《數(shù)學(xué)物理方法》第四章_11

1、第4章留數(shù)定理及其應(yīng)用 留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)的積分理論與級(jí) 數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物，它是復(fù)變函數(shù) 論的重要組成部分 本章首先介紹留數(shù)的概念、留數(shù)的計(jì) 算方法和留數(shù)定理，隨后討論留數(shù)定 理在實(shí)變積分計(jì)算中的應(yīng)用 4.1 留數(shù)定理 留數(shù)和留數(shù)定理 函數(shù)在各類奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算方法 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)與留數(shù)和定理 3 4.1.0 回顧回顧 ox y ox y ( ).f zDC D如 果在 域 內(nèi) 解 析 ， 其 中 是 域 內(nèi) 的 任 意 一 條 簡 單 閉 曲 線 高階導(dǎo)數(shù)公式 閉路變形原理 C 0 z C ( )d0.f zz 0 0C 1( ) () d . 2 f z f zz izz ( ) 0 1

2、 0C !( ) () d . 2() n n nf z fzz izz 00C ( )( ) d d . f zf z zz zzzz C 柯西定理柯西定理 柯西公式柯西公式 4 4.1.1 留數(shù)定理留數(shù)定理 0 ( )() , n n n f zc zz ox y 1 ( )2 C f z dzic 01 1 Res ( ),( ) 2 C f z zf z dzc i 0 ( ) . zf zC 如果是的一個(gè)奇點(diǎn)，其中 是此去心鄰域內(nèi)的任意 一條簡單閉曲線 1 0 1( ) ,(0, 1, 2,) 2() n n f z cdzn izz 0 ( ) ()n n n f zc zz C

3、dz C dz 0 21 1 01()n C in dz nzz 0 z C 10 cfz 稱為 在 點(diǎn)的留數(shù). 一、留數(shù)的定義一、留數(shù)的定義 5 二、定理（留數(shù)定理）二、定理（留數(shù)定理） ox y 12 ( ), . n f zDz zz CD 設(shè)函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外 處處解析是 內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線 1 ( )d2Res ( ), n k k C f zzif z z C 1 C 2 C 3 C 1 z 2 z 3 z 1 ( )d( ) k n k CC f zzf z dz 證明由復(fù)閉路定理得 由留數(shù)的定義得 1 ( )d2Res ( ), n k k C f

4、zzif z z 6 法則法則1 1 0 0 00 ( ) Res ( ),lim() ( ) zz zf z f z zzzf z 如果 為的一級(jí)極點(diǎn)，那么 三、留數(shù)的計(jì)算三、留數(shù)的計(jì)算 例例1 1 2 ,| 2 1 . z C ze dzCz z 計(jì)算積分其中 為正向圓周： 證明證明( )f z 0 () ( )zzf z o x y C解解 2 1 Res, 1, 12 z ze ze 2 Res,1. 12 z zee z 1 2(). 22 C e i e 1010 0 1 ()ccc zz zz 2 10010 ()()cc zzc zz 7 法則法則2 2 0 0 000 0 0

5、 0 ( )( ),( ) ( ) ()0,()0, () Res( ),lim. () zz P z f zP zQzz Q z P zQ zQ z P z f zz Q z （ ） 設(shè),在都解析，如果 )0,那么 例例1 1 2 ,| 2 1 . z C ze dzCz z 計(jì)算積分其中 為正向圓周： 證明證明 0 00 Res ( ),lim() ( ) zz f z zzzf z 解解 2 1 Res, 1 12 zz z zeze zz 0 0 0 ( ) lim. ( )() zz P z Q zQ z zz 2 1 Res,1 12 zz z zeze zz 1 , 2 e .

