彈性力學考試參考習題1

1、【例2.2】已知受力物體內某一點竹應力分目:為。戶)4=2MPa, a MPa. 1 MPa. q=0, =2 MPa,試求經過此點的平面片3)，一尸1上的正應力和剪應力，且計算此點的主 應力及主應力方向。解(I)先求出平面.3尸尸1的法線的方向余弦為,13I/ = -；= nj = -= n = VilviiVil(2)將應力分量及方向余弦代入式(23)得X、= I八 - mrh - J = MPa = 1.508 MPa ViTfv = lr + mav + nr. = = MPa = 2.11L MPa 町JTTZv = frx. + niTy. n(y. = MPa = 0.905 M

2、 Pa(箝該斜面上的正應力及射應力由卜式得6 =XU+ Eg+2.5 = 2.637 MPa松+)一- - 0.771 MPa(4)計算主應力,由式(2/2)列出行列式-a121 2-。0 =02 01-(7用代數余子式展開上式(。-3乂標-3) = 0例得=3 MPa, a: =1.732 MPa.6=-1.732 MPa(5)計算主應力方向2第一主應力方向，格0=3 MP&及各應力分量代入式(210),且 聯(lián)立式(211),有l(wèi) - m =0 / - n 0產+制 +前二=1求斛上列方程組,得(A，叫，川)=(-亳，-冬邛)及冷冬y).兩個主應力 方向表明主應力？有兩個相差1W.的面6第二

3、主應力方向7格% = L732MPa及各應力分量代入式(2/0),與式(211)聯(lián)立，有 I +0.268w = 0, 2/-0.732” 0尸Wi夠得“2,叱，.)-0.211, - 0,787, 0.576)及(-0,211, 0.787, -0.576).同理,將。產-1.732MPa及各應力分及代入式(210),與式Q/I)聯(lián)立,得：(小 g, ?73)=(0.789. -0.211, -0,576)(-0.789. 0,211, 0,576).不難證明,主應力方向是用互正交的口圖3-14所示為一厚度t=1cm的均質正方形薄板，上下受均勻拉力q=106N/m ,材料彈性模量 為巳 泊松

4、比，不記自重，試用有限元法求其應力分量。2mr J J ： J ( Y f f (q=106N/m_ 一2_2_234(1)162(1)8圖圖1 .力學模型的確定由于此結構長、寬遠大于厚度，而載荷作用于板平面內，且沿板厚均勻分布，故可按平面應力問題處理，考慮到結構和載荷的對稱性，可取結構的1/4來研究。2 .結構離散該1/4結構被離散為兩個三角形單元，節(jié)點編號 ，單元劃分及取坐標如圖3-15所示其各節(jié)點的坐標值見表 3-1。3 .求單元的剛度矩陣1）計算單元的節(jié)點坐標差及單元面積 單元 1 （ i、j、m 1,2,3）2)C1X2 X30b2c3 b3c22b2C2X3X11 -110 2計算

5、各單元的剛度矩陣b3y1y201 C3X1X2112先計算用到的常數11Et 9EE 9E代入可得K11 19E16 139E16K129E 116 1 3K139E16K229E16K239E16所以單元1的剛度矩陣為：339E16K66K11K21K31K12K22K32K13K23K33由于單元2若按341對應單元9E1631313123排碼時，則這兩個單元剛度矩陣內容完全一樣，故有11101-0-331111c03333421129EK66333316.41對 一 一 133一1稱-03 14.組集整體剛度矩陣按剛度集成法可得整體剛度矩陣為:KJ 2K21 1K311 2K41 2K2

6、2K32K3312K43 2(J由于Krs= KsrT,又單元1和單元2的節(jié)點號按123對應341,則可得K11K33 23E 316 0K21K43 2K12 13E16K31K13 2K131K22K443E16K32K14K23K33K113E 1 016 0 3K31K13K13K41所以組集的整體剛度矩陣為:3E1623E163E0116103E11161:TT3E166.引入約束條件，修改剛度方程并求解根孫國，勺 I ，/m和1與父中 J盤？J夕U卜年： = O O O O 4/2 O 4/2:)- fc 入 140 尸W /j fr :囚占=/ 必J A中）。八工千&川1 4小內

