飛行器結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 第5章 彈性體振動(dòng)

1、第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 飛飛 行行 器器 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 動(dòng)動(dòng) 力力 學(xué)學(xué) 飛行器設(shè)計(jì)工程系飛行器設(shè)計(jì)工程系 第第5 5章章 彈性體振動(dòng)彈性體振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 西北工業(yè)大學(xué)西北工業(yè)大學(xué) 第第5 5章章 彈性體振動(dòng)彈性體振動(dòng) 飛飛 行行 器器 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 動(dòng)動(dòng) 力力 學(xué)學(xué) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第第5 5章章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn)工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.1 5.1 弦的振動(dòng)弦的振動(dòng) 5.2 5.2 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng) 5.3 5.3 軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 5.4 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) 5.5 5.5 簡支梁情形簡支梁情形 5.6 5.6 固支梁情形固支梁

2、情形 5.7 5.7 懸臂梁情形懸臂梁情形 5.8 5.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性 5.9 5.9 主振型疊加法主振型疊加法 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第第5 5章章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn)工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.1 5.1 弦的振動(dòng)弦的振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) 前面幾章，我們討論的都是前面幾章，我們討論的都是離散體系統(tǒng)離散體系統(tǒng)，這一，這一 章我們將討論章我們將討論連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)是由彈性體元件，連續(xù)系統(tǒng)是由彈性體元件 組成的組成的 本章討論本章討論理想彈性體理想彈性體的振動(dòng)。所

3、謂理想彈性體是的振動(dòng)。所謂理想彈性體是 指滿足以下三個(gè)條件的連續(xù)系統(tǒng)模型：指滿足以下三個(gè)條件的連續(xù)系統(tǒng)模型： 均勻分布均勻分布 各向同性各向同性 服從虎克定律服從虎克定律 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 彈性體具有彈性體具有分布的物理參數(shù)分布的物理參數(shù)（質(zhì)量、阻尼、剛度），彈性體的（質(zhì)量、阻尼、剛度），彈性體的 空間位置需用無數(shù)多個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來確定。也就是說，彈性體具有空間位置需用無數(shù)多個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來確定。也就是說，彈性體具有無無 限多個(gè)自由度。限多個(gè)自由度。 這些主振型之間也存在著關(guān)于質(zhì)量和剛度的正交性；這些主振型之間也存在著關(guān)于質(zhì)量和剛度的正交性； 通過對一些簡單形狀的彈性體的振動(dòng)分析，將會(huì)看到通

4、過對一些簡單形狀的彈性體的振動(dòng)分析，將會(huì)看到: : 任何一個(gè)彈性體具有無限多個(gè)自然頻率以及與之相應(yīng)的主振型；任何一個(gè)彈性體具有無限多個(gè)自然頻率以及與之相應(yīng)的主振型； 彈性體的自由振動(dòng)也可以表示為各主振動(dòng)的線性疊加；彈性體的自由振動(dòng)也可以表示為各主振動(dòng)的線性疊加； 對于彈性體的動(dòng)響應(yīng)分析主振型疊加法仍然是適用的。對于彈性體的動(dòng)響應(yīng)分析主振型疊加法仍然是適用的。 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 設(shè)理想柔軟的細(xì)弦張緊于兩個(gè)固定點(diǎn)之間，張力為設(shè)理想柔軟的細(xì)弦張緊于兩個(gè)固定點(diǎn)之間，張力為T 跨長跨長 為為 l，弦單位長度的質(zhì)量為，弦單位長度的質(zhì)量為 ，兩支點(diǎn)連線方向取為，兩支

5、點(diǎn)連線方向取為x 軸，與軸，與 x 軸垂直的方向取為軸垂直的方向取為 y軸，如圖軸，如圖5-1a， 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 圖圖5-1 5-1 弦振動(dòng)示意圖弦振動(dòng)示意圖 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) (a) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 設(shè)弦的振動(dòng)發(fā)生在設(shè)弦的振動(dòng)發(fā)生在xoy平面內(nèi)，弦的運(yùn)動(dòng)可表示為平面內(nèi)，弦的運(yùn)動(dòng)可表示為y = y(x,t) 。 并假設(shè)弦的振動(dòng)幅度是微小的，即并假設(shè)弦的振動(dòng)幅度是微小的，即y 與與 均為小量；在這些均為小量；在這些 假設(shè)下，弦的張力假設(shè)下，弦的張力T 可近似地看作常量。再設(shè)重力與阻尼的影可近似地看作常量。再設(shè)重力與阻尼的影 響均可略去不計(jì)。響均可略去不計(jì)。 yx 在

6、自由振動(dòng)中，弦的微元在自由振動(dòng)中，弦的微元dx 的受力圖如圖的受力圖如圖5-1b,5-1b,運(yùn)動(dòng)微運(yùn)動(dòng)微 分方程分方程為為 2 2 sin()sin y dxTdxT tx x y tansin 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) 圖圖5-1 5-1 弦振動(dòng)示意圖弦振動(dòng)示意圖 (b) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 故有故有 22 22 yy dxTdx tx 整理得整理得 lx t y cx y 0 1 2 2 22 2 （5-15-1） 式中式中 Tc 弦的運(yùn)動(dòng)還必須滿足邊界條件弦的運(yùn)動(dòng)還必須滿足邊界條件 （5-25-2） 0),(), 0(tlyty 式（式（5-1）中的）中的c 就是彈性波沿弦