6、2 e o x y C 8 法則法則3 3 0 ( )zf zm如果 為的 級(jí)極點(diǎn)，那么 分析( )f z 0 ()( ) m zzf z (1) 0 ()( ) mm zzf z (1) 0 lim()( ) mm zz zzf z 0 1 00 1 1 Res ( ),lim()( ). (1)! m m m zz d f z zzzf z mdz 證明證明 1 010 00 () () m m cc cc zz zzzz 1 101000 ()()() mm mm cczzczzc zz 100 (1)!()mcm c zz 1 (1)!.mc 9 例例2 2 計(jì)算積分計(jì)算積分 3 |

7、| 2 (1) z z e dz z 1 1 2() 2 z z ie . i 10 例例3 3計(jì)算下列函數(shù)奇點(diǎn)處的留數(shù)計(jì)算下列函數(shù)奇點(diǎn)處的留數(shù) 2 1 1) ( ); 2 z f z zz 解解 4 3 1 2) ( ); (1) z f z z 1 3) ( )sin. 1 f z z 2 1 1)Res,0 2 z zz 0 1 lim 2 z z z 1 , 2 2 1 Res,2 2 z zz 2 1 lim z z z 3 . 2 35 1111 3)sin, 113!(1)5!(1)zzzz 1 Ressin,11. 1 z 4 3 1 2)Res, 1 (1) z z 4 1

8、1 lim1 2 z z 6, 11 例例4 4計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分 | | 1 sin 1); z z dz z 解解 5 | | 1 1 cos 2); z z z | | 3 3)tan. z zdz sin 1)Res,00, z z 5 1 cos1 2)Res,0, 4! z z 21 2 21sin 3)Restan, 2(cos)k z kz z z | | 1 sin 0. z z dz z 5 | | 1 1 cos . 12 z zi z 1 . 2 0 | | 3 21 tan2Restan z, 2 k z k zdzi = 10i 12 例例5 5計(jì)算下列積分計(jì)

9、算下列積分 6 | | 1 sin . z zz dz z 解解0( ).zf z 為的三級(jí)極點(diǎn) 6 sin 1)Res,0 zz z 2 23 0 1sin lim 2! z dzz dzz 6 sin 2) zz z 35 6 111 () 3!5! zzzz z 3 11 3!5!zz 6 | | 1 sin z zz dz z 6 sin1 Res,0, 5! zz z 60 i 6 sin 3)Res,0 zz z 5 5 0 1 limsin 5! z d zz dz 1 5! ( )2Res( ),0 C f z dzif z = 13 小結(jié)小結(jié) 1 1 定義定義 2 2 定理定

10、理 3 3 計(jì)算方法計(jì)算方法 一級(jí)奇點(diǎn)一級(jí)奇點(diǎn) m 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn) 本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn) 01 1 Res ( ),( ) 2 C f z zf z dzc i 1 ( )d2Res ( ), n k k C f z zif z z 0 00 Res ( ),lim() ( ) zz f z zzzf z 0 (1) 0 0 () Res ,lim. (1)! mm zz zzf f z m 1 10010 ()()fcz zcc z z 14 四、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)四、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 1 ( )d 2 C f zz i o x y 1 ( )2 C f z dzic 1 Res ( ),f zc 0

11、( ) . f zRzzC 如果在圓環(huán)域| |內(nèi)解析，其中 為此 圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任意一條簡單閉曲線那么 ( ).Cf z的值與 無關(guān)，稱此定值為在 點(diǎn)的留數(shù)記為 1 Res ( ), ( )d 2 C f zf zz i 15 留數(shù)定理一留數(shù)定理一 o x y 12 ( ), . n f zDz zz CD 設(shè)函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外 處處解析是 內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線 1 ( )d2Res ( ), n k k C f zzif z z C 1 C 2 C 3 C 1 z 2 z 3 z 留數(shù)定理二留數(shù)定理二 1 Res ( ),Res ( ), 0 n k k f z

12、zf z 12 ( ) ,. ). n f z z zz 如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)除有限個(gè) 孤立奇點(diǎn)外處處解析那么在 所有點(diǎn)(包括的留數(shù)之和必等于零 16 2 11 Res ( ),Res ( ),0f zf zz 證明證明 o ( ) C 法則法則4 4 1 Res ( ), ( )d 2 C f zf zz i i ze 1 z i re 1 i e 2 0 1 ()d 2 ii feie i 2 0 11 ()d 2 ii i f irere 2 2 0 111 ()d() 2() i ii fre irere 2 111 ()d 2 C f i o ( ) z C 1 r 17 例例6

13、6計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分 4 | | 2 . 1 z z dz z 解解 Res ,1 Res , 1 Res , Res ,fff ifi 4 | | 2 (1) 1 z z dz z 0 2222 11 1111 4444 zzz iz i zzzz 4 | | 2 (2) 1 z z dz z 4 2Res, 1 z i z 4 2Res,0 1 z i z 0 43 4 11 1 1 1 z zz z 348 111 (1) zzz 3711 111 zzz | 2:z 4 Res,0 1 z z 18 【例例4.1.4】求求f(z)= 在孤立在孤立 奇點(diǎn)奇點(diǎn)(包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）處的留數(shù)

