第二章水靜力學(xué)

1、本章教學(xué)要求：本章教學(xué)要求： u 理解靜水壓強(qiáng)的特性； u 掌握靜水壓強(qiáng)基本方程、等壓面以及液體中壓強(qiáng)的計 算、測量與表示方法； u 掌握靜水總壓力的計算方法。 水靜力學(xué)的任務(wù)：水靜力學(xué)的任務(wù)：研究研究液體平衡液體平衡的規(guī)律及其實際的規(guī)律及其實際應(yīng)用。應(yīng)用。 液體的平衡狀態(tài)：液體的平衡狀態(tài)： u靜止?fàn)顟B(tài)：即液體相對于地球沒有運(yùn)動；靜止?fàn)顟B(tài)：即液體相對于地球沒有運(yùn)動； u相對平衡狀態(tài)：即所研究的整個液體相對于地球雖然相對平衡狀態(tài)：即所研究的整個液體相對于地球雖然 在運(yùn)動，但液體對于容器或液體質(zhì)點(diǎn)之間沒有相對運(yùn)動。如，在運(yùn)動，但液體對于容器或液體質(zhì)點(diǎn)之間沒有相對運(yùn)動。如， 沿直線等速行駛或等加速行

2、駛的容器中所盛液體。沿直線等速行駛或等加速行駛的容器中所盛液體。 注意：注意：液體在平衡狀態(tài)下沒有內(nèi)摩擦力，因此理想液體液體在平衡狀態(tài)下沒有內(nèi)摩擦力，因此理想液體 和實際液體所遵循的規(guī)律相同。和實際液體所遵循的規(guī)律相同。 u2.1 2.1 靜水壓強(qiáng)及其特性靜水壓強(qiáng)及其特性 u2.2 2.2 液體的平衡微分方程式及其積分液體的平衡微分方程式及其積分 u2.3 2.3 重力作用下靜水壓強(qiáng)的基本公式重力作用下靜水壓強(qiáng)的基本公式 u2.4 2.4 重力和慣性力同時作用下的液體平衡重力和慣性力同時作用下的液體平衡 u2.5 2.5 作用于平面上的靜水總壓力作用于平面上的靜水總壓力 u2.6 2.6 作用

3、于曲面上的靜水總壓力作用于曲面上的靜水總壓力 u2.72.7浮力及浮體與潛體的穩(wěn)定性浮力及浮體與潛體的穩(wěn)定性 2.1.1 2.1.1 靜水壓力與靜水壓強(qiáng)靜水壓力與靜水壓強(qiáng) A Fp Fp T 水力自控閘門平板閘門 2.1.22.1.2靜水壓強(qiáng)的特性靜水壓強(qiáng)的特性 1 1方向方向: :靜水壓強(qiáng)的方向與靜水壓強(qiáng)的方向與受壓面垂直并指向受壓受壓面垂直并指向受壓面。面。 dPn dP dP dP KM N K 2.1.22.1.2靜水壓強(qiáng)的特性靜水壓強(qiáng)的特性 2 2大小大小: :任意任意一點(diǎn)靜水壓一點(diǎn)靜水壓強(qiáng)大小和受壓面方向強(qiáng)大小和受壓面方向無關(guān)，或者無關(guān)，或者 說作用于同一點(diǎn)上各方向的靜水壓強(qiáng)大小相

4、等。說作用于同一點(diǎn)上各方向的靜水壓強(qiáng)大小相等。 B D C 0 Fpx Fpn 總質(zhì)量力在三個坐 標(biāo)方向的投影為： 按照平衡條件，所有作 用于微小四面體上的外 力在各坐標(biāo)軸上投影的 代數(shù)和應(yīng)分別為零，即： 四面體四個表四面體四個表 面積之間滿足：面積之間滿足： 液體平衡微分方程式：液體平衡微分方程式： 取邊長為取邊長為dxdx、dydy、dzdz 的平行微分六面體進(jìn)行研的平行微分六面體進(jìn)行研 究。究。 表面力表面力 y xO A dx dy dz 2 dx x p p 2 dx x p p z a b d c e f h g m n 右側(cè)面右側(cè)面 左側(cè)面左側(cè)面 面積面積 壓強(qiáng)壓強(qiáng) （泰勒級數(shù)）