7、向的傳播速度就是彈性波沿弦向的傳播速度 。式（。式（5-1）亦）亦稱波動(dòng)方程稱波動(dòng)方程。 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 描述弦振動(dòng)的函數(shù)描述弦振動(dòng)的函數(shù)y(x,t) 可以分解為空間函數(shù)與時(shí)間函數(shù)的乘可以分解為空間函數(shù)與時(shí)間函數(shù)的乘 積，即積，即 )()(),(tYxXtxy （5-35-3） 其中其中 X(t)是是振型函數(shù)振型函數(shù)，它表示整個(gè)弦的振動(dòng)形態(tài)，而，它表示整個(gè)弦的振動(dòng)形態(tài)，而 Y(t)表征點(diǎn)表征點(diǎn) 的振動(dòng)規(guī)律。將（的振動(dòng)規(guī)律。將（5-3）代入（）代入（5-1）式，可得）式，可得: 2 2 2 2 2 11 dt Yd Ydx Xd X c （5-45-4

8、） 要使上式對任意的要使上式對任意的x與與t都成立，必然是二者都等于同一個(gè)常數(shù)。都成立，必然是二者都等于同一個(gè)常數(shù)。 設(shè)這一常數(shù)為設(shè)這一常數(shù)為，得如下兩個(gè)常微分方程，得如下兩個(gè)常微分方程 特征方程特征方程 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 0 0 22 2 2 2 X cdx Xd Y dt Yd 取取 。于是，上述方程可改寫為。于是，上述方程可改寫為 2 0 2 2 2 Y dt Yd （5-55-5） 0 2 2 2 X dx Xd c （5-65-6） 可解得可解得 tBtAtYcossin)(（5-75-7） xDxCxXcossin)( （5-85-8） 5

9、.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 其中其中C 、D 為積分常數(shù)，另外，由邊界條件（為積分常數(shù)，另外，由邊界條件（5-2），得），得 0)0(X 0)(lX （5-95-9） （5-105-10） 得得 0D 0sinl （5-115-11） 這就是弦振動(dòng)的這就是弦振動(dòng)的特征方程特征方程。由此可確定一系列。由此可確定一系列特征值特征值 與此相應(yīng)，可確定一系列與此相應(yīng)，可確定一系列特征函數(shù)特征函數(shù)，亦稱，亦稱振型函數(shù)振型函數(shù) l xi xX i sin)( , 2, 1i （5-125-12） （5-135-13） l i i , 2, 1i 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng)

10、 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 與各個(gè)特征值相對應(yīng)，可確定系統(tǒng)的各階與各個(gè)特征值相對應(yīng)，可確定系統(tǒng)的各階自然頻率自然頻率 T l i c ii , 2, 1i （5-14 5-14 ） 弦對應(yīng)于各階自然頻率的弦對應(yīng)于各階自然頻率的主振動(dòng)主振動(dòng)為為 l xi tBtA tYxXtxy iiii iii sin)cossin( )()(),( （5-15 5-15 ） 而弦的任意一個(gè)自由振動(dòng)都可以表示為這些主振動(dòng)的疊加，即有而弦的任意一個(gè)自由振動(dòng)都可以表示為這些主振動(dòng)的疊加，即有 i iiii i i l xi tBtA txytxy sin)cossin( ),(),( （5-16 5-16 ）

11、其中各個(gè)其中各個(gè)Ai 與與Bi由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 設(shè)在初始時(shí)刻設(shè)在初始時(shí)刻 有有0t )()0,( )()0,( xgx t y xfxy 于是有于是有 i ii i i xg l xi Ax t y xf l xi Bxy )(sin)0,( )(sin)0,( （5-17 5-17 ） 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) l i i l i dx l xi xg l A dx l xi xf l B 0 0 sin)( 21 sin)( 2 （5-18 5-18 ） 可見，張緊弦的

12、自由振動(dòng)，除了基頻（最低頻率）振可見，張緊弦的自由振動(dòng)，除了基頻（最低頻率）振 動(dòng)外，還包含頻率為基頻整數(shù)倍的振動(dòng)。這種動(dòng)外，還包含頻率為基頻整數(shù)倍的振動(dòng)。這種倍頻振倍頻振 動(dòng)動(dòng)亦稱為亦稱為諧波振動(dòng)諧波振動(dòng)。 利用利用三角函數(shù)的正交性三角函數(shù)的正交性，可得，可得 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 例例5-1 設(shè)張緊弦在初始時(shí)刻被撥到如圖設(shè)張緊弦在初始時(shí)刻被撥到如圖5-25-2所示的位置，所示的位置， 然后無初速度地釋放。求弦的自由振動(dòng)然后無初速度地釋放。求弦的自由振動(dòng)。 解：按題設(shè)，有解：按題設(shè)，有 lx l xl l h l xx l h xy 6 ,)( 5 6

13、6 0, 6 )0,( 圖圖5-2 5-2 例例5-15-1示意圖示意圖 0)0,( x t y 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) t T ll x t T ll x t T ll x t T ll xh txy 4 cos 4 sin 16 866. 03 cos 3 sin 9 1 2 cos 2 sin 4 866. 0 cossin 2 1 5 72 ),( 2 因而弦的自由振動(dòng)可表示為（只寫出前因而弦的自由振動(dòng)可表示為（只寫出前4項(xiàng)）：項(xiàng)）： , 2, 1, 6 sin )(5 72 sin)( 5 12 sin 12 2 6 6 0 22 i i i h

14、dx l xi xl l h dx l xi x l h B l l l i 故有故有 , 2, 1,0iAi 5.1 弦弦 的的 振振 動(dòng)動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第第5 5章章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn)工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.2 5.2 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.2 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng) 設(shè)桿的橫截面在振動(dòng)時(shí)仍保持為平面并作整體運(yùn)動(dòng)。略去設(shè)桿的橫截面在振動(dòng)時(shí)仍保持為平面并作整體運(yùn)動(dòng)。略去 桿縱向伸縮而引起的橫截面變形。桿縱向伸縮而引起的橫截面變形。 取桿的縱向作為取桿的縱向作為 x 軸，各個(gè)截面的縱向位移表示為軸，各個(gè)截面的縱