14、包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）處的留數(shù) l解解 z=b1是二階極點(diǎn)，是二階極點(diǎn)，z=b2是一階極點(diǎn)，由表是一階極點(diǎn)，由表 4-1容易求得容易求得 19 由留數(shù)和定理，易得由留數(shù)和定理，易得 由于不存在由于不存在z-1 -1 項(xiàng)，故項(xiàng)，故 Res f() =- -a-1( -1() )=0 20 作業(yè)作業(yè)- 4.1 第第82頁頁 Group AGroup BGroup C 1.4.1.1(2,5,8) 2.4.1.2(2,5) 3.4.1.3(1,4) 4.4.1.4* 1.4.1.1(3,6,9) 2.4.1.2(3,6) 3.4.1.3(2,5) 4. 4.1.4* 1.4.1.1(4,7,10) 2.4.

15、1.2(1,4) 3.4.1.3(3,6) 4.4.1.4* 4.2 用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變積分 本節(jié)將利用留數(shù)定理 計(jì)算五個(gè)基本類型的實(shí)變積分, 在此基 礎(chǔ)上討論在物理學(xué)中常用的幾個(gè)積分。 22 l對(duì)于第二、三型實(shí)變積分的計(jì)算，要用對(duì)于第二、三型實(shí)變積分的計(jì)算，要用 到到2.1節(jié)介紹的兩個(gè)引理節(jié)介紹的兩個(gè)引理 u(見例見例2.1.2=p29-30 和例和例2.1.4=p30)。 l它們指出在什么條件下，它們指出在什么條件下，f(z)及及f(z)eimz沿沿 上半平面的無窮大半圓周的積分為零。上半平面的無窮大半圓周的積分為零。 23 引理引理1 若若z在上半平面及實(shí)軸上趨于在上半平面及實(shí)軸上趨于時(shí)

16、時(shí), zf(z) 一致地趨于零一致地趨于零(與輻角無關(guān)，即與輻角無關(guān)，即 l則則 f(z) 沿圖沿圖2.3中無窮大中無窮大 半圓周半圓周CR的積分的積分 24 若若z在上半平面及實(shí)軸上趨于在上半平面及實(shí)軸上趨于時(shí)，時(shí)，f(z)一一 致地趨于零致地趨于零(與輻角無關(guān)與輻角無關(guān))，即，即 式中式中m0，CR是以原點(diǎn)是以原點(diǎn) 為圓心、為圓心、R為半徑的上半為半徑的上半 圓周，參看圖圓周，參看圖2.3. 引理引理2 (若當(dāng)引理若當(dāng)引理): 則則 25 第四、五型積分的計(jì)算，要利用引理第四、五型積分的計(jì)算，要利用引理3，它指，它指 出出f(z)沿圖沿圖4.3的無窮小半圓周的積分結(jié)果。的無窮小半圓周的積分

17、結(jié)果。 l引理引理 3 若若b是是f(z)在實(shí)軸上的一階極點(diǎn)，則在實(shí)軸上的一階極點(diǎn)，則 l證明證明 由于由于b點(diǎn)是點(diǎn)是f(z) 的一階極點(diǎn)，因而的一階極點(diǎn)，因而 在在b的無心鄰域中，的無心鄰域中， f(z)的洛朗級(jí)數(shù)的最的洛朗級(jí)數(shù)的最 低次冪為低次冪為(z- -b)- -1，即，即 26 27 下面分別介紹五大類型積分的下面分別介紹五大類型積分的 1.1.特征特征 2.2.基本方法基本方法 3.3.常用技巧常用技巧 28 4.2.1 型積分型積分 l 1. 積分的特征：被積函數(shù)是積分的特征：被積函數(shù)是cos , sin 的有理實(shí)函的有理實(shí)函 數(shù)；積分區(qū)問為數(shù)；積分區(qū)問為0,2 如果不是，應(yīng)先變