5、（泰勒級數(shù)） 側(cè)面中心點(diǎn)側(cè)面中心點(diǎn) ), 2 dx zyx （ ) 2 dx x p p （zydd ), 2 dx zyx （) 2 dx x p p （ zydd X方向方向 A A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z)，靜水壓強(qiáng)為，靜水壓強(qiáng)為p 令令fx , ,fy , ,fz表示作用于微分六表示作用于微分六 面體上的單位質(zhì)量力在面體上的單位質(zhì)量力在x, ,y, ,z軸上的軸上的 投影，則總質(zhì)量力在投影，則總質(zhì)量力在x方向的投影為：方向的投影為： fx dxdydz y xO A dx dy dz 2 dx x p p 2 dx x p p z a b d c e f h g m n 質(zhì)量力質(zhì)量

6、力 平衡條件：平衡條件：當(dāng)六面體處于平衡狀態(tài)時，所有作用于六面體當(dāng)六面體處于平衡狀態(tài)時，所有作用于六面體 上的力，在三個坐標(biāo)軸方向的投影的和應(yīng)等于上的力，在三個坐標(biāo)軸方向的投影的和應(yīng)等于0.0. X X方向：方向： 0ddddd) 2 d dd) 2 d zyxfzy x x p pzy x x p px（ xf x p 方程兩邊同除以方程兩邊同除以dxdydzdxdydz并簡化得到：并簡化得到： Y Y方向：方向： y f y p 0ddddd ) 2 d dd ) 2 d zyxfzx y y p pzx y y p py（ Z Z方向：方向： 0ddddd) 2 d dd) 2 d zy

7、xfyx z z p pyx z z p pz（ z f z p 歐拉平衡微分方程式：歐拉平衡微分方程式： z y x f z p f y p f x p （第一種形式）（第一種形式） 物理意義：物理意義： 靜水壓強(qiáng)沿某個方向的變化率與該方向靜水壓強(qiáng)沿某個方向的變化率與該方向單位體積單位體積上的質(zhì)量力相等。上的質(zhì)量力相等。 揭示了靜止時質(zhì)量力與表面力間關(guān)系：揭示了靜止時質(zhì)量力與表面力間關(guān)系： 1 1、微元的質(zhì)量力和表面力在各個方向都保持平衡。、微元的質(zhì)量力和表面力在各個方向都保持平衡。 2 2、有質(zhì)量分力作用，流體靜壓力就發(fā)生變化。、有質(zhì)量分力作用，流體靜壓力就發(fā)生變化。 3 3、忽略質(zhì)量分力

8、作用，流體靜壓力處處相等。、忽略質(zhì)量分力作用，流體靜壓力處處相等。 液體平衡微分方程形式液體平衡微分方程形式2 2 z y x f z p f y p f x p dx dy dz z z p y y p x x p ddd ）zfyfxfzyxddd( ）zfyfxfdpzyxddd( （1 1） （2 2） （3 3） z y x f z p f y p f x p x f yx p y f xy p y x 2 2 不可壓縮均質(zhì)不可壓縮均質(zhì) x f y fyx 同理：同理： z f x f y f z f x f y f xz zy yx 上式表明：作用于平衡液體上上式表明：作用于平衡液

9、體上 的質(zhì)量力應(yīng)滿足上述關(guān)系。的質(zhì)量力應(yīng)滿足上述關(guān)系。 由理論力學(xué)和數(shù)學(xué)分析可知，存在一個僅與坐標(biāo)有關(guān)的力勢函 數(shù)U，且U對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)等于單位質(zhì)量力在坐標(biāo)投影，即 z f x f y f z f x f y f xz zy yx z U f y U f x U f z y x 而力勢函數(shù)的全微分而力勢函數(shù)的全微分dU，應(yīng)等于單位質(zhì)量力在空間移動，應(yīng)等于單位質(zhì)量力在空間移動ds距離距離 所作的功。所作的功。 zfyfxfz x U y x U x x U zyxUzyxdddddd),(d z U f y U f x U f z y x 具有上式關(guān)系的力稱為具有上式關(guān)系的力稱為有勢力或有勢力或

10、保守力。保守力。 有勢力所做的功與路徑無關(guān)，而只與起點(diǎn)和終點(diǎn)的有勢力所做的功與路徑無關(guān)，而只與起點(diǎn)和終點(diǎn)的 坐標(biāo)有關(guān)。重力、慣性力都屬于有勢力。坐標(biāo)有關(guān)。重力、慣性力都屬于有勢力。 ）zfyfxfdpzyxddd( (1)(1) z U f y U f x U f z y x (2)(2) dUdp z z U y y U x x U dp ）ddd( (3)(3) 積分求解方程積分求解方程3 3可得可得: :CUp (4)(4) C C為積分常數(shù)，由已知條件確定。已知某點(diǎn)壓強(qiáng)為為積分常數(shù)，由已知條件確定。已知某點(diǎn)壓強(qiáng)為p p0 0，力勢函，力勢函 數(shù)為數(shù)為U U0 0，則積分常數(shù)，則積分常數(shù)

