三角函數(shù)公式 及 推導(dǎo)(祥盡版)

1、三角函數(shù)公式及推導(dǎo)（祥盡解釋）（祥盡解釋） 1-1-誘導(dǎo)公式（之一）：誘導(dǎo)公式（之一）： 常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組： 公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的 同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值 與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間 的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到- 與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： si

2、n（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 1-1-誘導(dǎo)公式（之二）：誘導(dǎo)公式（之二）： 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2- 與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六之一： /2及3/2與的三角函數(shù)值之間 的關(guān)系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan 公式六之二 sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）ta

3、n sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan (以上kz) 規(guī)律總結(jié) 上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為： 對(duì)于k/2(kz)的個(gè)三角函數(shù)值， 當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變； 當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到相應(yīng)的余函數(shù)值，即 sincos;cossin;tancot,cottan. （奇變偶不變） 然后在前面加上把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。 （符號(hào)看象限） 上述的記憶口訣是： 奇變偶不變，符號(hào)看象限。 公式右邊的符號(hào)為把視為銳角時(shí)，角k360+（kz），-、180，360-所在象限的原 三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶 水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。 各

4、種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四 余弦” 這十二字口訣的意思就是說： 第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限內(nèi)切函數(shù)是“”，弦函數(shù)是“”； 第四象限內(nèi)只有余弦是“”，其余全部是“” 口訣總結(jié) 公式七：額外的定義 （也是重要的呀） 22 22 22 s i n( s i n) c o s( c o s) t a n( t a n) 2-同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)基本關(guān)系 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系: tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的關(guān)系： sin/c

5、ostansec/csc cos/sincotcsc/sec 平方關(guān)系： sin2()cos2()1 1tan2()sec2() 1cot2()csc2() 證明： 222 22 22 2 22 90 1 sinsin1 sincos1 ABCABC abc ab cc BA 在中, 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法 六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接） 構(gòu)造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中間1”的正六邊形為 模型。 （1）倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)； （2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰 的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端

6、的 三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。 （3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上 的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的 平方。 3-3-兩角和差公式兩角和差公式 兩角和與差的三角函數(shù)公式 sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin tantan tan（）- 1tan tan tantan tan（） 1tan tan AOC BOC AOB cos A xr sin A yr cos B xr sin B yr 22 2 22 2222222222 22222

7、 22222 2 sinsincoscos sinsin2sinsincoscos2coscos sinsin2sinsincoscos2coscos sincossincos2sinsin2coscos 1 1 2 s ABAB AByyxx rrrr rrrrrr r r r 2 2 insincoscos 22 sinsincoscos 21sinsincoscos r r 222 22 22 2 2 2cos 2cos 22cos 22cos 21 cos ABACBCAC BCACB rrr r rr r r cossinsincoscos （和差公式的證明） 兩角差的余弦 令A(yù)O=

8、BO=r 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 點(diǎn)A縱坐標(biāo)為 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 兩式相等，化簡(jiǎn)（或?qū)φ盏茫?y A B （O）C x (-） 由余弦定理得： coscos sinsincoscos sinsincoscos coscossinsin sincos 90 cos90 sin 90sincos 90cos cossinsincos 兩角和的余弦 兩角和的正弦 兩角差的正弦 兩角和的正切 兩角差的正切 sinsin cossinsincos cossinsincos sincoscossin sin tan cos cossinsincos coscossinsin cossinsincos coscos c

9、oscossinsin coscos sinsin coscos sinsin 1 coscos tantan 1tantan tantan tantan 1tantan tantan 1tantan 由兩角差的余弦得 4-二倍角公式二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（也稱為：升冪縮角公式） 正弦的二倍角公式：正弦的二倍角公式： 表示一：sin22sincos 證明：因?yàn)?sin( +)=sincos+cossin，令= ， 所以，可得：sin2=2sincos 表示二：（以正切表示二倍角） sin2= 2tan 1+tn2 證明： sin2=2sincos=2 (sin /cos ) .

10、cos2 =2tan/(sec2 ) = 2tan/(1+tan2 ) 余弦二倍角公式：余弦二倍角公式： 表示一： cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2 證明：因?yàn)橛珊徒枪剑篶os( +)=coscossinsin， 令= 所以，可得： cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2 表示二： cos2= 1-tan2 1+tan2 證明：cos2=2cos21 = (2/sec2)1 =2/(1+tan2 ) 1 =(1-tan2 )/(1+tan2 ) 2tan tan2 1tan2 證明：因?yàn)橛珊徒枪剑?tan( +)= (tan +tan )/(1-tan

11、.tan )， 令= ， 所以，可得： 2tan tan2 1tan2 正切的二倍角公式 結(jié)論：利用結(jié)論：利用tantan 可以將可以將sin2sin2 ，cos2cos2 ，tan2tan2 表示出來，表示出來， 1tan2 2tan 1+tan2 2 整理如下：整理如下： (a) sin2= 2tan /(1+ tan2 ) (b) cos2=(1- tan2 )/ (1+tan2 ) (c) tan2=2tan / (1-tan2 ) 用三角形直觀表示如下：（圖） 6-半角公式半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（也稱：降冪擴(kuò)角公式） cos 1 sin sin cos 1 2 tan