18、為如果不是，應(yīng)先變?yōu)?,2 l2. 計(jì)算方法，首先作變換計(jì)算方法，首先作變換z = ei , 把被積函數(shù)變成復(fù)把被積函數(shù)變成復(fù) 變函數(shù)變函數(shù) iz dz dizddiededz z z i ee i z zee ii ii ii , ) 1 ( 2 1 )( 2 1 sin ) 1 ( 2 1 )( 2 1 cos 2 0 )sin,(cosdf 29 其次，把沿其次，把沿0,2 的積分變成沿單位圓的回路的積分變成沿單位圓的回路 積分利用留數(shù)定理可得積分利用留數(shù)定理可得 即積分等于即積分等于2 i乘函數(shù)乘函數(shù) 在在|z|=1圓內(nèi)所有奇點(diǎn)處留數(shù)之和圓內(nèi)所有奇點(diǎn)處留數(shù)之和 30 【例例4.2.1】

19、計(jì)算積分計(jì)算積分 式中式中a0 l解解 首先作變換首先作變換2,2, 將積分區(qū)間化為將積分區(qū)間化為0,0,， 再利用被積函數(shù)是偶函數(shù)，將積分區(qū)間化為再利用被積函數(shù)是偶函數(shù)，將積分區(qū)間化為 , 31 其次，令其次，令z=ei ，即可將對(duì)，即可將對(duì) 的積分變?yōu)檠氐姆e分變?yōu)檠?|z|=1 的回路積分的回路積分 l第三，被積函數(shù)有兩個(gè)一階極點(diǎn)第三，被積函數(shù)有兩個(gè)一階極點(diǎn) z1,2 = 易見易見z1在在|z|=1的回路內(nèi)部的回路內(nèi)部| z2 |在回路外在回路外 32 根據(jù)留數(shù)定理根據(jù)留數(shù)定理 33 4.2.2 f(x)dx 型積分型積分 1. 積分特征積分特征 lf(z)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面除有

20、限在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面除有限 個(gè)個(gè) 孤立奇點(diǎn)久 孤立奇點(diǎn)久( k =1，2，n)外解析；外解析； l當(dāng)當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上趨于在上半平面及實(shí)軸上趨于z時(shí)，時(shí)，zf(z)一致一致 地趨于零地趨于零(與輻角無關(guān)與輻角無關(guān)) l其次，選擇輔助函數(shù)其次，選擇輔助函數(shù)f(z)。 u通常將通常將f(x)的的x改為改為z(有時(shí)也要改變函數(shù)形式，有時(shí)也要改變函數(shù)形式， 見例見例4.2.7.例例4.2.8 ) 34 l第三，選擇積分與回第三，選擇積分與回 路當(dāng)積分具有上述路當(dāng)積分具有上述 特征時(shí)，受引理特征時(shí)，受引理1的啟的啟 發(fā)，增加無窮大的半發(fā)，增加無窮大的半 圓周圓周CR，構(gòu)成閉合回，構(gòu)成閉合回

21、 路路L(圖圖4.4). l根據(jù)留數(shù)定理、積分主值的定義，以及引理根據(jù)留數(shù)定理、積分主值的定義，以及引理1 的結(jié)論的結(jié)論 則有則有 式中式中bk為為f (z)在回路內(nèi)在回路內(nèi) (即上半平面即上半平面)內(nèi)的奇點(diǎn)內(nèi)的奇點(diǎn) 35 【例例4.2.2】計(jì)算積分計(jì)算積分 l解解 (1)輔助函數(shù)輔助函數(shù) l由于被積函數(shù)為偶函數(shù)，故由于被積函數(shù)為偶函數(shù)，故 令輔助函數(shù)令輔助函數(shù) (2) 積分回路積分回路 36 l(3)按留數(shù)定理計(jì)算按留數(shù)定理計(jì)算 增加無窮大半圓增加無窮大半圓 周周CR 構(gòu)成閉合構(gòu)成閉合 37 l它在上半平面有無限多個(gè)極點(diǎn)它在上半平面有無限多個(gè)極點(diǎn) bk=(2k+1)i，k=0,1, , l但