15、向位移表示為u(x,t)。 如圖如圖5-3。桿的微元。桿的微元dx在自由振動(dòng)中的受力圖也在圖在自由振動(dòng)中的受力圖也在圖5-3中給出。中給出。 圖圖5-3 5-3 等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng)示意圖等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng)示意圖 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 設(shè)桿單位體積的質(zhì)量為設(shè)桿單位體積的質(zhì)量為 ，桿長為，桿長為 l，截面積為，截面積為A ，材料的彈，材料的彈 性模量為性模量為E 。再設(shè)任一。再設(shè)任一 x 截面處，縱向應(yīng)變?yōu)榻孛嫣?，縱向應(yīng)變?yōu)?x) ，縱向張力表示，縱向張力表示 為為P(x) ；則由材料力學(xué)知；則由材料力學(xué)知 x u AEAExP x u x )( )( 而在而在x=dx 截面處的張力

16、則為截面處的張力則為 )( 2 2 dx x u x u AEdx x P P 列出桿微元列出桿微元dx的運(yùn)動(dòng)方程，得的運(yùn)動(dòng)方程，得 dx x u AE t u Adx 2 2 2 2 5.2 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 整理得整理得 2 2 22 2 1 t u cx u 其中其中 Ec 2 )()(),(tUxXtxu 得到類似于（得到類似于（5-5）與（）與（5-6）的常微分方程組，由此）的常微分方程組，由此 解得解得U(t) 與與X(x) ： x c Dx c CxX tBtAtU cossin)( cossin)( 仍然采用分離變量法，將仍然采用分離變量法，

17、將 u= (x,t)表示為表示為 5.2 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 這一情形與上節(jié)所述弦的振動(dòng)相似。邊界條件為這一情形與上節(jié)所述弦的振動(dòng)相似。邊界條件為 0)()0(lXX 可得到可得到 E l i i l xi xX i sin)( 兩端固定的桿兩端固定的桿 5.2 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 兩端自由的桿兩端自由的桿 這時(shí)，桿兩端的應(yīng)力必須為零，故邊界條件為這時(shí)，桿兩端的應(yīng)力必須為零，故邊界條件為 0)()0(l dx dX dx dX 由此得由此得 , 2 , 1 , 0,i E l i i , 2 , 1 , 0,cos)(i l

18、xi xX i 5.2 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 一端固定一端自由的桿一端固定一端自由的桿 這時(shí)，邊界條件為這時(shí)，邊界條件為 0)( 0)0( l dx dX X 由此得由此得 , 2 , 1 , 0, 2 12 i E l i i , 2 , 1 , 0,) 2 12 sin()( i l xi xX i 5.2 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 一端固定一端彈性支承的桿（圖一端固定一端彈性支承的桿（圖5-4） 圖圖5-4 5-4 一端固定一端彈性支承的桿示意圖一端固定一端彈性支承的桿示意圖 設(shè)彈性支承剛度為設(shè)彈性支承剛度為k 。這時(shí)，邊界條件

19、為。這時(shí)，邊界條件為 0)0(X )()(lkXl dx dX AE 5.2 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 對應(yīng)于給定的對應(yīng)于給定的a值，不難找到各個(gè)固有頻率值，不難找到各個(gè)固有頻率i的的 數(shù)字解。而與各個(gè)數(shù)字解。而與各個(gè)i相應(yīng)的振型函數(shù)為相應(yīng)的振型函數(shù)為 由此得由此得 a kl AE cl cl / )/tan( x c xX i i sin)( 0D l c kl cc AE sincos 從后面一個(gè)方程可得從后面一個(gè)方程可得 5.2 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第第5 5章章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn)工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.3 5.3 軸的扭轉(zhuǎn)

20、振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 取圓軸的軸心線作為取圓軸的軸心線作為x 軸，圖軸，圖5-5軸任一軸任一 x截面處的轉(zhuǎn)角表示為截面處的轉(zhuǎn)角表示為 (x,t) 。設(shè)軸長為。設(shè)軸長為l ，單位體積的質(zhì)量為，單位體積的質(zhì)量為，圓截面對其中心的，圓截面對其中心的 極慣量矩為極慣量矩為Ip ，材料的剪切彈性模量為，材料的剪切彈性模量為 G 。軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變。軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變 為為 ，作用于微元，作用于微元dx 兩截面上的扭矩分別為兩截面上的扭矩分別為 ， 及及 。 5.3 軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 假設(shè)軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中仍保持為平面作整體轉(zhuǎn)動(dòng)。假設(shè)軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)振

21、動(dòng)中仍保持為平面作整體轉(zhuǎn)動(dòng)。 x x GI p )( 2 2 dx xx GI p 圖圖5-5 5-5 軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)示意圖軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)示意圖 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 其中其中 。這與前面得到的波動(dòng)方程形式完全。這與前面得到的波動(dòng)方程形式完全 一樣，故解的形式也一樣。一樣，故解的形式也一樣。 2 2 22 2 1 tcx / 2 Gc dx x GI t dxI pp 2 2 2 2 整理得整理得 列出列出運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程，可得，可得 5.3 軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 例例5-2 設(shè)軸的一端固定，另一端附有圓盤，如圖設(shè)軸的一端固定，另一端附有圓盤，如圖5-65