12、cos 1 2 2cos cos 1 2 2sin 2 2 或也可表示為： 1 cos sin2(/2) 2 1 cos cos2(/2) 2 1 cos tan2(/2) 1 cos 7-7-萬能公式萬能公式 2 tan1 2 2tan tan 2 tan1 2 tan1 cos, 2 tan1 2 2tan sin 2 2 2 2 萬能公式推導(dǎo)萬能公式推導(dǎo) 附推導(dǎo)： sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*， （因?yàn)閏os2()+sin2()=1） 再把*分式上下同除cos2()，可得sin2tan2/(1tan2() 然后用/2代替即可。 同理可推導(dǎo)余弦

13、的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得 到。 8-三倍角公式三倍角公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 (a)sin3= 3sin 4sin3 證明： sin3 =sin(+2)=sincos2+cossin2 =sin(12sin2)+cos(2sincos) = sin(12sin2)+2sincos2 = sin(12sin2)+2sin(1sin2) = 3sin 4sin3 (b)cos3=4cos3 3cos 證明： cos3=cos(+2)=coscos2sinsin2 =cos(2cos21)sin(2sin cos) = cos(2cos21)2sin2cos = cos

14、(2cos21)2(1cos2)cos =4cos3 3cos 三倍角的正切公式 因?yàn)椋簊in33sin4sin3() cos34cos3()3cos 3tantan3 所以：tan3 13tan2 三倍角公式推導(dǎo)三倍角公式推導(dǎo) 正切三倍角公式推導(dǎo)：（證明） tan3sin3/cos3 (sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin) (2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos) 上下同除以cos3()，得： tan3(3tantan3()/(1-3tan2() 正弦三倍角公式推導(dǎo)（證明） sin3sin(2)

15、sin2coscos2sin 2sincos2()(12sin2()sin 2sin2sin3()sin2sin2() 3sin4sin3() 余弦三倍角公式推導(dǎo)：（證明） cos3cos(2)cos2cossin2sin (2cos2()1)cos2cossin2() 2cos3()cos(2cos2cos3() 4cos3()3cos 三倍角公式聯(lián)想記憶三倍角公式聯(lián)想記憶 記憶方法：諧音、聯(lián)想 正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)） 余弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之后還有“余”） 注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用

16、余弦表示。 9-積化和差公式積化和差公式 積化和差公式推導(dǎo)積化和差公式推導(dǎo)（之一）之一） 附推導(dǎo)： 首先,我們知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同樣的,我們還知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

17、 所以,把兩式相加,我們就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 積化和差推導(dǎo)（證明之二）： 1 sincos2si

18、ncos 2 1 sincossincoscossincossin 2 1 sinsin 2 1 coscos2coscos 2 1 coscoscoscossinsinsinsin 2 1 coscos 2 1 sinsin2sinsin 2 1 sinsinsinsincoscoscoscos 2 1 coscos 2 10-和差化積公式和差化積公式 和差化積的公式推導(dǎo)：和差化積的公式推導(dǎo)： 好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得 到和差化積的四個(gè)公式.我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b 設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a(bǔ),b分別用x,y表

19、示就可以得到和差化積的四個(gè)公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 11-輔助角公式輔助角公式 其中 的象限由 的符號(hào)確定。 22 sincossin()abab tan b a 12-任意三角形面積公式：任意三角形面積公式： C a b h d B c A 1 2 1 sin 2 1 sin () 2 ABC Sah abC acB 兩邊和其夾角正

20、弦的乘積 13-13-余弦定理：余弦定理： 任意三角形一角的余弦等于兩鄰邊的平方和減對(duì)邊的平方之差與兩鄰邊積的兩倍之比。 證明： 222 22 22222 2222 22 222222 (cos)( sin) 2coscossin =2cos(cossin) 2cos cos 22 bdh acBcB aacBcBcB aacBcBB acacB bacacb B acac （證完） 14-14-正弦定理正弦定理 A c O B a C sin 2 sin a A c a crrABC A （ 為的外接圓半徑） , sinsin 2 sinsinsin bc cc BC abc r ABC c為ABC外接圓的直徑, 同理 對(duì)邊與對(duì)角正弦之比相等，且為外接圓的半徑的兩倍 15-海倫公式（任意三角形已知三邊求面積）海倫公式（任意三角形已知三邊求面積） 證明 2 2 222 444222222 22 22444222222 22 22444222222 22 22 44422 22 1 sin 2 1 1cos 2 1 1 22 1222 1 24 14222 24 14222 44 2 1 4 ABC SabC abC abc ab ab abca ba cb c ab a b a babca ba cb c ab a b a babca ba