22、這些留數(shù)有簡單的規(guī)律，仍可按第二型但這些留數(shù)有簡單的規(guī)律，仍可按第二型 積分計(jì)算積分計(jì)算 38 仍可取仍可取圖圖4.5的回路的回路。 f(z)在回路中所有奇點(diǎn)處在回路中所有奇點(diǎn)處 的留數(shù)為的留數(shù)為(見習(xí)題見習(xí)題4.1.4) (2) 積分回路因?yàn)榉e分回路因?yàn)?39 (3)按留數(shù)定理計(jì)算按留數(shù)定理計(jì)算 40 4.2.3 1. 1. 積分特征積分特征 lf(z)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)， 在上半平面除有限個(gè)孤在上半平面除有限個(gè)孤 立奇點(diǎn)立奇點(diǎn)bk(k=1,2,）外）外 解析；解析； l當(dāng)當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸在上半平面及實(shí)軸 上趨于上趨于z時(shí)，時(shí)，f(z)一致地一致地 趨于零趨于零(與輻角無

23、關(guān)）與輻角無關(guān)） 41 2.計(jì)算方法計(jì)算方法 l與第二類型不同的是，第三類型積分的被積與第二類型不同的是，第三類型積分的被積 函數(shù)滿足函數(shù)滿足引理引理2(若當(dāng)引理若當(dāng)引理)的條件的條件 l類似地，增加無窮大的半圓周類似地，增加無窮大的半圓周CR (圖圖4.4)，構(gòu)，構(gòu) 成閉合回路成閉合回路L。根據(jù)留數(shù)定理，積分主值的定。根據(jù)留數(shù)定理，積分主值的定 義，以及引理義，以及引理2的結(jié)論的結(jié)論 則有則有 42 為書寫簡單起見，式中已采用簡單記號(hào)為書寫簡單起見，式中已采用簡單記號(hào) l 由此可得式由此可得式(4.2.10)式式(4.2.13)四個(gè)公式：四個(gè)公式： 43 (1) 式式(4.2.9）的實(shí)部為）

24、的實(shí)部為 1 2 3 4 44 【例例4.2.4】計(jì)算積分計(jì)算積分 l解解 (1) 輔助函數(shù)輔助函數(shù) 在上半平面只有一個(gè)一階極點(diǎn)在上半平面只有一個(gè)一階極點(diǎn)b=i l(2) 積分回路積分回路 l(3) 按留數(shù)定理計(jì)算按留數(shù)定理計(jì)算 仍可選取圖仍可選取圖4.5的回路的回路 45 4.2.4 f(x)在實(shí)軸上有一在實(shí)軸上有一 階極點(diǎn)的積分階極點(diǎn)的積分 1.積分特征積分特征 l 除除f(x)在實(shí)軸上在實(shí)軸上 有一階極點(diǎn)外，有一階極點(diǎn)外， 與第二型積分特與第二型積分特 征相同。征相同。 2.計(jì)算方法計(jì)算方法 l積分回路是在圖積分回路是在圖4.4增加以軸上極點(diǎn)增加以軸上極點(diǎn)b為圓心，為圓心， e e為半徑

25、的無窮小半圓周為半徑的無窮小半圓周Ce e，如圖，如圖4.6所示。所示。 46 根據(jù)留數(shù)定理根據(jù)留數(shù)定理, 積分主值的定義積分主值的定義, 引理引理1的結(jié)論的結(jié)論 (4.2.14) 47 【例例4.2.5】計(jì)算積分計(jì)算積分I = l解解 (1)輔助函數(shù)輔助函數(shù) f(z) = l它在上半平面內(nèi)有一階它在上半平面內(nèi)有一階 極點(diǎn)極點(diǎn)b1= i 外，還在實(shí)軸外，還在實(shí)軸 上有兩個(gè)一階極點(diǎn)上有兩個(gè)一階極點(diǎn) b2=1,b3=- -1.圖圖4.7 l(2) 積分回路如圖積分回路如圖4.7所示所示 l(3)按留數(shù)定理計(jì)算按留數(shù)定理計(jì)算 48 4.2.5 (m0), f(x)在實(shí)軸在實(shí)軸 上有一階極點(diǎn)的積分上有