11、C Cp p0 0U U0 0 式（式（4 4）即可寫為：）即可寫為：)( 00 UUpp (5)(5) 因為力勢函數(shù)U僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)，所以， （UU0）也僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)而與p無關(guān)。 從公式從公式: :)( 00 UUpp可知如下結(jié)論可知如下結(jié)論: : 平衡液體中，邊界上的壓強(qiáng)平衡液體中，邊界上的壓強(qiáng)p p0 0將等值的傳遞到液體將等值的傳遞到液體 的一切點(diǎn)上；當(dāng)?shù)囊磺悬c(diǎn)上；當(dāng)p p0 0增加或減少時，液體內(nèi)任意點(diǎn)的壓強(qiáng)增加或減少時，液體內(nèi)任意點(diǎn)的壓強(qiáng) 也相應(yīng)的增加或減少同樣的數(shù)值。（巴斯加原理）也相應(yīng)的增加或減少同樣的數(shù)值。（巴斯加原理） 等壓面：等壓面： 液體液體中靜水壓強(qiáng)相等的點(diǎn)

12、連成的面。中靜水壓強(qiáng)相等的點(diǎn)連成的面。 等壓面的兩個重要性質(zhì)：等壓面的兩個重要性質(zhì)： u在平衡液體中等壓面即是等勢面；在平衡液體中等壓面即是等勢面； u等壓面與質(zhì)量力正交。等壓面與質(zhì)量力正交。 一、靜水壓強(qiáng)的建立一、靜水壓強(qiáng)的建立 z0 h z p0 自由面自由面 h 邊界條件： 等壓面： 液體相對于地球運(yùn)動，但相對于容器仍保持靜止的狀態(tài)液體相對于地球運(yùn)動，但相對于容器仍保持靜止的狀態(tài) 為相對平衡。為相對平衡。 達(dá)朗貝爾原理表明對具有加速度的運(yùn)動物體進(jìn)行受力分達(dá)朗貝爾原理表明對具有加速度的運(yùn)動物體進(jìn)行受力分 析時，若加上一個與加速度相反的慣性力則作用于物體上的析時，若加上一個與加速度相反的慣性

13、力則作用于物體上的 所有外力（包括慣性力）應(yīng)保持平衡所有外力（包括慣性力）應(yīng)保持平衡。 2.4.1 2.4.1 等加速直線運(yùn)動等加速直線運(yùn)動 以等加速直線行駛，內(nèi)盛液體的小車為例，所受質(zhì)量力以等加速直線行駛，內(nèi)盛液體的小車為例，所受質(zhì)量力 包括重力與慣性力。包括重力與慣性力。 只受重力作用的靜止液體，等壓面為水平面。只受重力作用的靜止液體，等壓面為水平面。 以等加速度以等加速度a a直線行駛的小車內(nèi)的液體，相對平衡狀態(tài)的直線行駛的小車內(nèi)的液體，相對平衡狀態(tài)的 液體，同時受重力和慣性力，等壓面是不是水平面？液體，同時受重力和慣性力，等壓面是不是水平面？ a g a f x x Z Z 求自由液面

14、方程式和液體內(nèi)部靜水壓強(qiáng)的計算公式。求自由液面方程式和液體內(nèi)部靜水壓強(qiáng)的計算公式。 z y x o A A x y r 2 x 2 y 2 2.4.2 等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動 以繞中心軸做等角速度旋轉(zhuǎn) 的圓柱形容器中的液體為例進(jìn)行 分析。 對旋轉(zhuǎn)容器中的液體，所受 質(zhì)量力應(yīng)包括重力重力與離心慣性力離心慣性力。 把坐標(biāo)系取在容器上，使Z軸 和圓筒中心軸重合。 z y x o A A x y r 2 x 2 y 2 不同的C值，對應(yīng)不同的等壓面。 z y x o A 圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律：圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律： 圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律：圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律： 代入： 圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律

