎn)是否在直線AB 上；2(2)是否存在 m 、 p 的值，使拋物線C2 的焦點(diǎn)恰在直線AB 上？若存在，求出符合條件的m 、 p 的值；若不存在，請說明理由 .217、如圖，傾斜角為a 的直線經(jīng)過拋物線y28 x 的焦點(diǎn) F，且與拋物線交于A、 B 兩點(diǎn)。（ 1）求拋物線的焦點(diǎn)F 的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l 的方程；（ 2）若 a 為銳角，作線段AB的垂直平分線m交 x 軸于點(diǎn) P，證明

6、|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。18、已知正三角形OAB 的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y22x 上，其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C 是 OAB 的內(nèi)接圓（點(diǎn) C 為圓心）（ 1）求圓 C 的方程；（ 2）設(shè)圓 M 的方程為 ( x47cos)2( y7cos)21 ，過圓 M 上任意一點(diǎn)P 分別作圓 C 的兩條切線 PE，PF ，切點(diǎn)為 E， F ，求 CE，CF 的最大值和最小值319、若 A、B 是拋物線y2=4x 上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y 軸）的垂直平分線與x 軸相交于點(diǎn)P，則稱弦 AB 是點(diǎn) P 的一條“相關(guān)弦” . 已知當(dāng) x2 時(shí)，點(diǎn) P（ x,0 ）存在無窮多條“相

7、關(guān)弦” . 給定 x02. （ 1）證明：點(diǎn) P（ x0,0 ）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；（ 2）試問：點(diǎn)P（ x0,0 ）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0 表示）：若不存在，請說明理由.20、已知曲線 C 是到點(diǎn) P（1 , 3）和到直線 y5距離相等的點(diǎn)的軌跡。是過點(diǎn) Q（ -1 ，0）的直線，288MM是 C 上（不在 上）的動(dòng)點(diǎn)； A、 B 在上， MA, MB x 軸（如圖） 。ylA2B（ 1）求曲線 C 的方程；（ 2）求出直線的方程，使得QBQ為常數(shù)。xQAO421、如圖，已知點(diǎn) F (10)， ，直線 l : x1， P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，

8、過 P 作直線 l 的垂線，垂足為點(diǎn) Q ，且 QP QFFP FQ（ 1）求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程；（ 2）過點(diǎn) F 的直線交軌跡 C 于 A，B 兩點(diǎn)，交直線 l 于點(diǎn) M ，已知 MA1 AF ，MB2BF，求 1 2的值；5專題三：答案2上，那么點(diǎn) P到點(diǎn) Q（2， 1）的距離與點(diǎn)P 到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最1、已知點(diǎn) P 在拋物線 y = 4x小值時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為。（1,1）42、已知點(diǎn) P 是拋物線 y22x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P 到點(diǎn)（ 0，2）的距離與 P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為。1723、直線 y x3 與拋物線 y24x交于 A, B 兩點(diǎn)，過 A,

9、 B 兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為 P,Q ，則梯形 APQB 的面積為。 484、設(shè) O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn) 是拋物線 y22px ( p0) 的焦點(diǎn)， A 是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A 與 x 軸正向的夾角為60，則 OA為。5、拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為 F ，準(zhǔn)線為 l ，經(jīng)過 F 且斜率為3的直線與拋物線在x 軸上方的部分相交于點(diǎn) A ， AK l ，垂足為 K ，則 AKF 的面積是。 4 36、已知拋物線 C : y 28x 的焦點(diǎn)為 F ，準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)為 K ，點(diǎn) A 在 C 上且 AK2AF，則AFK的面積為。 87、已知雙曲線 x2y 21，則以雙曲線中心為焦點(diǎn)， 以

10、雙曲線左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程為。458、在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，有一定點(diǎn)A(2,1) , 若線段 OA的垂直平分線過拋物線y22 px( p0) 則該拋物線的方程是。9、在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，已知拋物線關(guān)于x 軸對稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)O ，且過點(diǎn) P(2 ，4) ，則該拋物線的方程是。 y28x10、拋物線 y24x3 y 80 距離的最小值是4x 上的點(diǎn)到直線。311、已知拋物線2的直線與拋物線相交于 A(x ,y),B(x,y) 兩點(diǎn)，則 y2+y2的最小值y =4x, 過點(diǎn) P(4,0)211122是。 3212、若曲線 y2 | x | 1 與直線 y kx b 沒有公共點(diǎn)，則k

11、 、 b 分別應(yīng)滿足的條件是。k =0,-1 b 113、已知拋物線y-x 2+3 上存在關(guān)于直線x+y=0 對稱的相異兩點(diǎn)A、 B，則 |AB| 等于（） C6A.3B.4C.32D.4214、已知拋物線 y22px ( p0) 的焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn) P1 ( x1， y1)， P2 ( x2， y2 ) ， P3 ( x3， y3 ) 在拋物線上，且2x2x1 x3 ， 則有（） FP1 FP2FP322FP32FP1FP2 2 FP2FP1FP32FP1FP3FP215、已知點(diǎn) A( x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) ( x1 x20) 是拋物線 y22 px ( p 0)