26、一階極點(diǎn)的積分 1.積分特征積分特征 l 除除f(x)在實(shí)軸上有一在實(shí)軸上有一 階極點(diǎn)外，與第三階極點(diǎn)外，與第三 型積分特征相同。型積分特征相同。 2.計(jì)算方法計(jì)算方法 l積分回路為圖積分回路為圖4.6,令令 (4.2.16) 49 【例例4.2.6】計(jì)算積分計(jì)算積分I = l解解 (1)輔助函數(shù)輔助函數(shù) F(z) = f(z)eiz = 在實(shí)軸上有一階極點(diǎn)在實(shí)軸上有一階極點(diǎn)z=0. l (2)積分回路如圖積分回路如圖4.8所示所示 l (3)按留數(shù)定理計(jì)算按留數(shù)定理計(jì)算 50 4.2.6 物理學(xué)中常用的實(shí)積分物理學(xué)中常用的實(shí)積分 l在物理學(xué)中常用的幾個(gè)實(shí)積分，被積函數(shù)不在物理學(xué)中常用的幾個(gè)實(shí)

27、積分，被積函數(shù)不 滿足上述要求的條件，需要采用一些技巧，滿足上述要求的條件，需要采用一些技巧， 但基本方法還是一致的：但基本方法還是一致的： u(1)選擇一個(gè)輔助函數(shù)；選擇一個(gè)輔助函數(shù)； u(2)把定積分化為沿閉合回路的積分；把定積分化為沿閉合回路的積分； u(3)按留數(shù)定理來計(jì)算按留數(shù)定理來計(jì)算 51 4.2.6 物理學(xué)中常用的實(shí)積分物理學(xué)中常用的實(shí)積分 l但有的時(shí)候輔助函數(shù)要變形但有的時(shí)候輔助函數(shù)要變形(見例見例4.2.8），積），積 分回路也不一定增加半圓周分回路也不一定增加半圓周CR，但增加路線，但增加路線 上的積分上的積分 u或者為零或者為零(見例見例4.2.7)， u或者容易算出或

28、者容易算出(見習(xí)題見習(xí)題4.2.5）；）； u或者與待求積分有簡單的關(guān)系或者與待求積分有簡單的關(guān)系(見習(xí)題見習(xí)題 4.2.6)。 l對(duì)于回路上的奇點(diǎn)，也要繞過去對(duì)于回路上的奇點(diǎn)，也要繞過去 52 【例例4.2.7】已知?dú)W拉積分已知?dú)W拉積分 l其中其中a a0，b b0此積分在量子力學(xué)中計(jì)算此積分在量子力學(xué)中計(jì)算 諧振子的動(dòng)量幾率分布函數(shù)時(shí)用到諧振子的動(dòng)量幾率分布函數(shù)時(shí)用到 l解解 (1) 選擇輔助函數(shù)選擇輔助函數(shù) 不能采用第三類型積分的回路不能采用第三類型積分的回路 53 先將積分變形先將積分變形 l在第二項(xiàng)積分中作變量代換，用在第二項(xiàng)積分中作變量代換，用- -x替換替換x，可，可 證明兩項(xiàng)積

29、分相等。再對(duì)指數(shù)進(jìn)行配方，便證明兩項(xiàng)積分相等。再對(duì)指數(shù)進(jìn)行配方，便 有有 l 能不能令能不能令 w=x+ l然后按歐拉積分得然后按歐拉積分得 呢？呢？ 暫時(shí)還不行，因?yàn)闅W拉積分中的暫時(shí)還不行，因?yàn)闅W拉積分中的x是實(shí)數(shù)。但是實(shí)數(shù)。但 是，本題的計(jì)算正好證明，歐拉積分對(duì)于復(fù)是，本題的計(jì)算正好證明，歐拉積分對(duì)于復(fù) 數(shù)數(shù)w亦成立，見后面的式亦成立，見后面的式(4.2.21） 54 (2) 選擇閉合回路選擇閉合回路 l 選擇如圖選擇如圖4.9所示的回路，這樣沿所示的回路，這樣沿x軸的積軸的積 分已知，沿平行于分已知，沿平行于x軸的積分與待求的積分軸的積分與待求的積分 有簡單的關(guān)系，沿平行于有簡單的關(guān)系，沿平行于y軸的兩個(gè)積分可軸的兩個(gè)積分可 證明為零證明為零 Iy1 Iy2 Ix2 = Ix1 + +Iy1 + +Ix2 + + Iy2 = 0 Iy1 = Iy2 = 0 Ix1+ +Ix2 = 0 Ix1 55 (3)由留數(shù)定理計(jì)算函數(shù)由留數(shù)定理計(jì)算函數(shù)f(z)在回路圖