22、-6。圓盤。圓盤 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I 。試考察這一系統(tǒng)的扭振固有頻率與振型函數(shù)。試考察這一系統(tǒng)的扭振固有頻率與振型函數(shù)。 圖圖5-6 5-6 例例5-25-2示意圖示意圖 解：設(shè)軸的解：設(shè)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)可表示為可表示為 )()(),(txXtx 且有且有 tBtAtcossin)( x c Dx c CxX cossin)( 5.3 軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 軸在軸在l端截面處的端截面處的扭矩扭矩應(yīng)為應(yīng)為 軸在固定端的軸在固定端的邊界條件邊界條件為為 0)0(X （a a） ),( tl x GI p 而這一扭矩就等于圓盤的而這一扭矩就等于圓盤的慣性力

23、矩慣性力矩 ),( 2 2 tl x I 考慮到考慮到 )()(),(tl dx dX tl x )()()(),( 2 2 2 2 2 tlX dt d lXtl x （b b） 5.3 軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 這就是軸在這就是軸在 l 端的端的邊界條件邊界條件。 故有故有 )()( 2 lIXl dx dX GI p 0D 由式（由式（b b）可得）可得 tan （c c） 其中其中 I lI c l p , 式（式（c c）即軸系的）即軸系的特征方程特征方程。的物理意義為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與的物理意義為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與 圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之比。圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之比。 5.3

24、軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 由式（由式（a a）可得）可得 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 如近似地取如近似地取 ，則（，則（c c）式化簡為）式化簡為 下表給出對應(yīng)于各個(gè)不同的下表給出對應(yīng)于各個(gè)不同的 值時(shí)，基本特征值時(shí)，基本特征特征值特征值1 的值。的值。 1 1 2/ 0.010.010.100.100.300.300.500.500.700.700.900.901.001.001.501.50 0.100.100.320.320.520.520.650.650.750.750.820.820.860.860.980.98 2.002.003.003.004.004.005.005.0010.

25、010.020.020.0100100 1.081.081.201.201.271.271.321.321.421.421.521.521.571.57 tg Il GI Il Ic pp 2 2 （d d） 上式也就是略去軸的質(zhì)量后所得單自由度系統(tǒng)的上式也就是略去軸的質(zhì)量后所得單自由度系統(tǒng)的固有頻率公式固有頻率公式。 5.3 軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 3 3 tg 這時(shí)有這時(shí)有 3 1 I l GI p （e e） 上式也就是將軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三分之一加到圓盤上后所得單自上式也就是將軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三分之一加到圓盤上后所得單自 由度扭振系統(tǒng)的固有頻率公式。只要軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

26、慣量不大于圓盤的轉(zhuǎn)由度扭振系統(tǒng)的固有頻率公式。只要軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不大于圓盤的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量，那么計(jì)算基頻的近似式（動(dòng)慣量，那么計(jì)算基頻的近似式（e e）在實(shí)用上已足夠準(zhǔn)確了。）在實(shí)用上已足夠準(zhǔn)確了。 綜上所述，弦的橫振、桿的縱振與軸的扭振都導(dǎo)致同一形式的綜上所述，弦的橫振、桿的縱振與軸的扭振都導(dǎo)致同一形式的 波動(dòng)方程。它們的運(yùn)動(dòng)具有共同的規(guī)律，如表波動(dòng)方程。它們的運(yùn)動(dòng)具有共同的規(guī)律，如表5-15-1。 進(jìn)一步的近似可取進(jìn)一步的近似可取 5.3 軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 弦的橫振弦的橫振桿的縱振桿的縱振軸的扭振軸的扭振 物物 理理 參參 數(shù)數(shù) 弦的張力弦的張力 弦的線質(zhì)量弦

27、的線質(zhì)量 彈性模量彈性模量 截面積截面積 密度密度 剪切彈性模量剪切彈性模量 截面極慣性矩截面極慣性矩 密度密度 截面的截面的 位移位移 橫向位移橫向位移縱向位移縱向位移轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角角 單位長度單位長度 的質(zhì)量或的質(zhì)量或 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 截面處力截面處力 （或扭矩）（或扭矩） 表表5-15-1 弦的橫振、桿的縱振與軸的扭振對比表弦的橫振、桿的縱振與軸的扭振對比表 Ap I T EG p I x y x x y T x y EA x y GI p A 5.3 軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) c/T/E/G 2 2 22 2 1 t y cx y )()(tYxXyy iii

28、c x D c x CxXtBtAtY i i i iiiiiii cossin)(,cossin)( 0)()0(lXX0)( )0( lXX0)( )0(lXX lci i / 3,2,1i lci i / l ci i 2 12 l xi X i sin l xi X i cos l xi X i 2 12 sin 3,2,1i3,2,1i 弦的橫振弦的橫振桿的縱振桿的縱振軸的扭振軸的扭振 波速波速 運(yùn)動(dòng)微運(yùn)動(dòng)微 分方程分方程 通解通解 邊界條件邊界條件 兩端固定兩端固定兩端自由兩端自由 一端固定一端固定 一端自由一端自由 固有頻率固有頻率 振型函數(shù)振型函數(shù) 5.3 軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)

29、振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第第5 5章章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn)工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.4 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 假設(shè)梁具有對稱平面，且在彎曲振動(dòng)中梁的軸線（以下稱假設(shè)梁具有對稱平面，且在彎曲振動(dòng)中梁的軸線（以下稱 為撓曲線）始終保持在這一對稱平面內(nèi)。取梁未變形時(shí)的軸線為撓曲線）始終保持在這一對稱平面內(nèi)。取梁未變形時(shí)的軸線 方向?yàn)榉较驗(yàn)閤軸（向右為正），取對稱面內(nèi)與軸（向右為正），取對稱面內(nèi)與x軸垂直的方向?yàn)檩S垂直的方向?yàn)?y軸軸 （向上為正）。（向上為正）。 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) 圖圖5-7 5-7 梁彎曲振