12、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) , O 是坐標(biāo)原點(diǎn) , 向量OA, OB 滿足 OAOBOAOB. 設(shè)圓 C 的方程為 x2y2( x1 x2 ) x ( y1 y2 ) y 0 。(1) 證明線段 AB 是圓 C 的直徑 ;(2) 當(dāng)圓 C的圓心到直線 x-2y=0的距離的最小值為25 時(shí)，求 p 的值。5解： (1) 證明 1:OAOBOA OB,(OAOB )2(OA OB) 2 ，22OA OB222OA OB2OA OB0 ，x1 x2y1 y2 0 ，OAOBOAOB ，整理得 :設(shè) M(x,y) 是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn) , 則 MA MB0 ，即 ( xx1)( x x2 )( yy1

13、)( yy2 ) 0 ，整理得 : x2y2( x1 x2 )x( y1y2 ) y0 ，故線段 AB 是圓 C 的直徑。證明 2:OAOBOAOB , (OAOB )2(OA OB) 2 ，22OA OB222OA OB2OA OB0 ，OAOBOAOB ，整理得 :x1 x2y1 y20.(1)設(shè) (x,y)是以線段yy2yy11(xx1 , xx2 ) ，AB為直徑的圓上則即x2xx1x去分母得 :(xx1 )( xx2 )( yy1 )( yy2 )0 ，點(diǎn) ( x1, y1 ),( x1, y2 ),( x2 , y1)( x2 , y2 ) 滿足上方程 , 展開并將 (1) 代入得

14、 :x2y2(x1x2 ) x( y1y2 ) y0 ，故線段 AB 是圓 C 的直徑。證明 3:OAOBOAOB ,(OAOB )2(OAOB) 2 ，7OA2222OA OB22OA OBOBOAOB ，整理得 :OA OB0 ，x1x2y1 y20(1)以線段 AB為直徑的圓的方程為(xx1x2 )2( yy1y2 )21 ( xx)2( yy)2，2241212展開并將 (1) 代入得 : x2y2( x1x2 )x( y1y2 ) y0，故線段 AB 是圓 C 的直徑(2) 解法 1: 設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則xx1x22yy1y22y122 px1, y222 px2

15、( p0)，x1 x2y12 y22 ，又因 x1 x2 y1y2 0 ，4 p2x1 x2y1 y2 ，y yy12 y22 ，x1 x20, y1 y20 ，y1 y24 p2 ，124 p2xx1x21 ( y12y2 2 )1 ( y12y222 y1 y2 )y1 y21 ( y22p2 ) ，24 p4 p4 pp所以圓心的軌跡方程為y 2px2 p2 ，設(shè)圓心 C 到直線 x-2y=0的距離為 d, 則| x 2 y | 1 ( y22 p2 ) 2 y |2 py 2 p2 | | ( y p) 2p2 |dp| y2555 p5 p，當(dāng) y=p 時(shí) ,d 有最小值p, 由題設(shè)

16、得5解法 2: 設(shè)圓 C的圓心為 C(x,y),則p 2 5 5 5，p2 .x1x2x2y1y2y2y122 px1, y222 px2( p 0) ，x1 x2y12 y22，又因12120，1212 ，4 p2x x y yx xy y8y1 y2y12 y22x1 x20, y1 y20 ，y1y224p2，4 p ，xx1 x21 ( y12y2 2 )1 ( y12y222 y1 y2 )y1 y21 ( y22p2 ) ，24 p4 p4 pp所以圓心的軌跡方程為y 2px2 p2，設(shè)直線 x-2y+m=0 到直線 x-2y=0的距離為 25 , 則 m2 ，因?yàn)?x-2y+2=

17、0 與 y2px 2 p 2無公共點(diǎn) ,5所以當(dāng) x-2y-2=02px225與 y2 p 僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí), 該點(diǎn)到直線 x-2y=0 的距離最小值為5x2y20(2)y2px2 p2(3)將 (2)代入 (3)得 y22 py 2 p22 p0 ，4 p24(2 p22 p)p00 ，2.p解法 3:設(shè)圓 C的圓心為 C(x,y),則xx1x22yy1y22圓心 C 到直線 x-2y=0的距離為 d, 則| x12x2( y1y2 ) |d5y122 px1, y222 px2 ( p0)，x xy12 y22，又因 x1x2y1y2 0 ，x1x2y1y2 ，124 p2y1y2y12