15、：圓筒中靜水壓強(qiáng)的分布規(guī)律： 相對平衡液體中任意點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)仍然與該點(diǎn)淹沒深相對平衡液體中任意點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)仍然與該點(diǎn)淹沒深 度成比例，等水深面仍為等壓面。度成比例，等水深面仍為等壓面。 由地球表面大氣所產(chǎn)生的壓強(qiáng)，成為大氣壓強(qiáng)。由地球表面大氣所產(chǎn)生的壓強(qiáng)，成為大氣壓強(qiáng)。 海拔高程不同，大氣壓強(qiáng)也有差異。我國法定計量單位海拔高程不同，大氣壓強(qiáng)也有差異。我國法定計量單位 中，把中，把101.33kPa101.33kPa成為一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。成為一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。 2.6.12.6.1絕對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng) 設(shè)想沒有大氣存在的絕對真空狀態(tài)作為零點(diǎn)計量的壓強(qiáng)，設(shè)想沒有大氣存在的絕對真空狀態(tài)作為零點(diǎn)計量的壓強(qiáng)，

16、稱為稱為絕對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)。絕對壓強(qiáng)總是。絕對壓強(qiáng)總是正正的。的。 2.6.32.6.3真空及真空度真空及真空度 絕對壓強(qiáng)總是正值，相對絕對壓強(qiáng)總是正值，相對 壓強(qiáng)可能為正也可能為負(fù)。相壓強(qiáng)可能為正也可能為負(fù)。相 對壓強(qiáng)為負(fù)值時，則稱該點(diǎn)存對壓強(qiáng)為負(fù)值時，則稱該點(diǎn)存 在真空。在真空。 PaPa PPaPPaPPa 相對相對壓強(qiáng)壓強(qiáng)000 C C點(diǎn)的相對靜水壓強(qiáng)為點(diǎn)的相對靜水壓強(qiáng)為 相對壓強(qiáng)為負(fù)值，說明存在真空，真空度為相對壓強(qiáng)為負(fù)值，說明存在真空，真空度為 利用水靜力學(xué)原理設(shè)計的液利用水靜力學(xué)原理設(shè)計的液 體測壓計有測壓管、測壓計、差體測壓計有測壓管、測壓計、差 壓計等。壓計等。 1.1.測壓管

17、測壓管 若欲測容器中若欲測容器中A A點(diǎn)的液體壓強(qiáng)，點(diǎn)的液體壓強(qiáng)， 可在容器上設(shè)置一開口細(xì)管?？稍谌萜魃显O(shè)置一開口細(xì)管。 h 與大氣相通 測點(diǎn) A B 則則A A、B B兩點(diǎn)位于同一等壓面，兩點(diǎn)位于同一等壓面， 兩點(diǎn)壓強(qiáng)相等。兩點(diǎn)壓強(qiáng)相等。 當(dāng)當(dāng)A A點(diǎn)壓強(qiáng)較小時：點(diǎn)壓強(qiáng)較小時： u可可在測壓管中放入輕質(zhì)液體，以增大測壓管標(biāo)尺讀數(shù)；在測壓管中放入輕質(zhì)液體，以增大測壓管標(biāo)尺讀數(shù)； u也也可將測壓管傾斜放置?？蓪y壓管傾斜放置。 L 與大氣相通 測點(diǎn) sin p L 當(dāng)被測點(diǎn)壓強(qiáng)很大時：當(dāng)被測點(diǎn)壓強(qiáng)很大時： u所所需的測壓管很長，選用需的測壓管很長，選用U U形水銀測壓計。形水銀測壓計。 2.U2

18、.U形水銀測壓計形水銀測壓計 在在U U形管內(nèi)，水銀面形管內(nèi)，水銀面N-NN-N 為等壓面，因而點(diǎn)為等壓面，因而點(diǎn)1 1和點(diǎn)和點(diǎn)2 2壓強(qiáng)相壓強(qiáng)相 等。等。 h 水 與大氣相通 12 N N A b 水銀 A A B B 3 3差壓計差壓計 差壓計是直接測量兩點(diǎn)壓強(qiáng)差的裝置。差壓計是直接測量兩點(diǎn)壓強(qiáng)差的裝置。 水銀水銀 由于由于 1 1壓強(qiáng)的液柱表示方法壓強(qiáng)的液柱表示方法 壓強(qiáng)大小的表示：壓強(qiáng)大小的表示： u以單位面積上的壓力數(shù)值表示。以單位面積上的壓力數(shù)值表示。 u用工程大氣壓表示。用工程大氣壓表示。 u用液柱高度表示。用液柱高度表示。 98kPa=1at=10m H98kPa=1at=10