30、動(dòng)示意圖梁彎曲振動(dòng)示意圖 梁撓曲線的微分方程梁撓曲線的微分方程 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 方程（方程（5-205-20）就是等截面梁在集度為）就是等截面梁在集度為q的分布力作用下的的分布力作用下的 撓曲線微分方程撓曲線微分方程。 ( , )yy x t 除了理想彈性體與微幅振動(dòng)的假設(shè)外，還假設(shè)梁的長度與除了理想彈性體與微幅振動(dòng)的假設(shè)外，還假設(shè)梁的長度與 截面高度之比是相當(dāng)大的。梁撓曲線的微分方程可表示為截面高度之比是相當(dāng)大的。梁撓曲線的微分方程可表示為 M x y EI 2 2 （5-195-19） 即即 Q x y EI 3 3 （5-205-20） 梁在彎曲振動(dòng)時(shí)，其撓曲線隨時(shí)間而變化，

31、可表示為梁在彎曲振動(dòng)時(shí)，其撓曲線隨時(shí)間而變化，可表示為 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 2 2 t y q （5-215-21） 將式（將式（5-215-21）代入方程（）代入方程（5-205-20），即得等截面梁自由），即得等截面梁自由彎曲振彎曲振 動(dòng)的微分方程動(dòng)的微分方程 0 1 2 2 24 4 t y ax y （5-225-22） 其中其中 。方程（。方程（5-225-22）是）是4 4階偏微分方程，也需根據(jù)階偏微分方程，也需根據(jù) 梁的支承情形附加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。所以，在數(shù)學(xué)上這類問題梁的支承情形附加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。所以，在數(shù)學(xué)上這類問題 常稱為偏微分方

32、程的邊值問題。常稱為偏微分方程的邊值問題。 / 2 EIa 應(yīng)用達(dá)朗伯原理，在梁上加以分布的慣性力為應(yīng)用達(dá)朗伯原理，在梁上加以分布的慣性力為 彎曲振動(dòng)的微分方程彎曲振動(dòng)的微分方程 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 該處撓度與轉(zhuǎn)角都為零，即有該處撓度與轉(zhuǎn)角都為零，即有 0),( 0),( t x y ty 0或或 l （5-235-23） 鉸支端鉸支端 該處撓度與彎矩都為零，即該處撓度與彎矩都為零，即 有有 0),( 0),( 2 2 t x y EI ty 0或或l （5-245-24） 常見的邊界條件常見的邊界條件 固支端固支端 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)

33、第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 自由端自由端 該處彎矩與剪力都為零，即有該處彎矩與剪力都為零，即有 0),( 0),( 3 3 2 2 t x y EI t x y EI 0l或或（5-255-25） 幾何邊界條件：對撓度或轉(zhuǎn)角的限制條件。幾何邊界條件：對撓度或轉(zhuǎn)角的限制條件。 力邊界條件：對彎矩與剪力的限制條件。力邊界條件：對彎矩與剪力的限制條件。 邊界條件的分類邊界條件的分類 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 采用分離變量法。假設(shè)方程（采用分離變量法。假設(shè)方程（5-225-22）的解可表示為）的解可表示為 )()(),(tYxXtxy （5-265-26） 將式（將

34、式（5-265-26）代人方程（）代人方程（5-225-22），得），得 4 42 2 2 1 dx Xd X a dt Yd Y 彎曲振動(dòng)的微分方程的解彎曲振動(dòng)的微分方程的解 要使上式對于任何要使上式對于任何x與與t值都能成立，必須使二者值都能成立，必須使二者 都等于同一個(gè)常數(shù)，和前面關(guān)于波動(dòng)方程的討論一樣，都等于同一個(gè)常數(shù)，和前面關(guān)于波動(dòng)方程的討論一樣， 只有當(dāng)這一常數(shù)取負(fù)值時(shí)，才有對應(yīng)于振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的解。只有當(dāng)這一常數(shù)取負(fù)值時(shí)，才有對應(yīng)于振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的解。 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 故可以把這一常數(shù)記為故可以把這一常數(shù)記為2 。 x t 于是有于是有 0 2

35、2 2 Y dt Yd （5-275-27） a X dx Xd 24 4 4 ,0 （5-285-28） （5-275-27）的）的通解通解為為 tBtAtYcossin)(（5-295-29） 方程（方程（5-285-28）是一個(gè)）是一個(gè)4 4階常系數(shù)線性常微分方程階常系數(shù)線性常微分方程，它的，它的 特征方程特征方程為為 0 44 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 0 44 其其特征值特征值為為 jj 4321 , 故方程（故方程（5-285-28）的）的通解通解為為 xjxjxx eDeDeDeDxX 4321 )( 引用雙曲函數(shù)，可將上述通解改寫成引用雙曲函

36、數(shù)，可將上述通解改寫成 xCxCxshCxchCxXsincos)( 4321 （5-305-30） 其中其中 為為積分常數(shù)積分常數(shù)。 4321 ,CCCC 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 鉸支端鉸支端0 ,0 2 2 X dx Xd X （5-245-24） 自由端自由端0 ,0 3 3 X dx Xd X（5-255-25） 這時(shí)，這時(shí)，邊界條件邊界條件相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為 固支端固支端 0,0X dx dX X（5-235-23） 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 在具體考察各種支承情形下梁彎曲振動(dòng)固有頻率在具體考察各種支承情

37、形下梁彎曲振動(dòng)固有頻率 與與振型函數(shù)振型函數(shù)之前，先將邊界條件中要用到的之前，先將邊界條件中要用到的X(x)的各的各 階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)列出如下：階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)列出如下： cossin)( 4321 xCxCxchCxshCxX sincos)( 4321 2 xCxCxshCxchCxX cossin)( 4321 3 xCxCxchCxshCxX （5-315-31） （5-325-32） （5-335-33） 5.4 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第第5 5章章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn)工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.5 5.5 簡支梁情形簡支梁情形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第5章 工程振