18、y2 2， x1 x20, y1 y20 ，y1 y24 p2，4p2122d|4 p ( y1y2) ( y1y2 ) | y12y222 y1 y24 p( y1y2 )8 p2 | ( y1y22p) 24 p2545 p45 p，當(dāng) y1y22 p 時(shí) ,d有最小值p , 由題設(shè)得p2 5，p2 .555916、已知橢圓x2y22C:1, 拋物線 C : ( y m)2 px( p 0) , 且 C 、C 的公共弦 AB過橢圓 C 的右焦點(diǎn) .1321214(1)當(dāng) AB x 軸時(shí) , 求 m 、 p 的值，并判斷拋物線C2 的焦點(diǎn)是否在直線AB 上；(2)是否存在 m 、 p 的值，

19、使拋物線C 的焦點(diǎn)恰在直線 AB 上？若存在，求出符合條件的m 、 p 的值；若2不存在，請說明理由.解：（ 1）當(dāng) ABx 軸時(shí)， 點(diǎn) A、B 關(guān)于 x 軸對稱， 所以 m0，直線 AB的方程為x=1，從而點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （ 1，3 ）或（ 1， 3 ）.因?yàn)辄c(diǎn) A 在拋物線上，所以92 p ，即 p9 .此時(shí) C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（9 ， 0），該224816焦點(diǎn)不在直線AB上 .（ 2）解法一當(dāng) C 的焦點(diǎn)在 AB時(shí)，由（）知直線AB 的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為 yk( x 1) .2yk (x1)4k 2 )x 28k 2 x4k 2由 x2y2消去 y 得 (3120. 431y設(shè)

20、 A、 B 的坐標(biāo)分別為（ x1,y1） ,（ x2,y 2） ,A則 x ,x是方程的兩根， x x38k 2Ox24k 2 .121因?yàn)?AB 既是過 C 的右焦點(diǎn)的弦，又是過C 的焦點(diǎn)的弦，B12所以 AB(21 x1 )( 21 x2 ) 41 ( x1 x2)，且222AB ( x1ppx2p .2) (x2) x112從而 x1x2p 4(x1x2 ) .2所以 xx24 6 p ，即8k24 6 p .1334k23解得 k 26,即 k6 .因?yàn)?C2 的焦點(diǎn)2,)1F (k( x1) 上，所以 mk .3m 在直線 y3即 m6 或m6.33當(dāng) m6 時(shí)，直線 AB的方程為

21、y6 (x1) ；3當(dāng) m6 時(shí)，直線 AB的方程為 y6 (x1) .3解法二當(dāng) C 的焦點(diǎn)在 AB時(shí)，由（）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程2為 yk(x1) .10由( ym) 28x消去 y 得(kxkm28x.3 yk(x1)3因?yàn)?C 的焦點(diǎn)F (2,)k( x1) 上，23所以 mk( 21)，即 m1 k . 代入有 (kx2k ) 28 x .3333即 k 2 x24(k 22) x4k 20 . 39設(shè) A、 B 的坐標(biāo)分別為（ x,y） ,（ x ,y2） ,112則 x ,x2是方程的兩根，x x4(k22).1123k 2yk (x1)4k 2 )x 28k

22、2 x4k 2由 x2y 2消去 y 得 (3120 . 431由于 x ,x也是方程的兩根，所以x x38k 2224k 2 .11從而4(k 22)8k 2.解得 k26, 即 k6 .3k 234k 2因?yàn)?C2 的焦點(diǎn)2,)1F (k( x1) 上，所以 mk .3m在直線 y3即 m6 或m6.33當(dāng) m6 時(shí)，直線 AB的方程為 y6 (x1) ；3當(dāng) m6 時(shí)，直線 AB的方程為 y6 (x1).3解法三設(shè) A、 B 的坐標(biāo)分別為（ x,y） ,（ x ,y ） ,1122因?yàn)?AB 既過 C 的右焦點(diǎn) F (1,0)，又是過 C 的焦點(diǎn)2F (,)，123所以 AB( x1p

23、) (x 2 p ) x1x2p (21 x1 ) (21 x2 ) .2222即 x1x22 (4p)16 . 39由（）知 xx2，于是直線 AB的斜率 ky2y1m03m ， 1x2x1213且直線 AB的方程是 y3m( x1),所以 y1y23m(x1x22)2m . 3又因?yàn)?x124y1212，所以 3(x1x2 )4( y1y2y10 . 3x224y2212y2 )x1x211將、代入得m2 2 ，即 m6 或m6 .333當(dāng) m6 時(shí)，直線 AB的方程為 y6 (x1)；3當(dāng) m6 時(shí)，直線 AB的方程為 y6 (x1).317、如圖，傾斜角為a 的直線經(jīng)過拋物線y28 x 的焦點(diǎn) F，且與拋物線交于A、 B 兩點(diǎn)。（ 1）求拋物線的焦點(diǎn)F 的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l 的方程；（ 2）若 a 為銳角，作線段AB的垂直平分線 m交 x 軸于點(diǎn) P，證明 |FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。（ 1）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22 px ，則 2 p 8 ，從而 p4. 因此焦點(diǎn) F ( p ,0) 的坐標(biāo)為（ 2，0） .2又準(zhǔn)線方程的一般式為xp。從而所求準(zhǔn)線 l 的方程為