7、I 2. 4, 7的療和列，則I4W2力科！會為:371614104(J求解I二而方程組可得由節(jié)點位移為（所LIoo2口，2.mz m3 v3 憶, =/ 32一/ 3A q t E為丁 守/冏。O 1/3 O 1/31。117,計算務單元年力矩陣, 求用杏草亍己成萬q/R. qn玲先求我各單元的應力知邛何S】、S工 然后內求得各小元的 hV Jj分限： r -/= . = |s F=新o0 JY.心比力I斤作是單元形心處的hy )俏?！纠?.1現(xiàn)考慮圖72所示等截面相支梁，受梯形分布荷裁作用,試用差分法求梁內彎矩.國7.2解 用等間題=5母梁分為六等份，各結點編號已表示在圖中。已如邊界條件為

8、 6此=4=0 M = M = o各內結點的分布荷載集度為4=%=0Jg，/=d = g”q(b)考慮里的結構和費荷的對稱性，M=.弘. = 對梁左半部分的3個內結點.可將方程(713)寫成如式(72)形式的3個差分方程，引入ii界條件式(a)后，這3個差分方程1 -2 I02-2可寫成如卜的矩陣形式:0000M巴求呼比線性代數方程經得M卜夕叫2.0 3,5 4 0與精碎跳“廠g/L9167 3.3333 3.8333相比依. .lI，處的藥矩”和中點處的 6彎矩壞的誤差為435%, x =處的彎矩.心的誤差為5.0%.如果差分間亂力4 因：將梁分為12等分,同理考慮梁的結構和載荷的對稱性.求

9、解 梁的右半部分藥矩.寫成差分方程經為0000求望這6階線性代數方程紐.得到梁內各點的彎矩為=g/l.0 1,9375 2.750 3.3750 3.750 3.8750與精與解地=字?。?9896 1.9167 2.7186 3.333 3.5833 3.8333相比,梁工，處 6。小點彎矩的誤差為1.08%, i =點處彎矩誤差僅為1.26%.如將梁分為更多等份，用差分法求得圖7,2中各結點的彎矩與精確夠更接近.且收斂性好.【例7.2如圖73所示左端簡支且作用彎矩小,右端固定的等截面梁.試用差分法求 梁內撓度.解將梁四等分兩端邊界條件為d、i0, 7E=一“(h)-0,產對上述邊界條件式(

10、g)和式?！?.分況利用差分公式(72制71),即可求得虛結點的撓度為心廣一嗎一萬%，11 $ = M 3將梁端力矩.1%變換為等效的兩個力半，一個在點0向上，另一個在點1向下.h如圖7.3(b)所示各結點上的集中力4可由式知=月法化為相應結點上的分布或荷集度，本例中夕,P Jh = fQ/h2 % =邑0于是，在上述邊界條件白公式CM5)和差分公式(71U)可分別可出梁內3個結點的差分 方程，其矩陣形式為：求解后得到5 -4-4 6I -4生力22 12U)F哈0,S693 0.03409 0.01420J本題的精確較為:“=d=0.03515 0.03125 0.01I721t這3個結點的

11、撓度，事最大.與精確孥相比.F的相對誤差為4.8%.田7.3工程中常見的截面為三兒形的水壩.如圖5.8所示，其橫面被理解為下端伸向無窮, 無量綱頂角a控制著其形狀.設擋水達頂.母體密度為夕.水密度為7.其內部的應力分 布可采用量綱分析法來求空。圖5.8帙形體應力分量:的量:綱為：力二長度:立，水壓力律與夕g的量綱為：力二長度7.在線 彈性力學范用內,應力分量必然與7g. pg成正比巴的形式應是ygx. y，a&j pgy 的線性組合.由巴=推理.。應為，的三次函數，所以應力函數可假設為ay（p = ar3 + bf y + cxy1 * eyJ代入式U-26）中，是慮到*=o, y=g（泣體力

12、）.得到應力分量表達式C dg/ = -心=lex - heyr- Yy = 6ax 2尻一 pgv 次-色色=-2bx - IcySxdy(a)顯然,上述應力幽數演足用容方程，擋水面應力邊界條件表示為X=O- = -7g -什町 I。= o將3成代入上式得6ey = 一/gJ， 2。= 0從而代入式(a),則應力分置為右坡面.邊界條件表示為% =一加(J = 6ar + Zby - pg yJ = -2bx(b)?)-*g ) r j ana考慮右坡面x=yiana,將(b)代入上式邊界條件有/(一？能)+ 研-2力 tan a) = 0l(-2by tana) - m(6aylana * 2hy- 0(0)其中costt， m = cos-sina代入(C)式.可求得u =絲cola -連cod ，b 2送coi: a632代入式(b)，有:(5-17)cr. = (/2col - 2zg cot: 42)x -cot* a - /?g)/J =19 -ygXCoL a一 JJ比晶答為萊維(Levy)壁答.與材料力學結果比較,巴沿水平方向不