38、動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.5 簡簡 支支 梁梁 情情 形形 簡支梁的簡支梁的邊界條件邊界條件為為 0)0(X（5-345-34） 0)(lX （5-355-35） 0)0( X （5-365-36） 0)( lX （5-375-37） 有有 0 31 CC0 31 CC 0 2 C0 31 CC 于是，于是，特征方程特征方程為為0sinl（5-385-38） 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 由此得由此得特征值特征值為為 ,2,1,i l i i （5-395-39） 與此相應(yīng)的與此相應(yīng)的固有頻率固有頻率值為值為 ,2,1,) 4 2 i l EI i i （5-405-40） 而對應(yīng)的而對應(yīng)的振型函數(shù)振型

39、函數(shù)為為 ,2,1,sinsin)(ix l i xxX ii （5-415-41） 與與 對應(yīng)的對應(yīng)的主振動(dòng)主振動(dòng)可表示為可表示為 i x l i tBtA tYxXtxy iiii iii sin)cossin( )()(),( （5-425-42） 5.5 簡簡 支支 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 簡支梁的自由振動(dòng)則可表示為各個(gè)主振動(dòng)的疊加，即簡支梁的自由振動(dòng)則可表示為各個(gè)主振動(dòng)的疊加，即 i iiii i i x l i tBtA txytxy sin)cossin( ),(),( （5-435-43） 設(shè)在設(shè)在 時(shí)，梁的初始撓度與初始速度為時(shí)，梁的初始撓度與初始速度為

40、0t )()0 ,( )()0 ,( xgx t y xfxy 則由式（則由式（5-435-43），）， 得得 dx l xi xg lp A dx l xi xf l B l i i l i sin)( 21 sin)( 2 0 0 （5-445-44） 5.5 簡簡 支支 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 但在但在x =處有一微段處有一微段 于受撞擊而獲得初速度，即有于受撞擊而獲得初速度，即有 例例5-3 設(shè)簡支梁在設(shè)簡支梁在 t = 0 時(shí)未發(fā)生位移，即有時(shí)未發(fā)生位移，即有 0)(xf 22 0 22 )( xx xv xg 或當(dāng)， 當(dāng)， 試求梁的自由彎曲振動(dòng)。試求梁的自由彎

41、曲振動(dòng)。 解：則由式（解：則由式（5-445-44），可得），可得 0 i B l i l v dx l xi v l A ii i sin 2 sin 21 2 2 5.5 簡簡 支支 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) i i i t l xi l i l v txy sinsinsin 12 ),( 2 l 設(shè)撞擊發(fā)生在梁的中點(diǎn)處，即設(shè)撞擊發(fā)生在梁的中點(diǎn)處，即 處，則有處，則有 t l x t l x t l x a lv t l x t l x t l x l v txy 531 2 5 5 3 3 1 1 sin 5 sin 25 1 sin 3 sin 9 1 sin(s

42、in 2 sin 5 sin 1 sin 3 sin 1 sinsin 1 ( 2 ),( 可見，在此情形下，只發(fā)生那些與中點(diǎn)截面對稱的主振動(dòng)，可見，在此情形下，只發(fā)生那些與中點(diǎn)截面對稱的主振動(dòng)， （即（即 ）而它們的振幅則按）而它們的振幅則按 遞減。遞減。 ,5,3,1i 2 /1 i 于是由式（于是由式（5-435-43），有），有 5.5 簡簡 支支 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第第5 5章章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn)工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.6 5.6 固支梁情形固支梁情形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 固支梁的邊界條件為固支梁的邊界條件為 0)0(

43、 ,0)0(XX（5-455-45） 0)( ,0)(lXlX （5-465-46） 由條件（由條件（5-455-45），有），有 0 0 42 31 CC CC 42 31 CC CC 再由條件（再由條件（5-465-46），可得），可得 0)cos()sin( 0)sin()cos( 21 21 CllchCllsh CllshCllch （5-475-47） 5.6 固固 支支 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 0)cos()sin( 0)sin()cos( 21 21 CllchCllsh CllshCllch 若上式對若上式對 有非零解，它的系數(shù)行列式必須為零。即有非零解

44、，它的系數(shù)行列式必須為零。即 21 , CC （5-475-47） 0 cossin sincos llchllsh llshllch 化簡后，可得特征方程為化簡后，可得特征方程為 1cosllch （5-485-48） 可以用數(shù)字解法求得這一超越方程最低幾個(gè)特征根為可以用數(shù)字解法求得這一超越方程最低幾個(gè)特征根為 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 4.7304.7307.8537.85310.99610.99614.13714.13717.27917.279 5.6 固固 支支 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 其中，對應(yīng)于其中，對應(yīng)于 的各個(gè)特征根可足夠準(zhǔn)確地取為的各個(gè)特征

45、根可足夠準(zhǔn)確地取為2i ,4,3,2, 2 1 iil i 梁的固有頻率相應(yīng)地為梁的固有頻率相應(yīng)地為 ,2,1,/ 2 iEI ii （5-495-49） 由式（由式（5-47）可確定系數(shù)）可確定系數(shù) 的比值：的比值： 21 , CC llch llsh llsh llch C C ii ii ii ii i i cos sin sin cos 1 2 （5-505-50） 5.6 固固 支支 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) )sin(cos)(xxshxxchxX iiiiii （5-515-51） 其中前三階振型函數(shù)示于圖其中前三階振型函數(shù)示于圖5-85-8。 圖圖5-8 5