19、m H2 2O=736mmO=736mm水銀水銀 上式表明： 靜止液體內(nèi)，任意一點(diǎn)的測壓管水頭等于常數(shù)。即靜止 液體中的能量守恒規(guī)律。 上式表明： 靜止液體內(nèi)各點(diǎn)，單位重量液體所具有的勢能（簡稱單 位勢能）相等。 兩種方法兩種方法：壓力壓力圖法（圖解圖法（圖解 法）、解析法）、解析法法 2.5.12.5.1作用在矩形平面上的靜作用在矩形平面上的靜 水總壓力水總壓力 1.1.靜水壓強(qiáng)分布圖的繪制靜水壓強(qiáng)分布圖的繪制 u按一定比例，用線段長度按一定比例，用線段長度 代表該點(diǎn)靜水壓強(qiáng)的大??；代表該點(diǎn)靜水壓強(qiáng)的大??； u用箭頭表示靜水壓強(qiáng)的方用箭頭表示靜水壓強(qiáng)的方 向，并與作用面垂直。向，并與作用面垂

20、直。 B B A A D D H H C C h E E a p a p B B A A h h1 1 h h2 2 21 hh 幾種代表性的相對壓強(qiáng)分布圖幾種代表性的相對壓強(qiáng)分布圖 11 hp 11 hp 22 hp h h2 2 h h1 1 幾種代表性的相對壓強(qiáng)分布圖幾種代表性的相對壓強(qiáng)分布圖 C C A A B B h h1 1 h h2 2 1 2 D D 11 h E E 122 hh 2.2.靜水總壓力的計算靜水總壓力的計算 平面上靜水總壓力的大小應(yīng)等于分布在平面上各點(diǎn)靜水平面上靜水總壓力的大小應(yīng)等于分布在平面上各點(diǎn)靜水 壓強(qiáng)的總和，壓強(qiáng)的總和， 矩形平面高矩形平面高H H，寬，

21、寬b b。 H 壓強(qiáng)分布圖 H 壓強(qiáng)分布立體圖 b 矩形平面 b H A pdAP 矩形平面受到靜水總壓力： Apc H hbdh 0 bAp 2 2 1 bH )( 2 1 (bHH V b H 2 2 1 H H b hp dA h H b0 結(jié)論： 方向垂直指向受壓面。 常見受壓平面形心點(diǎn)位置 c c c 2 H 3 H ba Hba 33 )2( H a b 3 H C 2 H 靜水總壓力的作用線通過靜水壓強(qiáng)分布圖的形 心 。C 靜水壓強(qiáng)分布圖 H C 1 P P 2 P 2 1 2 1 S S P P 則 P ab ab P 1 P ab a P 2 2 當(dāng)靜水壓強(qiáng)分布圖為梯形時，可

22、將其分為一個三 角形和一個矩形，面積分別為 、 。 1 S 2 S Ha Hab 2/ a b H 靜水壓強(qiáng)分布圖 H a b P 1 P 2 P 3 H 2 H 根據(jù)合力矩定理，有 c HP H P H P 23 21 結(jié)合 P ab ab P 1 P ab a P 2 2 ba Hba H c 33 )2( 則 c H C 1 C 2 C ba Hba H c 33 )2( dA y x 0 x yh hc D D c c 例：例： 試求作用在關(guān)閉著的池壁圓 形放水閘門上靜水總壓力和作用 點(diǎn)的位置。 已知閘門直徑d=0.5m，距離 a=1.0m，閘門與自由水面間的傾斜 角=600，水為淡水

23、。 解：解： 、求總壓力 AhP c 2 4 1 sin 2 1 dda 20 5 . 014. 3 4 1 60sin5 . 0 2 1 19800 N2082 a a yc yD hc D D c c a a 設(shè)總壓力的作用點(diǎn)沿斜面距水面為yD 則：則： 444 0031. 05 . 014. 3 64 1 64 1 mdIc 2 4 1 2 12 1 dda I da Ay I yy c c c cD 2 5 .014.3 4 1 5 .0 2 1 1 0031.0 5 .0 2 1 0 .1 m26. 1013. 025. 1 思考思考： 作用在自由面上的壓強(qiáng) p p0 0 所形成的壓力P P0 0的壓 力中心在何處？ 力P P0 0 的壓力中心和平面的形心點(diǎn)C C重合，這是因 為壓強(qiáng)p p0 0在平面上均勻分布的緣故。 在水利工程上常遇到受壓面為曲面的情況，拱壩壩面、在水利工程上常遇到受壓面為曲面的情況，拱壩壩面、 弧形閘墩、弧形閘門等。弧形閘墩、弧形閘門等。 2.6.12.6.1靜水總壓力的水平分力靜水總壓力的水平分力 h dA h c1 c2 2.6.22.6.