46、-8 固支梁的前三階振型函數(shù)固支梁的前三階振型函數(shù) 故與故與 相應(yīng)的各個(gè)振型函數(shù)可取為相應(yīng)的各個(gè)振型函數(shù)可取為 i 5.6 固固 支支 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第第5 5章章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn)工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.7 5.7 懸臂梁情形懸臂梁情形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 取懸臂梁的固定端作為坐標(biāo)系取懸臂梁的固定端作為坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)。懸臂梁的的原點(diǎn)。懸臂梁的 邊界條件可表示為邊界條件可表示為 5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形 0)0( ,0)0(XX（5-525-52） 0)( ,0)( lXlX （5-535-53） 可得可得

47、0)cos()sin( 0)sin()cos( 21 21 CllchCllsh CllshCllch （5-545-54） 這一方程關(guān)于這一方程關(guān)于 具有非零解，可得具有非零解，可得 21 , CC 1cosllch （5-555-55） 它就是懸臂梁彎曲振動(dòng)的它就是懸臂梁彎曲振動(dòng)的特征方程特征方程。 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 它的最低幾個(gè)它的最低幾個(gè)特征根可借數(shù)字解求得為特征根可借數(shù)字解求得為 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 1.8751.8754.6944.6947.8557.85510.99610.99614.13714.137 其中，對應(yīng)于其中，對應(yīng)于 的各個(gè)特征根可足夠準(zhǔn)

48、確地取為的各個(gè)特征根可足夠準(zhǔn)確地取為3i ,4,3, 2 1 iil i 懸臂梁的固有頻率相應(yīng)地為懸臂梁的固有頻率相應(yīng)地為 ,2,1,/ 2 iEI ii （5-565-56） 其基本頻率為其基本頻率為/ 5156. 3 2 1 EI l （5-575-57） 由式（由式（5-54）可確定系數(shù)）可確定系數(shù) 的比值的比值 21 , CC 5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) llch llsh llsh llch C C ii ii ii ii i i cos sin sin cos 1 2 （5-585-58） 故與故與 相應(yīng)的各個(gè)振型函數(shù)可取為相應(yīng)的各個(gè)振型函數(shù)可

49、取為 i )sin(cos)(xxshxxchxX iiiiii （5-595-59） 其中前三階振型函數(shù)示于圖其中前三階振型函數(shù)示于圖5-95-9。 圖圖5-5-9 9 懸臂梁的前三階振型函數(shù)懸臂梁的前三階振型函數(shù) 5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 物理參數(shù)物理參數(shù) 撓曲線撓度撓曲線撓度 彈性模量彈性模量 截面慣量矩截面慣量矩 梁單位程度質(zhì)量梁單位程度質(zhì)量 梁長梁長 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 通解通解 固有頻率固有頻率 表表5-25-2類比了六種不同邊界條件下均勻梁彎曲的固有頻率與振類比了六種不同邊界條件下均勻梁彎曲的固有頻率與振 型函數(shù)。這些振型函數(shù)值已有表可查。型

50、函數(shù)。這些振型函數(shù)值已有表可查。 表表5-25-2 均勻梁的彎曲振動(dòng)均勻梁的彎曲振動(dòng) ),(txyy EI l 0 1 2 2 24 4 t y ax y / 2 EIa i iiiii i i tpBtpAtxXtxytxy)cossin)(,(),(),( 224 4321 /,cos)(apxCxCxshCxchCxX iiiiiii 222 2 2 2 2 ,l EI l a l ii ii i 5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 0cos1ch0cos1ch 2, 2 1 ii i 2, 2 1 ii i 3, 2 1 ii i 0sin i 0)( )

51、( 0)0( )0( lXlX XX 0)( )( 0)0( )0( lXlX XX 0)( )( 0)0( )0( lXlX XX邊界條件邊界條件 固支梁固支梁自由梁自由梁懸臂梁懸臂梁 特征方程特征方程 特征根特征根 4.730 4.730 7.853 7.853 10.99610.996 4.730 7.853 4.730 7.853 10.99610.996（零頻零頻 率除外）率除外） 1.875 1.875 4.694 4.694 7.8557.855 振型函數(shù)振型函數(shù) 續(xù)表續(xù)表5-25-2 均勻梁的彎曲振動(dòng)均勻梁的彎曲振動(dòng) 0cos1ch )sin( cos xxshv xxch i

52、ii ii )sin( cos xxshv xxch iii ii )sin( cos xxsh xxch iii ii 5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 邊界條件邊界條件 簡支梁簡支梁鉸支鉸支-固支梁固支梁鉸支鉸支-自由梁自由梁 特征方程特征方程 特征根特征根 3.9273.927 7.069 7.069 10.21010.210 3.927 7.069 3.927 7.069 10.21010.210 （零頻率除外）（零頻率除外） 振型函數(shù)振型函數(shù) 注注 ii ii i ii ii i sh ch sh ch v sin cos , sin cos 0tgt

53、h x sh xsh i i i i sin sin , 2 , 1, 4 1 ii i x sh xsh i i i i sin sin 0)( )( 0)0( )0( lXlX XX 0tgth , 2 , 1, 4 1 ii i 0)( )( 0)0( )0( lXlX XX i i l xi sin 續(xù)表續(xù)表5-25-2 均勻梁的彎曲振動(dòng)均勻梁的彎曲振動(dòng) 0)( )( 0)0( )0( lXlX XX 0sin 5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 例例5-4 設(shè)在懸臂梁的自由端加上橫向彈性支承，其彈簧設(shè)在懸臂梁的自由端加上橫向彈性支承，其彈簧 剛度系數(shù)為剛

54、度系數(shù)為k，如圖，如圖5-105-10。試導(dǎo)出系統(tǒng)的頻率方程。試導(dǎo)出系統(tǒng)的頻率方程。 圖圖5-10 5-10 例例5-45-4示意圖示意圖 解：取固支端作為坐標(biāo)系解：取固支端作為坐標(biāo)系 的原點(diǎn)。由自由端的邊界條件，的原點(diǎn)。由自由端的邊界條件， 有有 xOy 24 13 CC CC 在彈性支承端，彎矩為零，而剪力就是彈簧力。故彈性支承端在彈性支承端，彎矩為零，而剪力就是彈簧力。故彈性支承端 的的邊界條件邊界條件為為 )()( 0)( lkXlEIX lX （a a） 5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 由此可得由此可得 0)sin()cos( )cos()sin(

55、0)sin()cos( 2 3 1 3 21 CllshkllchEI CllchkllshEI CllshCllch （b b） 方程（方程（b b）有非零解可得）有非零解可得 llshllch llch EI k cossin cos1 3 （c c） 上式即為所求的上式即為所求的頻率方程頻率方程。 注意到，當(dāng)注意到，當(dāng) 時(shí)上式是懸臂梁的頻率方程。時(shí)上式是懸臂梁的頻率方程。 0k 當(dāng)當(dāng) ，彈性支承端就相當(dāng)于鉸支端。即為一端固支一端，彈性支承端就相當(dāng)于鉸支端。即為一端固支一端 鉸支情形下的梁的彎曲振動(dòng)頻率方程。鉸支情形下的梁的彎曲振動(dòng)頻率方程。 k 5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形 第5

56、章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 解：和上例一樣，取固支端作為坐標(biāo)系原點(diǎn)。假設(shè)附加質(zhì)量可解：和上例一樣，取固支端作為坐標(biāo)系原點(diǎn)。假設(shè)附加質(zhì)量可 看作質(zhì)點(diǎn)，那么在梁的看作質(zhì)點(diǎn)，那么在梁的 x=l 截面處彎矩為零，而剪力就是質(zhì)量截面處彎矩為零，而剪力就是質(zhì)量m的的 慣性力。這一慣性力可表示為慣性力。這一慣性力可表示為 例例5-5 設(shè)在懸臂梁的自由端附加集中質(zhì)量設(shè)在懸臂梁的自由端附加集中質(zhì)量m，如圖，如圖5-115-11。 試求其頻率方程。試求其頻率方程。 ),(),( 2 2 2 tlymtl t y m 5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形 圖圖5-11 5-11 例例5-55-5示意圖示意圖 第5章 工

57、程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 即有即有 llshllch llch EI m cossin cos1 3 2 （b b） l m 令令 ，即得所求頻率方程，即得所求頻率方程 llshllch llch l cossin cos1 （c c） )()( 0)( 2 lXmlEIX lX （a a） 梁附加質(zhì)量端的邊界條件為梁附加質(zhì)量端的邊界條件為 5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第第5 5章章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn)工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 5.8 5.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 下面我們僅就梁的彎曲振動(dòng)的振型函數(shù)論證

58、其正交性。和下面我們僅就梁的彎曲振動(dòng)的振型函數(shù)論證其正交性。和 前幾節(jié)不同，本節(jié)所考察的梁截面可以是變化的。這時(shí)，梁單前幾節(jié)不同，本節(jié)所考察的梁截面可以是變化的。這時(shí)，梁單 位長度的質(zhì)量位長度的質(zhì)量(x) 以及截面剛度以及截面剛度EI(x)都是都是x的已知函數(shù)，而不必的已知函數(shù)，而不必 為常數(shù)。故梁的自由彎曲振動(dòng)微分方程為為常數(shù)。故梁的自由彎曲振動(dòng)微分方程為 5.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性 從前幾節(jié)的討論中可以看到，一些簡單情形下的振型函數(shù)從前幾節(jié)的討論中可以看到，一些簡單情形下的振型函數(shù) 是三角函數(shù)，它們的正交性是比較清楚的；而在另一些情形下是三角函數(shù)，它們的正交性是比較清楚的；而

59、在另一些情形下 得到的振型函數(shù)還包含有雙曲函數(shù)，它們的正交性以及更一般得到的振型函數(shù)還包含有雙曲函數(shù)，它們的正交性以及更一般 情形下振型函數(shù)的正交性尚待進(jìn)一步說明。情形下振型函數(shù)的正交性尚待進(jìn)一步說明。 ),()(),()( 2 2 2 2 2 2 tx t y xtx x y xEI x （5-605-60） 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 采用分離變量法，將采用分離變量法，將 表示為表示為),(txy )()(),(tYxXtxy （5-615-61） 進(jìn)行分離變量后，可得進(jìn)行分離變量后，可得 0 2 2 2 Y dt Yd （5-625-62） )()()( 2 2 2 2 2 xXx dx

60、 Xd xEI dx d （5-635-63） 我們將從方程（我們將從方程（5-635-63）出發(fā)進(jìn)行討論。這時(shí)邊界條件為）出發(fā)進(jìn)行討論。這時(shí)邊界條件為 固支端：固支端： l X X 或0 0)( 0)( （5-645-64） 5.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性 第5章 工程振動(dòng)測試和實(shí)驗(yàn) 鉸支端：鉸支端： l XEI X 或0 0)( )( 0)( （5-655-65） 自由端自由端 l xXxEI XEI x 或0 0|)( )( 0)( )( （5-665-66） 現(xiàn)假設(shè)方程（現(xiàn)假設(shè)方程（5-635-63）在一定的邊界條件下，對應(yīng)）在一定的邊界條件下，對應(yīng) 于任意兩個(gè)不同的特征值于